2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册学案：1-4-1 第3课时 空间中直线、平面的垂直 WORD版含答案.docx

1、第3课时 空间中直线、平面的垂直课标解读课标要求素养要求1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.1.数学抽象会表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.逻辑推理能够判定直线、平面的垂直关系.3.数学运算会用空间向量的坐标运算，证明直线、平面的垂直关系.自主学习必备知识教材研习教材原句一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量 平行 ；平面与平面垂直，就是 两平面的法向量垂直 .自主思考1.若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定

2、垂直吗？提示 不一定，非零向量数量积为零时，两向量垂直零向量与任何向量的数量积都为零，两向量不一定垂直.2.两个平面的法向量垂直是两个平面垂直的什么条件？提示 充要条件.名师点睛1.线线垂直（1）设直线l1,l2 的方向向量分别为u1,u2, 则l1l2u1u2u1u2=0 .（2）设直线l1 的方向向量为a=(a1,a2,a3) ，直线l2 的方向向量为b=(b1,b2,b3) ，则l1l2abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0 .2.线面垂直（1）设直线l 的方向向量为u ，平面 的法向量为n ，则lunR ，使得u=n .（2）设直线l 的方向向量是a=(a1,b1,c1) ，平面

3、 的法向量是u=(a2,b2,c2) ，则laua=ku(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(kR) .3.面面垂直（1）设平面, 的法向量分别为n1,n2, 则n1n2n1n2=0 .（2）若平面 的法向量为u=(a1,b1,c1), 平面 的法向量为v=(a2,b2,c2), 则uvuv=0a1a2+b1b2+c1c2=0.互动探究关键能力探究点一 证明线线垂直自测自评1.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1 中，BAC=90,AB=AC=3,A1A=4, 过点A1 作平面ABC 的垂线，垂足为线段BC 的中点E ，D 是B1C1 的中点.证明：A1DA1B .答案：证明 AB=AC

4、,E 为BC 的中点，AEBC .易知A1E 平面ABC ，AE,A1E,BC 两两垂直.故以E 为原点，AE,BC,A1E 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，又AB=AC=3,BAC=90,A1A=4,BC=32+32=32,AE=BE=12BC=322,A1E=42-(322)2=462,A1(0,0,462),B(0,322,0),D(-322,0,462) ，A1D=(-322,0,0),A1B=(0,322,-462),A1DA1B=(-322)0+0322+0(-462)=0 .又A1D 与A1B 均为非零向量，A1DA1B, 即A1DA1B .2.

5、已知在正方体ABCD-ABCD 中，点M、N 分别是棱BB 与体对角线CA 的中点.求证：MNAC,MNBB .答案：证明 设正方体的棱长为1，以A 为原点，AB,AD,AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则M(1,0,12),B(1,0,0),C(1,1,0),A(0,0,1),N(12,12,12),B(1,0,1),MN=(-12,12,0),AC=(1,1,-1),BB=(0,0,1) .MNAC=(-12,12,0)(1,1,-1)=0 ，MNBB=(-12,12,0)(0,0,1)=0,MNAC,MNBB .解题感悟用向量法证明直线l1 与l2 垂直，取l

6、1 、l2 的方向向量分别为e1 ，e2 ，若e1e2=0 则l1l1 .探究点二 证明线面垂直精讲精练例在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC1 的中点，求证：A1O 平面GBD .答案：证明 以点D 为坐标原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，则A1(2,0,2),O(1,1,0),B(2,2,0),D(0,0,0),G(0,2,1),A1O=(-1,1,-2),DB=(2,2,0),DG=(0,2,1).设平面GBD 的法向量为n=(x,y,z)

7、，则nDB=0,nDG=0, 即2x+2y=0,2y+z=0,令y=-1 ，可得n=(1,-1,2) ，A1O=-n, 则A1On,A1O 平面GBD .解题感悟坐标法证明线面垂直的方法是建立空间直角坐标系，求相应坐标.（1）根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.（2）判断直线的方向向量与平面的法向量平行.迁移应用如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1 的各棱长都为2，D 为CC1 的中点.求证：AB1 平面A1BD .答案：证明 如图所示，取BC 的中点O ，取B1C1 的中点O1, 连接AO,OO1 .因为ABC 为正三角形，所以AOBC .因为在正三棱柱ABC-A1

8、B1C1 中，平面ABC 平面BCC1B1 ，所以AO 平面BCC1B1 .故以O 为原点，OB,OO1,OA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),D(-1,1,0),A(0,0,3),A1(0,2,3),B1(1,2,0),所以AB1=(1,2,-3),BA1=(-1,2,3),BD=(-2,1,0).因为AB1BA1=1(-1)+22+(-3)3=0 ，AB1BD=1(-2)+21+(-3)0=0 ，所以AB1BA1,AB1BD, 即AB1BA1,AB1BD.又因为BA1BD=B,BA1,BD 平面A1BD, 所以AB1 平面A1BD .探究点三 证

9、明面面垂直精讲精练例如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，ABBC,AB=BC=2,BB1=1,E 为BB1 的中点，证明：平面AEC1 平面AA1C1C .答案：证明 由题意得AB,BC,B1B 两两垂直，故以B为原点，BA,BC,BB1 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E(0,0,12) ，AA1=(0,0,1),AC=(-2,2,0),AC1=(-2,2,1),AE=(-2,0,12) .设平面AA1C1C 的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1AA1=0,n1

10、AC=0z1=0,-2x1+2y1=0,令x1=1, 得y1=1,n1=(1,1,0).设平面AEC1 的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2AC1=0,n2AE=0-2x2+2y2+z2=0,-2x2+12z2=0,令z2=4, 得x2=1,y2=-1,n2=(1,-1,4).n1n2=11+1(-1)+04=0,n1n2 ， 平面AEC1 平面AA1C1C .解题感悟利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直得到面面垂直. 迁移应用三棱锥被平行于底面ABC 的平面截

11、得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1,BAC=90,A1A 平面ABC,A1A=3,AB=AC=2A1C1=2 ，D 为BC 的中点.证明：平面A1AD 平面BCC1B1 .答案：证明 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,3),D(1,1,0), 所以BC=(-2,2,0),AD=(1,1,0),AA1=(0,0,3) .因为BCAD=-2+2+0=0,BCAA1=0+0+0=0 ，所以BCAD,BCAA1,所以BCAD,BCAA1 .又ADAA1=A,AD,AA1 平面A1AD,所以BC 平面A1AD,而BC 平面BCC

12、1B1,所以平面A1AD 平面BCC1B1 .评价检测素养提升课堂检测1.若直线l 的方向向量a=(8,-12,0) ，平面 的法向量=(2,-3,0) ，则直线l 与平面 的位置关系是( )A.lB.lC.直线l 与平面 相交但不垂直D.无法确定答案：B解析：=14a,a,l .2.若平面 平面 ，平面 的法向量为n=(-2,1,12) ，则平面 的法向量可以是( )A.(-1,12,14) B.(2,-1,0)C.(1,2,0)D.(12,1,2)答案： C解析：因为(-2,1,12)(1,2,0)=-2+2+0=0 ，所以向量n 与向量(1,2,0)互相垂直，满足 .3.（2021江西新

13、余一中、宜春一中高二联考）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D1D 的中点，N 是A1B1 的中点，则直线NO,AM 的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直答案： C解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A2,0,0,M0,0,1,O1,1,0,N2,1,2,NO=-1,0,-2,AM=-2,0,1.NOAM=0, 直线NO,AM 的位置关系是异面垂直.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E 为CC1 的中点，证明：平面B1DE 平面B1BD .答案：证明 以D 为原点，DA,DC,DD1

14、 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则D(0,0,0),B1(1,1,1),E(0,1,12),DB1=(1,1,1),DE=(0,1,12) ，设平面B1DE 的法向量为n1=(x,y,z),则DB1n1=x+y+z=0,DEn1=y+z2=0,令z=-2 ，则y=1,x=1 ，n1=(1,1,-2) .同理可得平面B1BD 的法向量为n2=(1,-1,0),由n1n2=0 知n1n2, 平面B1DE 平面B1BD .素养演练直观想象、数学运算、逻辑推理在关于垂直关系探索性问题中的应用已知四棱锥P-ABCD 的底面是直角梯形，ABDC ，DAB=9

15、0 ，PD 底面ABCD ，且PD=DA=CD=2AB=2 ，M 为PC 的中点.（1）求证：BM 平面PAD ；（2）在平面PAD 内是否存在点N ，使MN 平面PBD ？请说明理由.答案：（1）证明：PD 底面ABCD ，PDAD,PDCD ，易知CDAD,DA,DC,DP 两两垂直，故以D为原点，DA、DC、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，由于PD=CD=DA=2AB=2 ，所以D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1) ，易知平面PAD 的一个法向量为DC=(0,2,0) ，又BM=

16、(-2,0,1),DCBM=0, 则DCBM .又BM 平面PAD ，BM 平面PAD .（2）假设存在，设N(x,0,z) 是平面PAD 内一点，则MN=(x,-1,z-1),DP=(0,0,2),DB=(2,1,0),若MN 平面PBD ，则MNDP=0,MNDB=0,2(z-1)=0,2x-1=0, 即x=12,z=1,因此在平面PAD 内存在点N(12,0,1) ，使MN 平面PBD .素养探究：（1）以D 为坐标原点，DA、DC、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，写出各点的坐标，渗透了直观想象的素养;利用空间向量法可证明BM 平面PAD ，渗透了

17、数学运算、逻辑推理的素养.（2）假设存在，设出点N 的坐标，且是平面PAD 内一点，由MN 平面PBD 列方程组，可求得x、z 的值，进而确定点N 的坐标，渗透了数学运算的素养.迁移应用如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4 .（1）求证：ACBC1 ；（2）在线段AB 上是否存在点D ，使得AC1CD ？请说明理由.答案：（1）证明： 在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,AC、BC、CC1 两两垂直，故以C为坐标原点，CA、CB、CC1 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),AC=(-3,0,0),BC1=(0,-4,4),ACBC1=0,ACBC1（2）假设在线段AB 上存在点D ，使得AC1CD ，则AD=AB=(-3,4,0),01 ，D(3-3,4,0) ，CD=(3-3,4,0), 由（1）知AC1=(-3,0,4), 且AC1CD,-9+9=0 ，解得=1 ， 在线段AB 上存在点D ，使得AC1CD ，此时点D 与点B 重合.