2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册学案：3-2-1 双曲线及其标准方程 WORD版含答案.docx

1、3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程课标解读课标要求素养要求1.了解双曲线的定义和标准方程.2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题.3.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.1.数学抽象能够抽象出双曲线的定义.2.逻辑推理能运用定义推导出双曲线的标准方程.3.数学运算能够掌握双曲线标准方程的求法.4.数学建模能运用双曲线解决实际问题.自主学习必备知识教材研习教材原句1.双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点F1,F2 ，的距离的差的 绝对值 等于 非零常数 （小于|F1F2| ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 .2.双曲

2、线的标准方程：焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程 x2a2-y2b2=1(a0,b0) y2a2-x2b2=1(a0,b0)焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c 的关系 c2=a2+b2自主思考1.已知F1(-5,0),F2(5,0) ，动点P 满足|PF1|-|PF2|=8 ，则P 点的轨迹是什么？提示 因为F1F2|=108 ，所以P 点的轨迹是双曲线的一支.2.已知F1(-5,0) ，F2(5,0) ，动点P 满足PF1|-|PF2|=0 ，则动点P 的轨迹是什么？提示 此时动点P 的轨迹是线段F1F2 的垂直平分线.3.焦点在x 轴上的双曲线

3、的标准方程与椭圆的标准方程有什么不同？提示 形式不同，双曲线等号的右边是“-”，而椭圆是 “+”；标注不同，双曲线标注a0,b0 ，椭圆标注的是ab0 ；a,b,c 的关系不同，在双曲线中c2=a2+b2 ，而椭圆中a2=b2+c2 .名师点睛1.双曲线定义中的限制条件若将“小于|F1F2| ”改为“等于|F1F2| ”，其余条件不变，则此时动点的轨迹是以F1,F2 为端点的两条射线（包括端点）.若将“小于|F1F2| ”改为“大于|F1F2| ”，其余条件不变，则此时动点的轨迹不存在.2.双曲线中一些常用的结论（1）若P 是双曲线右支上一点，F1,F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|

4、min=a+c ，|PF2|min=c-a .（2）设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线PA,PB 斜率存在且不为0，则直线PA 与PB 的斜率之积为b2a2 .（3）双曲线上的点P （异于顶点）与其两个焦点F1,F2 连接而成的三角形PF1F2 称为焦点三角形.令|PF1|=r1 ，|PF2|=r2 ，F1PF2= ，因为|F1F2|=2c ，所以有：定义：|r1-r2|=2a ；余弦定理：4c2=r12+r22-2r2cos ；面积公式：SPF1F2=12r1r2sin .互动探究关键能力 探究点一 双曲线的标准方程精讲精练 例 求适合下列条件的双曲

5、线的标准方程.（1）a=3 ，c=4 ，焦点在x 轴上；（2）焦点为(0,-6)，(0,6) ，经过点A(-5,6) ；（3）以椭圆x28+y25=1 长轴的端点为焦点，且经过点(3,10) .答案：（1）由题设知，a=3 ，c=4 ，由c2=a2+b2 得b2=c2-a2=42-32=7 .因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x29-y27=1 .（2）由已知得c=6 ，且焦点在y 轴上.因为点A(-5,6) 在双曲线上，所以2a=|(-5-0)2+(6+6)2-(-5-0)2+(6-6)2|=|13-5|=8 ，则a=4 ，故b2=c2-a2=62-42=20 ，所以所求

6、双曲线的标准方程是y216-x220=1 .（3）由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c=22 ，设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0) ，则有a2+b2=c2=8,9a2-10b2=1 ，解得a2=3 ，b2=5 ，故所求双曲线的标准方程为x23-y25=1 .解题感悟求双曲线标准方程的步骤：定位：是指确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.定量：是指确定a2,b2 的数值，常由条件列方程组求解.提醒:若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0,n0, 则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若m0, 则方程表示焦点在y 轴上的双曲线.

7、迁移应用已知方程x22-m+y2|m|-3=1 表示双曲线，那么m 的取值范围是 .答案：m|-3m3 解析：依题意有2-m0, m-30 或2-m0, m-30,解得-3m2 或m3 ，所以m 的取值范围是m|-3m3 .探究点三 双曲线的定义及应用精讲精练 例 如图，若F1,F2 是双曲线x29-y216=1 的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|=32 ，求F1PF2 的面积.思路分析 （1）直接利用定义求解.（2）先利用双曲线的定义和余弦定理求cosF1PF2 ，再利用三角形面积

8、公式求解.双曲线的标准方程为x29-y216=1 ，故a=3 ，b=4 ，c=a2+b2=5 .答案：（1）由双曲线的定义得|MF1|-|MF2|=2a=6 ，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16-x|=6 ，解得x=10 或x=2 .又c-a=5-3=2 ，102 ，222 ，所以点M 到另一个焦点的距离为10或22.（2）将|PF2|-|PF1|=2a=6 两边平方得，|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36 ，|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|PF2|=36+232=100 .在F1PF2 中，由余弦定理

9、得cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=100-1002|PF1|PF2|=0 ，F1PF2=90 ，SF1PF2=12|PF1|PF2|=1232=16 .解题感悟双曲线定义的应用：（1）求双曲线上一点到某一焦点的距离时，根据|PF1|-|PF2|=2a 求解，注意验证（负数应该舍去，且所求距离不小于c-a ）；（2）解焦点三角形.迁移应用（2021江西南昌南铁一中高二期中）已知椭圆C1:x218+y214=1 的左、右焦点分别为F1、F2 ，双曲线C2 ：x2a2-y2b2=1(a0,b0) 与C1 共焦点，点A(3,7) 在双曲线C2 上.（1

10、）求双曲线C2 的方程；（2）已知点P 在双曲线C2 上，且F1PF2=60 ，求PF1F2 的面积.答案：（1）由椭圆方程可知c2=18-14=4 ，F1(-2,0) ，F2(2,0),A(3,7) ，2a=|AF1|-|AF2|=|(3+2)2+(7)2-(3-2)2+(7)2|=22 ，a=2 ，b2=2 故双曲线的方程为x22-y22=1 .（2）设点P 在双曲线的右支上，|PF1|=m,|PF2|=n ，m-n=22, 4c2=16=m2+n2-mn, 整理得(m-n)2+mn=168+mn=16mn=8 ，SPF1F2=12|PF1|PF2|sin60=23 .评价检测素养提升 课

11、堂检测1.若方程y24-x2m+1=1 表示双曲线，则实数m 的取值范围是( )A.（-1，3）B.(-1,+)C.(3,+) D.(-,-1)答案： B解析：依题意得m+10 ，即m-1 .2.已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0) ，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F2 ，|AB|=m ，F1 为另一焦点，则ABF1 的周长为( )A.2a+2m B.4a+2mC.a+m D.2a+4m答案：B解析：A ，B 在双曲线的右支上，|BF1|-|BF2|=2a ，|AF1|-|AF2|=2a ，|BF1|+|AF1|-(|BF2|+|AF2|)=4a

12、.|BF1|+|AF1|=4a+m .ABF1 的周长为4a+m+m=4a+2m .3.焦点在y 轴上，a=3 ，c=5 的双曲线的方程为 .答案： y29-x216=1解析： b2=c2-a2=52-32=16 ，又焦点在y 轴上， 双曲线的方程为y29-x216=1 .4.如图所示，已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0 ，定圆F2:x2+y2-10x+9=0 ，动圆M 与定圆F1,F2 都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.答案： 圆F1:(x+5)2+y2=1 ，圆心为F1(-5,0) ，半径r1=1 . 圆F2:(x-5)2+y2=42 ，圆心为F2(5,0) ，半径r2=4 .设动

13、圆M 的半径为R ，则|MF1|=R+1 ，|MF2|=R+4 ，|MF2|-|MF1|=310=|F1F2| ， 点M 的轨迹是以F1,F2 为焦点的双曲线的左支，且a=32 ，c=5 ，故b2=c2-a2=914 ， 动圆圆心M 的轨迹方程为x294-y2914=1(x-32) .素养演练直观想象、逻辑推理、数学建模双曲线在实际问题中的应用已知三艘舰艇呈“品”字形列阵（此时舰艇可视作静止的点），如图A ，B ，C ，且OA=OB=OC=3 ，假想敌舰艇在某处发出信号，A 处接收到信号的时间比B 处接收到信号的时间早4v0 （注：信号传播速度为v0 ），C 处舰艇保持静默.建立适当的平面直角

14、坐标系，求假想敌舰所有可能出现的位置的轨迹方程.答案：以AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设假想敌舰的位置为P(x,y) ，由题意可知|PB|-|PA|=v04v0=4|AB|=6 ， 该曲线是以A ，B 为焦点，4为实轴长的双曲线的左支，即2a=4 ，c=3 ，b=5 ，P 点的轨迹方程为x24-y25=1(x-2) .素养探究：建立平面直角坐标系，设假想敌舰的位置为P(x,y) ，渗透了直观想象的素养；根据|PB|-|PA| 的定值与|AB| 的关系，判断P 点在双曲线上，比较|PA| 与|PB| 的大小，确定P 点在双曲线的左支上，渗透了数学建模、

15、逻辑推理的素养.迁移应用如图是双曲线形拱桥，该拱桥的实轴长与虚轴长相等，现拱顶离水面5m ，水面宽AB=30m .若水面下降5m ，求水面的宽度.（结果精确到0.1m ）（参考数值21.41 ，52.24 ，72.65 ）答案：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可设双曲线的方程为y2a2-x2a2=1(a0) ，则C(0,-a) ，因为|AB|=30m ，|CD|=5m ，所以B(15,-a-5) ，将B 点的坐标代入双曲线的方程可得(-a-5)2a2-152a2=1 ，解得a=20 ，即y2202-x2202=1 ，当水面下降5m 时，纵坐标yN=-a-10=-30 ，代入双曲线的方程可得xN=105 ，|MN|=2xN=20544.8m .故此时水面宽度为44.8m .