2022年高考数学一轮复习 考点规范练27 平面向量的数量积与平面向量的应用（含解析）新人教A版.docx

1、考点规范练27平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固1.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,设向量a与b的夹角为,则ab=|a|b|cos|a|b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=|a|-|b|;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|a|-|b|.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,故选B.2.已知a,b为单位向量

2、,其夹角为60,则(2a-b)b=()A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角=60,则(2a-b)b=2ab-b2=2|a|b|cos-|b|2=211cos60-12=0,故选B.3.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.56答案:B解析:因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2.所以cos=ab|a|b|=|b|22|b|2=12,所以a与b的夹角为3,故选B.4.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且pq,则|p+q|的值为()A.5B.13C.5D.1

3、3答案:B解析:由题意,得26+3x=0,解得x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=13.5.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则APAB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)答案:A解析:如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,3),C(3,3).设P(x,y),则AP=(x,y),AB=(2,0),APAB=2x+0y=2x.-1x3,APAB的取值范围为(-2,6),故选A.6.在ABC中,边AB上的高为CD.若CB=a,CA=

4、b,ab=0,|a|=1,|b|=2,则AD=()A.13a-13bB.23a-23bC.35a-35bD.45a-45b答案:D解析:ab=0,CACB.|a|=1,|b|=2,AB=5.又CDAB,由射影定理,得AC2=ADAB.AD=45=455.ADAB=4555=45.AD=45AB=45(CB-CA)=45(a-b),故选D.7.设向量a与b的夹角为,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),则cos =()A.-35B.35C.55D.-255答案:A解析:向量a与b的夹角为,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),b=a+2b-a2=(2,1),cos=ab|a|b|=-4+

5、155=-35.8.设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:m,n为非零向量,若存在0,使m=n,即两向量反向,夹角是180,则mn=|m|n|cos180=-|m|n|0.反过来,若mn0),又n(tm+n),所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos+|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.15.在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,P为矩形ABCD内一点,且AP=32.若AP=AB+AD(,R),则+3的最大值为()A.32B

6、.62C.3+34D.6+324答案:B解析:因为AP=AB+AD,所以|AP|2=|AB+AD|2.所以322=2|AB|2+2|AD|2+2ABAD.因为AB=1,AD=3,ABAD,所以34=2+32.又34=2+3223,所以(+3)2=34+2334+34=32.所以+3的最大值为62,当且仅当=64,=24时等号成立.16.已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1答案:B解析:以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知点A(0,3),B(-1,0

7、),C(1,0).设点P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y).所以PA(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32-32.当点P的坐标为0,32时,PA(PB+PC)取得最小值为-32,故选B.17.如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AEBE的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3答案:A解析:如图,取AB的中点F,连接EF,AEBE=(AE+BE)2-(AE-BE)24=(2FE)2-AB24=|FE

8、|2-14.当EFCD时,|EF|最小,即AEBE取最小值.过点A作AHEF于点H,由ADCD,EFCD,可得EH=AD=1,DAH=90.因为DAB=120,所以HAF=30.在RtAFH中,易知AF=12,HF=14,所以EF=EH+HF=1+14=54.所以(AEBE)min=542-14=2116.18.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1.若e为平面单位向量,则|ae|+|be|的最大值是.答案:7解析:设a与b的夹角为,由已知得=60,不妨取a=(1,0),b=(1,3).设e=(cos,sin),则|ae|+|be|=|cos|+|cos+3sin|cos|+|c

9、os|+3|sin|=2|cos|+3|sin|,当cos与sin同号时等号成立.所以2|cos|+3|sin|=|2cos+3sin|=727cos+37sin=7|sin(+)|其中sin=27,cos=37,取为锐角.显然7|sin(+)|7.易知当+=2时,|sin(+)|取最大值1,此时为锐角,sin,cos同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为7.高考预测19.已知两个平面向量a,b满足|a|=1,|a-2b|=21,且a与b的夹角为120,则|b|=.答案:2解析:向量a,b满足|a|=1,|a-2b|=21,且a与b的夹角为120,(a-2b)2=a2-4ab+4b2=1-41|b|cos120+4|b|2=21,化简得2|b|2+|b|-10=0,解得|b|=2(负值舍去).