2022年高中数学 第二章 数列 5.docx

1、课时训练13等比数列的前n项和一、等比数列前n项和公式的应用1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项的和等于()A.31B.33C.35D.37答案:B解析:S5=1,a1(1-25)1-2=1,即a1=131.S10=a1(1-210)1-2=33.2.设首项为1,公比为23的等比数列an的前n项和为Sn,则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an答案:D解析:Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q=1-23an1-23=3-2an,故选D.3.(2015福建厦门高二期末,7)设Sn为等比数列an的前n项和,若27a2-a

2、5=0,则S4S2等于()A.-27B.10C.27D.80答案:B解析:设等比数列an的公比为q,则27a2-a2q3=0,解得q=3,S4S2=a1(1-q4)1-q1-qa1(1-q2)=1+q2=10.故选B.4.(2015课标全国高考,文13)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.答案:6解析:an+1=2an,即an+1an=2,an是以2为公比的等比数列.又a1=2,Sn=2(1-2n)1-2=126.2n=64,n=6.5.设数列an是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|=.答案:15解析:由数列an

3、首项为1,公比q=-2,则an=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.二、等比数列前n项和性质的应用6.一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为()A.180B.108C.75D.63答案:D解析:由性质可得S7,S14-S7,S21-S14成等比数列,故(S14-S7)2=S7(S21-S14).又S7=48,S14=60,S21=63.7.已知数列an,an=2n,则1a1+1a2+1an=.答案:1-12n解析:由题意得:数列an为首项是2,公比为2的等比数列,由an=2n,得到数列an各

4、项为:2,22,2n,所以1a1+1a2+1an=12+122+12n.所以数列1an是首项为12,公比为12的等比数列.则1a1+1a2+1an=12+122+12n=121-12n1-12=1-12n.8.在等比数列an中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q.解:a2an-1=a1an,a1an=128.解方程组a1an=128,a1+an=66,得a1=64,an=2,或a1=2,an=64.将代入Sn=a1-anq1-q=126,可得q=12,由an=a1qn-1,可得n=6.将代入Sn=a1-anq1-q=126,可得q=2,由an=a1qn-1可解得n=

5、6.综上可得,n=6,q=2或12.三、等差、等比数列的综合应用9.已知数列an是以1为首项,2为公差的等差数列,bn是以1为首项,2为公比的等比数列,设cn=abn,Tn=c1+c2+cn,当Tn2 013时,n的最小值为()A.7B.9C.10D.11答案:C解析:由已知an=2n-1,bn=2n-1,cn=abn=22n-1-1=2n-1.Tn=c1+c2+cn=(21+22+2n)-n=21-2n1-2-n=2n+1-n-2.Tn2013,2n+1-n-22013,解得n10,n的最小值为10,故选C.10.已知公差不为0的等差数列an满足S7=77,a1,a3,a11成等比数列.(1

6、)求an;(2)若bn=2an,求bn的前n项和Tn.解:(1)设等差数列an的公差为d(d0),由S7=7(a1+a7)2=77可得7a4=77,则a1+3d=11.因为a1,a3,a11成等比数列,所以a32=a1a11,整理得2d2=3a1d.又d0,所以2d=3a1,联立,解得a1=2,d=3,所以an=3n-1.(2)因为bn=2an=23n-1=48n-1,所以bn是首项为4,公比为8的等比数列.所以Tn=4(1-8n)1-8=23n+2-47.(建议用时:30分钟)1.在等比数列an中,a1=3,an=96,Sn=189,则n的值为()A.5B.4C.6D.7答案:C解析:显然q

7、1,由an=a1qn-1,得96=3qn-1.又由Sn=a1-anq1-q,得189=3-96q1-q.q=2.n=6.2.等比数列an的前n项和为Sn,若S1,S3,S2成等差数列,则an的公比等于()A.1B.12C.-12D.1+52答案:C解析:设等比数列an的公比为q,由2S3=S1+S2,得2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,整理得2q2+q=0,解得q=-12或q=0(舍去).故选C.3.等比数列an中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于()A.2B.12C.4D.14答案:C解析:a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得a4-a3=3a

8、3即a4=4a3,q=4.4.设Sn为等比数列an的前n项和,8a2+a5=0,则S5S2=()A.11B.5C.-8D.-11答案:D解析:设等比数列的首项为a1,公比为q,则8a1q+a1q4=0,解得q=-2.S5S2=a1(1-q5)1-qa1(1-q2)1-q=1-q51-q2=-11.5.设an是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.X+Z=2YB.Y(Y-X)=Z(Z-X)C.Y2=XZD.Y(Y-X)=X(Z-X)答案:D解析:Sn=X,S2n-Sn=Y-X,S3n-S2n=Z-Y,不妨取等比数列an为an=2n,则S

9、n,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,(Y-X)2=X(Z-Y),整理得D正确.6.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于.答案:6解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以Sn=2(1-2n)1-2=2(-1+2n)100,2n51,n6.7.已知an是首项为1的等比数列,Sn是an的前n项和,且9S3=S6,则数列1an的前5项和为.答案:3116解析:易知公比q1.由9S3=S6,得9a1(1-q3)1-q=a1(1-q6)1-q,解得q=2.1an是首项为1,公比为12的等

10、比数列.其前5项和为1-1251-12=3116.8.在等比数列an中,若a1=12,a4=-4,则公比q=;|a1|+|a2|+|an|=.答案:-22n-1-12解析:设等比数列an的公比为q,则a4=a1q3,代入数据解得q3=-8,所以q=-2;等比数列|an|的公比为|q|=2,则|an|=122n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+|an|=12(1+2+22+2n-1)=12(2n-1)=2n-1-12.9.已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足a2=4,a3+a4=17.(1)求an的通项公式;(2)设bn=2an+2,证明数列bn是等比数列并求其前n项和Tn.(1)解:

11、设等差数列an的公差为d.由题意知a3+a4=a1+2d+a1+3d=17,a2=a1+d=4,解得a1=1,d=3,an=3n-2(nN*).(2)证明:由题意知,bn=2an+2=23n(nN*),bn-1=23(n-1)=23n-3(nN*,n2),bnbn-1=23n23n-3=23=8(nN*,n2),又b1=8,bn是以b1=8,公比为8的等比数列.Tn=8(1-8n)1-8=87(8n-1).10.已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a(aR),且1a1,1a2,1a4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)对nN*,试比较1a2+1a22+1a23+1a2n与1a1的大小.解:(1)设等差数列an的公差为d,由题意可知1a22=1a11a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而a1d=d2,因为d0,d=a1=a.故通项公式an=na.(2)记Tn=1a2+1a22+1a2n,因为a2n=2na,所以Tn=1a12+122+12n=1a121-12n1-12=1a1-12n.从而,当a0时,Tn1a1;当a1a1.