2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册学案：1-2 空间向量基本定理 WORD版含答案.docx

1、1.2 空间向量基本定理课标解读课标要求素养要求1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.能用空间向量基本定理解决有关问题.1.逻辑推理一能运用空间向量基本定理解决空间中平行与垂直的证明问题，2.数学运算一能运 用基底思想和向量运算解决立体几何中的问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 空间向量基本定律空间向量基本定理：（1）定理：如果三个向量a，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ， 存在唯一 的有序实数组(x,y,z) ，使得p=xa+yb+zc .（2）基底：如果三个向量a ，b ，c 不共面 ，那么所有空间向量组成的集合就是p|p=xa

2、+yb+zc,x,y,zR .这个集合可看作由向量a ，b ，c 生成的，我们把 a,b,c 叫做空间的个 基底 ，a ，b，c 都叫做基向量.要点二 空间向量的正交分解空间向量的正交分解及其坐标表示：（1）单位正交基底：如果空间的一-个基底中的三个基向量 两两垂直 ，且长度都为1，那么这个基底叫做 单位正交基底 ，常用i,j,k 表示.（2）正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行 正交分解 .自主思考1.基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示吗？不同基底下，同一个向量的表达式都相同吗？提示 基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示，不一定相同，

3、不同基底下，同一个向量的表达式也有可能不同. 2.在“a,b,c中能否有零向量？提示 不能，因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面. 3.当给定的三个向量两两垂直时，请用图形验证任意给定的空间向量是否可以用给定的三个向量线性表示.提示 名师点睛 1.一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.基底的选择一般有两个条件：（1）基底必须是不共面的非零向量；（2）在进行基底选择时要尽量选择已知夹角和长度的向量，这样会让后续计算比较方便.2.因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的向量共面，所以如果三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.互

4、动探究关键能力 探究点一 基底的判断精讲精练例（多选题）设x=a+b,y=b+c,z=c+a ，且a,b,c 是空间的一个基底，则下列可以作为空间的一个基底的有( )A.a,b,x B.x,y,zC.b,c,z D.x,y,a+b+c思路分析 只要所给的三个向量不共面，即可作为空间的一个基底，故逐一判断四组向量是否共面即可.答案：BCD解析：A 不可以，x=a+b ，a,b,x 共面，a,b,x 不可以作为空间的一个基底；B 可以，x=a+b,y=b+c,z=c+a ，如图所示，x,y,z 不共面，x,y,z 可以作为空间的一个基底；C 可以，b,c,z 不共面，b,c,z 可以作为空间的一个

5、基底；D 可以，假设x,y,a+b+c 共面，则存在实数, ，使得a+b+c=x+y=a+(+)b+c ，=1, +=1,=1, 此方程组无解， 不存在实数, 使得x,y,a+b+c 共面，x,y,a+b+c 可以作为空间的一个基底.综上，B、C、D满足题意.解题感悟判断基底的基本思路：若向量中存在零向量，则不能作为基底；若存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；假设a=b+c ，运用空间向量基本定理，联立, 的方程，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.迁移应用已知e1,e2,e3 是空间的一个基底，且OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3

6、,OC=e1+e2-e3 ，试判断OA,OB,OC 能否作为空间的一个基底.答案：假设OA,OB,OC 共面，则由向量共面的充要条件可知，存在实数x,y ，使得OA=xOB+yOC ，e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) ，即e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3，y-3x=1,x+y=2, 2x-y=-1, 此方程组无解，即不存在实数x,y ，使得OA=xOB+yOC ，OA,OB,OC 不共面，OA,OB,OC 能作为空间的一个基底.探究点二 用基底表示向量精讲精练类型1 用基底表示向量例1如图，四棱锥P-OABC 的底面

7、OABC 是矩形，PO 平面OABC ，设OA=a,OC=b,OP=c,E,F 分别是PC,PB 的中点，试用a,b,c 表示BF,BE,AE,EF .答案：连接BO （图略），则，BF=12BP=12(BO+OP)=12(c-b-a)=12a-12b+12c ，BE=BC+CE=BC+12CP=BC+12(CO+OP)=-a-12b+12c ，AE=AP+PE=AO+OP+12(PO+OC)=-a+c+12(-c+b)=-a+12b+12c ，EF=12CB=12OA=12a .解题感悟用基底表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般用加法运算，否则用减法运算；如果此向量与

8、一个易求的向量共线，可用数乘运算.类型2 单位正交基底的应用例2（原创题）正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1,A1C1 与B1D1 的交点为E,AC 与BD 的交点为O .（1）求证：BEOD1 ；（2）求|BE| 的值.答案：（1）证明：设AB=i,AD=j,AA1=k ，则i,j,k 构成空间的一个单位正交基底，如图，BE=BB1+B1E=AA1+12(B1C1+B1A1)=AA1+12(AD-AB)=-12i+12j+k ，OD1=OD+DD1=12BD+DD1=12(BA+BC)+DD1=-12i+12j+k ，所以BE=OD1 ，所以BEOD1 .（2）由（1）可知BE=-

9、12i+12j+k ，所以BE2=(-12i+12j+k)2=14i2+14j2+k2-12ij-ik+jk=14+14+1=32 ，所以|BE|=62 .解题感悟单位正交基底的特点是两两垂直，模为1，它的应用可类比基底的应用.迁移应用1.（2021北京平谷五中高二月考）在四面体OABC 中，E 为OA 的中点，F 为BC 上一点，且CF=13CB ，设OA=a,OB=b,OC=c ，则EF= ( )A.12a-13b-23c B.-12a-13b+43cC.-12a+23b+13c D.-12a+13b+23c答案：D解析：根据题意得，OE=12OA,CF=13CB ，EF=OF-OE=(O

10、C+CF)-12OA=(OC+13CB)-12OA=OC+13(OB-OC)-12OA=(OC+13OB-13OC)-12OA=OC+13OB-13OC-12OA=-12OA+13OB+23OC ，又OA=a,OB=b,OC=c,EF=-12a+13b+23c .2.（原创题）如图所示，在棱长为1的正方体OABC-OABC 中，设G ，H 分别是正方形BBCC 和OABC 的中心.（1）求异面直线OB 与GH 所成的角；（2）求AH 的长.答案：（1）设OA=i,OC=j,OO=k ，则i,j,k 构成空间的一个单位正交基底，所以OB=OB+BB=OA+OC+OO=i+j+k ，GH=12CO

11、=12(OO-OC)=12(k-j) ，所以OBGH=(i+j+k)12(k-j)=0 ，所以OBGH ，故异面直线OB 与GH 所成的角为2 .（2）AH=AA+AO+OH=k-i+12(i+j)=k-12i+12j ，所以|AH|2=(k-12i+12j)2=32 ，所以|AH|=62 ，故AH 的长为62 .探究点三 空间向量的综合应用精讲精练例如图，已知空间四边形OABC 的各边及对角线长都为2，E 是AB 的中点，F 在线段OC 上，且OF=2FC .（1）用OA,OB,OC 表示EF ；（2）求向量OE 与向量BF 所成角的余弦值.答案：（1）因为E 是AB 的中点，F 在线段OC

12、 上，且OF=2FC ，所以OE=12(OA+OB),OF=23OC ，所以EF=OF-OE=23OC-12(OA+OB)=-12OA-12OB+23OC .（2）由（1）可得OE=12(OA+OB),BF=OF-OB=23OC-OB ，所以|OE|=12|OA+OB|=124+4+22212=3 ，|BF|=|23OC-OB|=494+4-432212=273 ，因为OEBF=12(OA+OB)(23OC-OB)=-53 ，所以向量OE 与向量BF 所成角的余弦值为OEBF|OE|BF|=-533273=-52142 .解题感悟解决空间向量的模、夹角及证明垂直的问题时，常常先将所求向量用某个

13、基底表示，再根据空间向量的线性运算求解.迁移应用已知在空间四边形OABC 中，AOB=BOC=AOC ，且OA=OB=OC,M,N 分别是OA,BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OGBC .答案：证明 如图所示，设AOB=BOC=AOC=,OA=a,OB=b,OC=c, 则|a|=|b|=|c| ，OG=12(OM+ON)=1212OA+12(OB+OC)=14(a+b+c) ，易知BC=c-b,OGBC=14(a+b+c)(c-b)=14(ac-ab+bc-b2+c2-bc)=14(|a|2cos-|a|2cos-|a|2+|a|2)=0 ，OGBC ，即OGBC .评价检测素养提升

14、1.已知i,j,k 是空间的一个单位正交基底，且AB=-i+j-k,CD=2i+j+k ，则AB 与CD 夹角的余弦值为( )A.12 B.-13C.33 D.-23答案：D2.在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，可以作为空间的一个基底的是( )A.AB,AC,AD B.AB,AA1,AB1C.D1A1,D1C1,D1D D.AC1,A1C,CC1答案：C3.（改编题）若a,b,c 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是( )A.a,2b,3cB.a+b,b+c,c+aC.a+2b,2b+3c,3a-9cD.a+b+c,b,c答案：C4.在空间四边形OABC 中，OA=a,OB=b,OC=c ，点M 在线段AC 上，且AM=2MC ，点N 是OB 的中点，则MN= .答案：-13a+12b-23c解析：由题意得MA=23CA=23(OA-OC)=23(a-c),ON=12OB=12b ，所以MN=MO+ON=MA+AO+ON=23a-c-a+12b=-13a+12b-23c .