山西省长治市第二中学校2019-2020学年高二数学下学期摸底考试试题 理（含解析）.doc

1、山西省长治市第二中学校2019-2020学年高二数学下学期摸底考试试题 理（含解析）第卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合对应的不等式的解集，进而与集合取交集即可.【详解】由题意，集合，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查集合间的交集，考查一元二次不等式的解法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【

2、分析】化简复数后，根据复数的几何意义可得答案.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点在第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数的乘除法运算，考查了复数的几何意义，属于基础题.3. 已知数列是等差数列.记数列的前项和为，若，则（ ）A. 350B. 700C. D. 175【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的等差中项即可.【详解】故选：D【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式以及等差数列的等差中项，属于较易题.4. 近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“

3、一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（）2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加2013-2018年这6年中，2016年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A. B. C. D. 【答案】A【解析】 【分析】 根据图象上的数据，对三种说法逐个分析可得答案. 【详解】 观察图像可知说法 正确； 观察图像可知2014年增加45万人，2016年增加 350万人，故说法 不正确，排除，； 观察图像可知2017年增加320万人，2018年增加 259万人，2016-2018

4、年这3年中，每年增加的人次相差不大，基本持平，故说法 正确. 故选：A. 【点睛】 本题考查了对统计图表的理解和应用，属于基础题. 5. 若双曲线的一条渐近线为，则实数（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线，进而由一条渐近线为，可求出的值.【详解】双曲线化为标准方程是，其渐近线为，又因为一条渐近线为，所以，解得.故选：D【点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查学生的计算能力，属于基础题.6. 函数，则关于函数的说法不正确的是（ ）A. 定义域为B. 值域为C. 在上为增函数D. 只有一个零点【答案】B【解析】【分析】根据的解析式即可判断的定义域为，且在上为

5、增函数，只有一个零点,从而判断出说法不正确的选项【详解】，的定义域为，值域为，且对于时，明显地，在R上为增函数，且，只有一个零点故选：B【点睛】本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，分段函数、指数函数和对数函数的单调性的判断，函数零点的定义及求法，考查了计算和推理能力，属于基础题7. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种【答案】B【解析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原

6、理可得，共有120+96=216种故选B8. 若函数的导所数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件对进行求导，可求出，再把代回导函数中可得，令即可.【详解】因为即，所以所以，所以，所以，令则故选：A【点睛】本题考查了利用导数求导函数值，关键先求导求出，属于一般题.9. 展开式中的常数项是（ ）A 189B. 63C. 42D. 21【答案】D【解析】【分析】由二项展开式的通项公式可令的幂指数为零，从而求得，代入得到常数项.【详解】展开式的通项公式，令，解得：，常数项为.故选：.【点睛】本题考查利用二项式定理求解展开式的指定项的问题，关键是熟练掌握二项展开式

7、的通项公式的形式.10. 在中，若，则.类比上述结论，可推测：在三棱锥中，若，两两垂直，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 【分析】 取特值,从而可求出 ,再一一检验选项即可得出结论. 【详解】 当时,易知 , 此时是边长为的正三角形 ,面积为, 而A,B,C,D四个选项的计算结果依次为, , , 故选：D. 【点睛】 本题考查类比推理,考查从特殊到一般的数学思想的应用,属于中档题. 11. 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取的中点，连接、，推导出四边形为平行四边形，可得出，可得出异面

8、直线与所成的角为，通过解，利用余弦定理可求得异面直线与所成的角的余弦值.【详解】取的中点，连接、.易知是的中位线，所以且.又且，为的中点，所以且，所以且.所以四边形是平行四边形，所以，所以就是异面直线与所成的角.因为，、分别是、的中点，所以，且.由勾股定理得，所以.由勾股定理得，.在中，由余弦定理得.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.12. 已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，设，对求导，利用导数与函

9、数单调性的关系分析可得在上单调递减，分析的特殊值，结合函数单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，进而将不等式变形转化，解得的取值范围，即可得到答案.【详解】令，则，因为当时有成立，所以当时，恒成立，所以在上单调递减，所以当时，所以，又，所以，当时，所以，又，所以，在是连续的函数，且，所以，时，又由为奇函数，时，所以或，解得或，则的取值范围是.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析不等式与不等式的解集，属于中档题.第卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知函数，则曲线在

10、处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求导后，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式可求得切线方程.【详解】因为，所以，所以所求切线的斜率为，又，由点斜式可得所求切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题.14. 若，则_（用数字作答）【答案】1568【解析】【分析】将改写为后，利用通项公式可解得结果.【详解】因为，通项公式为，令，得，令，得，所以.故答案为：1568【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式的应用，将改写为是解题关键，属于基础题.15. 年在抗击新型冠状病毒期间，武汉市在汉阳、江岸、硚口、洪山、武汉开发区等城区修建了方舱医院，专门收治新型冠

11、状病毒肺炎感染的轻症患者.现将名志愿者分配到汉阳、江岸、硚口这个城区去负责药品的分发工作，若每个城区，至少有一名志愿者，则不同的分配方法有_种.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】三个城区至少有一名志愿者，则有三种情况：按照进行分配，按照进行分配，按照进行分配，然后分别利用排列组合公式计算即可.【详解】若按照进行分配有种方案；若按照进行分配有种方案；若按照进行分配有种方案.由分类加法原理，所以共有种分配方案.故答案为：.【点睛】本题主要考查排列组合及简单的计算问题，属于基础题.16. 在三棱锥中，底面为，且，斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为

12、_【答案】【解析】【分析】分析：由题意,画出图形,设,把棱锥的体积用含有的代数式表示,然后利用二次函数求解,即可得到答案.【详解】如图所示，由外接球表面积为，可得外接球的半径为，则，设，则，又边上的高，当平面时，棱锥的体积最大，此时，当时，体积最大，此时最大值为.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，把球的体积表示关于的函数表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知中，角的对边分别为，（1）求角大小；（2）若，

13、求的面积.【答案】(1) （2）【解析】试题分析：（1）由根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得，可得，即可得解的值；（2）由已知及余弦定理得解得的值，进而利用三角形面积公式即可得结果.试题解析：(1)，由正弦定理可得又（2）由余弦定理可得又 的面积为18. 如图，三棱锥中，平面 ， 分别为线段上的点，且 (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【详解】试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由平面 ，可知，再分析已知由 得，这样与垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（ 2）求二面角的大小，可心根据定义作出二

14、面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于 ，平面，因此 两两垂直，可以他们为轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面 和平面的法向量 ，向量 的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论 试题解析：（1）证明：由PC平面 ABC，DE平面，故PC DE 由CE，CD=DE 得为等腰直角三角形，故CDDE 由PCCD=C，DE 垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面 PCD （2）解：由（）知，CDE 为等腰直角三角形，DCE ，如（）图，过点作DF垂直CE于，易知DF FCEF，又已知EB ， 故FB 由ACB 得DFAC， ，故ACDF 以为坐标原点，分别以 的方程为x轴，y

15、轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则（0,0,0,），（0,0,3），（ ,0,0）,（0,2,0 ），（1,1,0）， 设平面的法向量 ， 由 ， ， 得 . 由（1）可知DE 平面PCD，故平面PCD的法向量 可取为 ,即 . 从而法向量 ， 的夹角的余弦值为 ， 故所求二面角A-PD-C的余弦值为 . 考点：考查线面垂直，二面角考查空间想象能力和推理能力 19. 已知，函数（，为自然对数的底数）.（）当时，求函数的单调递增区间；（）若函数在上单调递增，求的取值范围.【答案】（）（）【解析】【分析】（）求得a=2的函数f(x)的导数，利用导数的正负求出原函数的单调区间；（）原函数在上单

16、调递增，即导函数在(-1,1)大于等于0恒成立，在解不等式求得a的范围.【详解】（）当时，.令，解得所以，函数的单调递增区间为.（）方法1：若函数在上单调递增，则在上恒成立.即，令.则在上恒成立.只需，得：方法2：，令，即，解得.所以，的增区间为又因为在上单调递增，所以 即，解得.【点睛】本题目考查了导函数的应用，函数单调性的求法以及二次函数恒成立问题，属于中档题.20. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.【答案】（1）的普通

17、方程为：，的直角坐标方程为：（2）的最小值为，此时的直角坐标为【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.（2）最小值为点到直线的距离，,再根据三角函数求最值.【详解】（1）：，化简：.： ，由，化简可得：.所以的普通方程为：，的直角坐标方程为：；（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，即为到的距离的最小值，利用三角函数性质求得最小值.，其中，当且仅当，时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，利用三角函数求最小值可以简化运算.21. 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，分别为椭圆的左、右顶点，且.（1）求

18、椭圆的方程；（2）已知过左顶点的直线与椭圆另交于点，与轴交于点，在平面内是否存在一定点，使得恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求面积的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）根据题意，由双曲线的标准方程，求出和，利用，求得，根据离心率，即可求出双曲线的离心率，结合题意，得出椭圆的离心率，根据椭圆中，得出，进而求出，最后利用，求出，即可得出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为：，可求出与轴交于点，联立方程组，写出韦达定理，进而可求出，设点，求出和，通过，化简后通过直线过定点得出，由弦长公式求出，以及利用点到直线的距离公式求出点到直线：的距离，最后利用，化简后可

19、得出面积的最大值.【详解】解：（1）由题可知，双曲线，则，所以，所以双曲线的离心率：，由于椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的离心率为，而分别为椭圆的左、右顶点，且，则，得，所以，所以椭圆的标准方程为：.（2）由（1）可知，直线过点，与椭圆另交于点，与轴交于点，则设直线的方程为：，令，得，则，将代入得：，则，而，则，由于，得，设点，则，要使得，则即即，则，即，则过定点，即在平面内存在一定点，使得恒成立，由于，设点到直线：的距离为，则，所以的面积为：，因为，当且仅当时，即时，取等号，则，所以的最大值为，即面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，以及双曲线的

20、简单几何性质、联立方程组、韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，考查化简运算能力.22. 已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）若存在两个极值点，证明：.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求，根据的取值分类讨论即可；（2）由（1）知，是方程的两实数根，由韦达定理得，则要证，可转化为证明，判断，的范围和大小即可.【详解】（1）函数的定义域为，令，则.当时，恒成立，函数的单调递增区间为.当时，方程有两根，当时，；当时，；当，.的单调递增区间为、，单调递减区间为.（2）证明：由（1）知，当时，存两个极值点，函数在上单调递减，则，不妨设，则.由于，且，所以，则.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和导数在含参函数不等式证明中的应用；巧用一元二次方程中根和系数关系是关键.