《同步辅导》2015高中数学北师大版选修2-2导学案：《导数与函数的单调性》.doc

1、第1课时导数与函数的单调性1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.会利用导数判断函数的单调性.3.会利用导数求函数的单调区间.对于函数y=x3-3x,如何判断单调性呢?你能画出该函数的图像吗?定义法是解决问题的最根本方法,但定义法较繁琐,又不能画出它的图像,那该如何解决呢?问题1: 增函数和减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是.(如图(1)所示)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说函数f

2、(x)在区间D上是.(如图(2)所示) 问题2:单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数,就说这个函数在这个区间M上具有,区间M称为.问题3:判断函数的单调性有和,图像法是作出函数图像,利用图像找出上升或下降的区间,得出结论.奇函数在两个对称的区间上具有的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有的单调性.定义法是利用函数单调性的定义进行判断,通过设变量、作差、变形、定号,得出结论. 作图并观察函数的图像,找出图像上升(或下降)的起点和终点的坐标,从而得出单调递增(或递减)区间.问题4:根据导数与函数单调性的关系,在函数定义域的某个区间(a,b)内求函数单调区间的一般步骤

3、:(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导数f(x).(3)解不等式f(x)0或f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递;如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递.(4)写单调区间.1.下列函数在(0,+)上是增函数的是( ).A.y=-x2B.y=-xC.y=x2-xD.y=x22.函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减情况为( ).A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增3.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,4上是减函数,那么a的取值范围是.4.求函数y=x2-x的单调区间.求函数的单调区间求函数f(x)=2x3-3x2-36x+16

4、的单调区间.函数的变化快慢与导数的关系如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像.含有参数的函数单调性问题已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,aR.(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)设函数f(x)在区间(-,-)内是减函数,求a的取值范围.求下列函数f(x)=sin x(1+cos x)(0x0”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( ).A.(,+)B.(-,)C.,+)D.

5、(-,3.函数y=x-ln x的单调递减区间是.4.若函数y=x3+bx有三个单调区间,求实数b的取值范围.(2013年浙江卷)已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是().考题变式(我来改编):答案第三章导 数 应 用第1课时导数与函数的单调性知识体系梳理问题1:单调增函数单调减函数问题2:单调性单调区间问题3:图像法定义法相同相反横问题4:(3)增减基础学习交流1.D作出函数图像,观察图像可以得出函数y=x2在(0,+)上是增函数.2.C作出函数图像,观察图像可以得出函数y=2-3x2在区间(-1,1)上先增后减. 也可通过导数

6、研究,对于函数y=2-3x2,y=-6x,故当x(-1,0)时,y0,函数递增;当x(0,1)时,y0,是增函数;当x(-,)时,y0,得x3;由f(x)0,得-2x0和f(x)0,即a或a-时,函数f(x)存在零解.此时,当x时,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x时,f(x)或a0或f(x)0恒成立题型.思维拓展应用应用一:f(x)=cos x(1+cos x)+sin x(-sin x)=2cos2x+cos x-1=(2cos x-1)(cos x+1).因为0x0,得0x或x2;由f(x)0,得x0对xR恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾;当a0时,f(x)=3a(x+)(

7、x-),此时f(x)恰有三个单调区间. 当a0时,函数f(x)的单调减区间为(-,-)和(,+),单调增区间为(-,). 基础智能检测1.B函数y=x3,当x=0时,f(0)=0,但y=x3是R上的增函数,故选B.2.C由已知函数是R上的单调函数,可得y=3x2+2x+m0恒成立,判别式=4-12m0,解得m,故选C.3.(0,1)定义域是(0,+),由y=1-=0及定义域得0x1,单调递减区间是(0,1).4.解:因为已知函数有三个单调区间,所以y=3x2+b=0有两个不同的实数根,即3x2=-b有两个不同的实数根,得b0,所以实数b的取值范围是(-,0).全新视角拓展Bf(x)在(-1,1)上由小到大,再由大到小,且均是正数,因此函数图像切线的斜率大于0,且在(-1,1)上由小到大,再由大到小,符合条件的函数为B.