2022年高考数学一轮复习 考点规范练45 椭圆（含解析）新人教A版（文）.docx

1、考点规范练45椭圆基础巩固1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()A.x2169+y2144=1B.x2144+y2169=1C.x2169+y225=1D.x2144+y225=1答案:A解析:由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,椭圆方程为x2169+y2144=1.2.已知椭圆x29+y24+k=1的离心率为45,则k的值为()A.-1925B.21C.-1925或21D.1925或21答案:C解析:若a2=9,b2=4+k,则c=5-k,由ca=45,即5-k3=45,得k=-1925;

2、若a2=4+k,b2=9,则c=k-5,由ca=45,即k-54+k=45,解得k=21.3.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足()A.a2b2B.1a1bC.0abD.0b1b0,所以0ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13答案:A解析:以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=2abb2+a2=a,整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以c2a2=23,

3、从而e=ca=63.故选A.7.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案:B解析:设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),则直线l的方程为xc+yb=1,即bx+cy-bc=0,短轴长为2b,由题意得bcb2+c2=142b,与b2+c2=a2联立得a=2c,故e=12.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.答案:63解析:由题意得B-32a,b2,C32a,b2,F

4、(c,0),所以BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2.因为BFC=90,所以BFCF=0.所以c2-32a2+b22=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即c2a2=23,所以e=63.9.已知F1,F2分别为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.(1)求ABF2的周长;(2)若AF2BF2,求ABF2的面积.解:(1)F1,F2分别为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=42.(2)设直

5、线l的方程为x=my-1,由x=my-1,x2+2y2-2=0,得(m2+2)y2-2my-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2mm2+2,y1y2=-1m2+2.AF2BF2,F2AF2B=0,F2AF2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(my1-2)(my2-2)+y1y2=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4=-(m2+1)m2+2-2m2mm2+2+4=-m2+7m2+2=0.m2=7.ABF2的面积S=12|F1F2|(y1+y2)2-4y1y2=89.10.(2020全国,文21)已知椭圆C:x225+y2m2=1(0m0,由题意知yP0.由

6、已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-1yQ(x-5),所以|BP|=yP1+yQ2,|BQ|=1+yQ2.因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.由直线BP的方程得yQ=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直线P1Q1的方程为y=13x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为102,故AP1Q1的面积为1210210=52.|P2Q2|=130,直线P2Q2的方程为y=79x+103,点A到直线P2Q2的距离为13026,故AP2Q2的面积为1213026130=

7、52.综上,APQ的面积为52.能力提升11.已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.55,1B.22,1C.0,55D.0,22答案:B解析:F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右两个焦点,离心率0e1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.设点P(x,y),由PF1PF2,得(x-c,y)(x+c,y)=0,化简得x2+y2=c2,联立方程组x2+y2=c2,x2a2+y2b2=1,整理,得x2=(2c2-a2)a2c20,解得e22,又0e1,22eb0)的

8、右焦点F(c,0)关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.答案:22解析:设Q(x0,y0),则y0x0-c=-cb,bcx0+c2=y02,解得x0=c(c2-b2)a2,y0=2bc2a2.因为点Q在椭圆上,所以c2(c2-b2)2a4a2+4b2c4a4b2=1,化简得a4c2+4c6-a6=0,即4e6+e2-1=0.即4e6-2e4+2e4+e2-1=0,即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0.所以e=22.13.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2NM.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上

9、,且OPPQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.答案:(1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).由NP=2NM得x0=x,y0=22y.因为M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQPF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).由OPPQ=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以OQPF=

10、0,即OQPF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.高考预测14.椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P,若|PF1|=5,且3a=b2.(1)求椭圆E的方程;(2)A,B是椭圆C上位于直线l两侧的两点.若直线AB过点(1,-1),且APF2=BPF2,求直线AB的方程.解:(1)由题意可得|PF2|=b2a=3,因为|PF1|=5,由椭圆的定义得a=4,所以b2=12,故椭圆E方程为x216+y212=1.(2)易知点P的坐标为(2,3).因为APF2=BPF2,所以

11、直线PA,PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线PA的方程为y-3=k(x-2),由y-3=k(x-2),x216+y212=1可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,所以x1+2=8k(2k-3)3+4k2,同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2),可得x2+2=-8k(-2k-3)3+4k2=8k(2k+3)3+4k2,所以x1+x2=16k2-123+4k2,x1-x2=-48k3+4k2,kAB=y1-y2x1-x2=k(x1-2)+3+k(x2-2)-3x1-x2=k(x1+x2)-4kx1-x2=12,所以满足条件的直线AB的方程为y+1=12(x-1),即为x-2y-3=0.