数学人教A版选修2-3教案：1.3.3二项式定理习题课 WORD版含解析.doc

1、二项式定理习题课教学目标知识与技能1能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题3能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质4会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法过程与方法1能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等2能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题3能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题情感、态度与价值观1培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用2培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力3进一步提升学

2、生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题前面我们学习了二项式定理，请回顾：1(ab)n_(nN*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(ab)n的_，其中C(r0,1,2，n)叫做_，通项是指展开式的第_项，共有_项其中二项式系数是_，系数是_2二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：_.(2)性质2：_.(3)二项式系数的最大值_(4)二项式系数之和_，所用方法是_答案：1(ab

3、)nCanCan1bCan2b2CanrbrCbn(nN)、展开式、二项式系数、r1、n1、C、变量前的常数2(1)CCnmn(2)CCC(3)当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即Cn最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即CnCn最大(4)CCCCC2n赋值法类型一：二项展开式的有关概念例1试求：(1)(x3)5的展开式中x5的系数；(2)(2x2)6的展开式中的常数项；(3)在(x)100的展开式中，系数为有理数的项的个数思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行

4、判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项解：(1)Tr1C(x3)5r()r(2)rCx155r，依题意155r5，解得r2.故(2)2C40为所求x5的系数(2)Tr1C(2x2)6r()r(1)r26rCx123r，依题意123r0，解得r4.故(1)422C60为所求的常数项(3)Tr1C(x)100r()rC3502x100r，要使x的系数为有理数，指数50与都必须是整数，因此r应是6的倍数，即r6k(kZ)，又06k100，解得0k16(kZ)，x的系数为有理数的项共有17项点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r的值或取值范围应当注意的

5、是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分【巩固练习】试求：(1)(x2)10(x21)的展开式中x10的系数；(2)(|x|2)3的展开式中的常数项解：(1)(x2)10x1020x9180x8，(x2)10(x21)的展开式中x10的系数是1180179.(2)(|x|2)3()6，所求展开式中的常数项是C20.类型二：二项展开式的有关应用简单应用例2求(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展开式中x2的系数解：(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5，所求展开式中x2的系数就是(x1)6的展开式中x3的系数C20.点评：这是一组将一个二项式扩展为若干

6、个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征能够最大限度地考查学生对知识的把握程度 【巩固练习】(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中x3项的系数是()A74 B121C74 D121解析：先求和：(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8，分子的展开式中x4的系数，即为原式的展开式中x3项的系数，(1)14(C)6C4(C)1206040121，所以选D.答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题例3证明：(1)2(1)n3，其中nN*；(2)证明：对任意非负整数n,33n26n

7、1可被676整除思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，本题也不例外证明：(1)(1)n1CC()22(当且仅当n1时取等号)当n1时，(1)n23显然成立；当n2时，(1)nCCCC22222(1)()()33.综上所述：2(1)n3，其中nN*.(2)当n0，n1时33n26n10，显然33n26n1可被676整除当n2时，33n26n127n26n1(126)n26n1126nC262C26n26n1C262C263C26n6

8、76(C26C26n2C)综上所述：对任意非负整数n,33n26n1可被676整除点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题【巩固练习】已知m，n是正整数，f(x)(1x)m(1x)n的展开式中x的系数为7，(1)试求f(x)中的x2的系数的最小值；(2)对于使f(x)中的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；(3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)解：根据题意得：CC7，即mn7.(*)(1)x2的系数为CC.将(*)变形为n7m代入上式得：x2的系数为m27m

9、21(m)2.故当m3或4时，x2的系数的最小值为9.(2)当m3，n4或m4，n3时，x3的系数为CC5.(3)f(0.003)2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题例4求(x1)9的展开式中系数最大的项思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察本题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号解：Tr1(1)rCx9r.CC126，而(1)41，(1)51，T5126x5是所求系数最大的项点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要

10、注意一些常用方法和数学思想的应用【巩固练习】求()8展开式中系数最大的项解：记第r项系数为Tr，设第k项系数最大，则有又TrC2r1，那么有即解得3k4，系数最大的项为第3项T37x和第4项T47x.类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值等于_；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式解：令x1，得a0a1a2a3a4(2)4，令x1，得a0a1a2a3a4(2)4，由此可得(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a

11、1a2a3a4)(2)(2)41.点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和【巩固练习】已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求(1)a0a1a7的值；(2)a0a2a4a6及a1a3a5a7的值；(3)各项二项式系数和解：(1)令x1，则a0a1a71.(2)令x1，则a0a1a2a3a6a72 187.则a1a3a5a71 094；a0a2a4a61 093.(3)各项二项式系数和CCC27128.【拓展实例】例1(1)6(1)10的展开式中的常数项为()A1 B46 C4 2

12、45 D4 246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决本题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0，即可求得常数项解：先求(1)6的展开式中的通项Tr1C(x)rCx，r0,1,2,3,4,5,6.再求(1)10的展开式中的通项Tk1C(x)kCx，k0,1,2,3,4，10.两通项相乘得：CxCxCCx，令0，得4r3k，这样一来，(r，k)只有三组：(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求故常数项为：1CCCC4 246.点评：对于乘积的式子或者三项的式子的展开问题，我们可以通过化归思想，将其转化成二项展开式问题要注意本题中，常数项的位置有三处【

13、巩固练习】已知(1xx2)(x)n的展开式中没有常数项，nN*，且2n8，则n_.解析：依题意(x)n，对nN*，且2n8中，只有n5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、x2乘积为常数的项故填5.答案：5【变练演编】(1)对于9100你能编出什么样的整除问题？如9100被_整除的余数是_(2)(2x2)6的展开式中的常数项是第_项，整数项是第_项，x的最高次项是第_项，二项式系数之和是_，系数之和是_将你能得到的所有正确的答案一一列举出来答案：(1)这是一个开放性的问题，学生可以有多种答案，比如说9100被8整除的余数是1,9100被80整除的余数是1等等(2)Tr1C(2x2)6r(

14、)r(1)r26rCx123r.依题意123r0，解得r4，所以常数项是第5项；整数项是第1,2,3,4,5项；x的最高次项是第1项；二项式系数之和为64；系数之和为1.设计意图：变练演编这种开放性的设计，能够有效地提高学生学习的积极性，使得编题不仅仅是老师的专利，学生在编题解题的过程中，领悟知识，提高能力，增长兴趣，增强信心，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维，最终提高学生的数学成绩【达标检测】1(x)12展开式中的常数项为()A1 320 B1 320 C220 D2202(1)6(1)4的展开式中x的系数是()A4 B3 C3 D43若(12x)2 005a0a1x

15、a2x2a2 005x2 005(xR)，则(a0a1)(a0a2)(a0a3)(a0a2 005)_(用数字作答)答案：1.C2.B3.2 003反考老师：即由学生出题，教师现场解答(约8分钟)(活动设计：请学生到黑板板书题目，要求别太烦琐，且与本节习题课内容相符一般不多于3道题，教师尽可能全部解答，具体解答数目视题目难度和时间而定教师要边做边讲，以向学生现场展示解题思路的发现过程和解题能力做完后，请学生给“阅卷”)活动设计：先给学生12分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等活动成果：(板书)1知识

16、收获：二项式定理、二项展开式、二项式系数的性质2方法收获：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题3思维收获：合作意识，创新精神，增加了学习数学的积极性，提升学习数学的兴趣设计意图：通过学生自己总结所学、所识、所想，不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位不仅可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！【基础练习】1计算13C9C27C(1)n3nC.2(x2)3的展开式中，常数项是_3已知(3x)n，nN*的展开式中各项系数

17、和为128，则展开式中的系数是()A7 B7 C21 D214求()10的展开式中有理项共有_项1解：原式CC(3)1C(3)2C(3)3C(3)n(13)n(2)n.2解析：(x2)33.上述式子展开后常数项只有一项，即20.3解析：由已知条件可得：(31)n128，n7.Tr1(1)rC(3x)7r()r(1)rC37rx7r.令73，则有：r6.所以二项展开式中的系数是：T7(1)6C37621，故选C.4解析：Tr1C()10r()rC(1)rx5r.当r0,6时，所对应的项是有理项故展开式中有理项有2项【拓展练习】5已知(1kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则

18、k_.6设nN，则CC6C62C6n1_.5解析：(1kx2)6按二项式定理展开的通项为Tr1C(kx2)rCkrx2r，我们知道x8的系数为Ck415k4，即15k4120，也即k48，而k是正整数，故k只能取1.6解：CC6C62C6n1CCC6C6n1C(CC6C62C6n1)(16)n1(7n1)二项式定理的内容，是各地高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是选择题和填空题，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式、二项式系数的有关性质等常见的二项式问题有：求二项展开式中某一项或某一项的系数，求所有项系数的和或奇(偶)数项系数和，求展开式的项数，求常数项，求近似值，证明

19、不等式等实际教学的过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生发挥其创造意识，以使他们能在创造的氛围中学习二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式二项式的乘方的展开式二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用，又可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备所以有必要掌握好二项式定理的相关内容二项式定理同步练习选择题1已知CCC，那么n等于()A14B12C13D15

20、2C3C9C3nC的值等于()A4n B34n C.1 D .3CCC的值为()A2 048 B1 024 C1 023 D5124(x1)(2x1)(3x1)(nx1)展开式中x的一次项系数为()AC BCCC D不能用组合数表示5设(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，则a0a1a2a2n等于 ()A22n B3n C. D.6若n是正奇数，则7nC7n1C7n2C7被9除的余数为()A2 B5 C7 D87(1x)2(1x)3(1x)10展开式中x4的系数为()AC BC CC DC填空题8(ab)n展开式中第r项为_9111001的末位连续零的个数为_参考答案1A2.A3.C4.C5.B6.C7.A5提示：令x1即可8TrCan1rbr193(设计者：毕晓岩)