2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）2-2 基本不等式（第1课时）（分层作业） WORD版含解析.doc

1、2.2 基本不等式（第1课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1（2021广东江门市广雅中学高一期中）函数的最小值为（）A1B2C3D4【答案】D【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号；故选：D2（2022宁夏青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数满足 ，则的最大值（）ABCD【答案】B【分析】直接使用基本不等式进行求解即可.【详解】因为正数满足 ，所以有，当且仅当时取等号，故选：B3（2021吉林延边二中高一阶段练习）若，则下列不等式成立的是（）ABCD【答案】B【分析】利用不等式的性质及基本不等式比较.【详解】因为，则，又，所以.故

2、选：B.【点睛】本题考查不等关系及基本不等式的运用属于简单题4（2021全国高一专题练习）若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（）ABCD【答案】B【分析】利用基本不等式的性质比较大小即可.【详解】由题知：，且，所以，故排除D.因为，故排除A.因为，故排除C.故选：B5（2021江苏星海实验中学高一阶段练习）若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（）A0B1C2D3【答案】C【分析】由已知结合不等式的性质可以推理得到（1）不正确，（4）不正确，（3）正确；由基本不等式可判断（2）正确【详解】因为，所以，成立，所以（1）不正确，（4）不正确；因为，所以

3、（3）正确；都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确故选：C6（2021湖北黄石高一期中）若，则函数的最小值为（）A4B5C7D9【答案】C【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为；故选：C7（2022青海青海高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（）ABCD1【答案】B【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为，所以因为x，y都是正数，由基本不等式有：，所以，当且仅当即时取“”故A，C，D错误.故选：B二、多选题8（2020黑龙江哈尔滨市第一二二中学校高一期中）已知，且.则下列不等式恒成立的是（）ABCD【答案】AC【

4、分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】当时，所以BD选项错误.A，当且仅当时，等号成立，A正确.C，当且仅当时，等号成立，C正确.故选：AC9（2022江西高一期末）已知，则下列不等式成立的是（）ABCD【答案】ACD【分析】根据不等式的性质判断A，B，根据比较法判断C，根据基本不等式判断D.【详解】对于A，因为，所以，所以A正确；对于B，由，当时，所以B不正确；对于C，因为，所以，故，所以C正确；对于D，因为，所以均值不等式得，所以D正确；故选：ACD.10（2022全国高一课时练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家

5、哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若a，b，则下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】ABC【分析】根据不等式的性质，或者做差法，即可判断选项.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，故B正确；对于C，若，则，即，故C正确；对于D，当，时，满足，但，故D不正确故选：ABC三、填空题11（2022广西柳州高一期末）若，则的最小值为_.【答案】0【分析】构造，利用基本不等式计算即可得出结果.【详解】由，得，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：012（2022四川成都七中高一期末）已知点在直线上，当时，的最小值为_【答案

6、】【分析】利用均值不等式求解即可.【详解】因为点在上，所以.所以，当且仅当时等号成立.故答案为：13（2022福建省龙岩第一中学高一阶段练习）若函数在区间上的最小值为3，则的最大值为_【答案】【分析】先根据一次函数单调性及最小值求出，再利用基本不等式“和定积最大”，求解最大值.【详解】单调递增，所以在区间1，2上，所以，因为，所以当且仅当时，等号成立.故答案为：14（2021江苏无锡市市北高级中学高一期中）已知，且满足，则的最大值为_.【答案】【分析】根据基本不等式求解即可【详解】因为，且满足，则当且仅当时取等号，所以的最大值为3.故答案为：15（2022全国高一）已知，则在下列不等式；其中恒

7、成立的是_.（写出所有正确命题的序号）【答案】【分析】对，可以利于基本不等式证明；对于可以分析判断得解.【详解】，（当且仅当时等号成立），所以正确；，要证，只需证只需证，显然成立，所以正确；，只需证只需证只需证，与已知不符，所以错误；，要证，只需证只需证，显然成立，所以正确；，要证，只需证只需证只需证只需证，与不符，所以错误.故答案为：16（2020江苏高一单元测试）若a0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是_（填序号）.；2；a2b28.【答案】【分析】结合基本不等式进行逐个判定，直接利用基本不等式可判定正误，通过变形可得正误.【详解】因为（当且仅当ab时，等号成立），即2，ab4，故不

8、成立；，故不成立；故成立.故答案为：.四、解答题17（2021全国高一专题练习）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证： 【分析】对不等式左侧每个因式应用基本不等式即可得到结论.【详解】都是正数，（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号），即.18（2022全国高一）已知，求证.【分析】直接写出三个重要不等式相加即得证.【详解】，+得；.(当且仅当等号成立).19（2021江苏高一课时练习）证明：（1）；（2）.【分析】（1），利用基本不等式即可证明.（2），利用基本不等式即可证明.【详解】（1），当且仅当时，即时，等号成立.（2），当且仅当时取等号

9、，此时，显然的值不存在，所以等号不成立，所以.20（2022内蒙古巴彦淖尔高一期末）请解决下列两个问题：(1)求函数的最小值；(2)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式0的解集.【答案】(1)8；(2)【分析】利用基本不等式求函数的最小值易知，是方程的解，求出就可求出下一个不等式的解.（1），当且仅当时，等号成立.故的最小值为8.（2）因为关于的不等式的解集为，所以方程的实数根为和3，所以，代入不等式，得，解得.故不等式的解集为.21（2022江苏省如皋中学高一期末）已知集合(1)设，求的取值范围；(2)对任意，证明：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得，再根据二次函数的

10、性质计算可得；（2）依题意，再结合（1）即可证明.（1）解：若，又，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，故的取值范围为（2）证明：，当且仅当时取等号22（2022全国高一课时练习）（1）设，求的最大值；（2）已知，若，求的最小值【答案】（1）；（2）【分析】（1）将转化为，用基本不等式求最大值即可；（2）将变形为，整理后用基本不等式求最值.【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为；（2）因为，所以，又，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为23（2022全国高一课时练习）（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值【答案】（1）9；（2

11、）【分析】（1）由于，则，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于，变形得，然后利用基本不等式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9（2）因为，所以，当且仅当，即时取等号，故的最大值为24（2022全国高一单元测试）若，求证：【分析】连续使用两次基本不等式即可求证【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立又，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当，即时取等号25（2021新疆和硕县高级中学高一阶段练习）（1）证明：若，则（2）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：【分析】（1）利用不等式的性质证明即可，（2）根据题意利用基本不等式可得，再利用不等式的性质

12、可证得结论【详解】（1）证明：因为，所以，所以，即，所以，得证；（2）因为都是正数，所以（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；所以（当且仅当时取等号），即【能力提升】一、单选题1（2022全国高一课时练习）若，则有（）A最小值B最小值C最大值D最大值【答案】D【分析】根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值故选：D.2（2021河南商丘市第一高级中学高一阶段练习）在商丘一高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天平，某物理老师欲修好此天平，经仔细检查发现天平两臂长不等，其余均精确，有老师要用它称物体的质

13、量，他将物体放在左、右托盘各称一次，取两次称重结果分别为，设物体的真实质量为，则()ABCD【答案】C【分析】利用杠杆原理和基本不等式即可求解.【详解】设天平的左、右臂长分别为，物体放在左、右托盘称得的质量分别为，真实质量为，由杠杆平衡原理知：，由上式得，即，由于，故，由基本不等式，得.故选：C.3（2021辽宁沈阳二中高一阶段练习）若a，b，c均为正实数，则三个数，（）A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2【答案】D【分析】对于选项ABC可以举反例判断，对于选项D, 可以利用反证法思想结合基本不等式，可以确定，至少有一个不小于2，从而可以得结论【详解】解：A. 都不

14、大于2，结论不一定成立，如时，三个数，都大于2，所以选项A错误；B. 都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如则，所以选项B错误；C.至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如时，三个数，都大于2，所以选项C错误.由题意，a，b，c均为正实数，当且仅当时，取“=”号，若，则结论不成立，至少有一个不小于2，所以选项D正确；故选：D4（2022广东华南师大附中高一期末）若正实数满足，则（）A有最大值B有最大值4C有最小值D有最小值2【答案】A【分析】结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项的结论是否成立即可.【详解】因为正实数满足所以，当且仅当，即取等号，故A正确、C错误，当且仅

15、当，即取等号，故B、D错误故选：A5（2022湖北恩施高一期末）若，则的最小值是（）A16B18C20D22【答案】C【分析】化简，再根据基本不等式求最小值即可【详解】因为，所以(当且仅当时，等号成立)，所以的最小值是20.故选：C二、多选题6（2022全国高一课时练习）2022年1月，在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中，我国一运动员以1325分排名男子100米世界第八名，极大地激励了学生对百米赛跑的热爱甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为，甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，

16、另一半的路程以速度奔跑其中，则下列结论中一定成立的是（）ABCD【答案】AC【分析】首先利用时间和速度的关系表示三人的时间，再利用不等式的关系，结合选项，比较大小，即可判断选项.【详解】由题意，所以，根据基本不等式可知，故，当且仅当时等号全部成立，故A选项正确，B选项错误；，故C选项正确；，故D选项错误故选：AC7（2021徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a0，b0，则（）ABCD【答案】ACD【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用作差法判断；C.利用基本不等式判断；D.利用作差法判断.【详解】A. ，当且仅当时，等号成立，故正确；B. 因为，正负不定，故错误；C. ，

17、当且仅当，时，等号成立，故正确；D. ，故正确；故选：ACD8（2021辽宁高一期中）下列说法中，正确的有（）A的最小值是2B的最小值是2C若，则D若，则【答案】CD【分析】利用不等式的性质及基本不等式逐项分析即得.【详解】对于A，当时，故A错误；对于B，当且仅当，即时取等号，显然不可能，故B错误；对于C，由，可得，即，故C正确；对于D，由，可知，所以，故D正确.故选：CD.9（2021新疆沙湾县第一中学高一期中）下列命题正确的是（）A，B若，则的最小值为4C若，则的最小值为3D若，则的最大值为2【答案】AD【分析】由配方法和基本不等式依次判断4个选项即可.【详解】对于A，A正确；对于B，若，

18、则，当且仅当即时取等，B错误；对于C，当且仅当时取等，由于无解，则的最小值取不到3，C错误；对于D，整理得，当且仅当即时取等，D正确.故选：AD.三、填空题10（2022全国高一课时练习）当时，求函数的值域为_【答案】【分析】首先根据判断的正负，再将函数式转化为，根据均值不等式求解.【详解】因为，所以，即，所以，又因为，当且仅当，即时等号成立，所以，则函数的值域为.故答案为：.11（2022全国高一课时练习）若，则当_时，取得最小值【答案】【分析】由题知，进而分和两种情况，结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为，所以，即当时，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值；当时，当且仅当时取等号，所

19、以当时，取得最小值综上所述，当时，取得最小值故答案为：12（2022吉林长春市第二中学高一期末）已知，且，则的最小值为_.【答案】12【分析】，展开后利用基本不等式可求【详解】，且，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为12故答案为：1213（2022广东广州高一期末）在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为_【答案】【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.【详解】 （当且仅当时取等号）.令，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即

20、时，取得最小值，故可得， 又，故可得，当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题.四、解答题14（2022全国高一课时练习）已知均为正实数(1)求证：(2)若，证明：【分析】（1）将、三式相加可证明；（2）由条件可得，然后可证明.（1）因为均为正实数，所以（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），以上三式相加，得（当且仅当时等号成立），所以（当且仅当时等号成立），即（当且仅当时等号成立）（2）由题可得，则左边 ，当且仅当，即时取“”故成立15（2022全国高一课时

21、练习）已知a，b，c均为正实数，求证：(1)；(2)【分析】（1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证得结论，（2）利用可证得，同理可得，3个式相加可证得结论.（1）证明：左边，当且仅当时取“”故（2）证明：因为，当且仅当时取“”，所以，所以，所以，同理，当且仅当时取取“”，当且仅当时取“”+，得，当且仅当时等号成立16（2021河南高一期中）已知、都是正数(1)求证：；(2)若恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将所证不等式等价转化为证明，利用基本不等式结合不等式的基本性质可证得结论成立；（2）化简得出，利用基本不等式可得出关于的二次不等式，解之即可.(1)证

22、明：要证，左右两边同乘以可知即证，即证因为、都是正数，由基本不等式可知，当且仅当时，以上三式等号成立，将上述三个不等式两边分别相加并除以，得所以，原不等式得证(2)解：，因为，当且仅当时等号成立，所以，即，解得，故实数的取值范围为17（2022全国高一课时练习）某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入假设到第年年底，该项目的纯利润为万元（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：年平均利润最大时，以万元转让该项目

23、；纯利润最大时，以万元转让该项目你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由【答案】(1)，从第年起开始盈利(2)选择方案更有利于该公司的发展；理由见解析【分析】（1）根据题意可得表达式，令，解不等式即可；（2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案.（1）由题意可知，令，得，解得，所以从第年起开始盈利；（2）若选择方案，设年平均利润为万元，则，当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）若选择方案，纯利润，所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）以上两种方案获利均为万元，但方案只需年，而方案需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案更有利于该

24、公司的发展18（2021全国高一专题练习）（1），比较与的大小；（2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值.【答案】（1）；（2）的最小值20，【分析】（1）利用基本不等式即可得解；（2）由（1）知，再利用基本不等式即可得解.【详解】（1），当且仅当，即时，等号成立.所以.（2）由（1）知，当且仅当时取等号，显然要使成立，需满足，解得综上可知，当，代数式取得最小值20.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.19（2021全国高一专题练习）已知,且.证明：（）；（）.【分析】（）根据均值不等式可以证明；（）根据均值不等式和已知条件的灵活应用可以证明.【详解】证明，b，且，当且仅当时，等号成立，【点睛】本题主要考查不等式的证明，均值不等式是常用工具，侧重考查逻辑推理的核心素养.