数学人教A版选修2-3问题导学 第三章3.1　回归分析的基本思想及其初步应用 WORD版含解析.doc

1、3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 问题导学一、求线性回归方程活动与探究 1某工厂 18 月份某种产品的产量与成本的统计数据见下表：月份12345678产量(吨)5.66.06.16.47.07.58.08.2成本(万元)130136143149157172183188以产量为 x，成本为 y(1)画出散点图；(2)y 与 x 是否具有线性相关关系？若有，求出其回归方程迁移与应用1(2013 海南海口模拟)在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是 A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则 y 与 x 之间的回归直线方程为()Ayx1 Byx2Cy2x1 Dyx12某商场

2、经营一批进价是 30 元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x 取整数)元与日销售量 y 台之间有如下关系：x35404550y56412811(1)y 与 x 是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程(方程的斜率精确到个位)(2)设经营此商品的日销售利润为 P 元，根据(1)写出 P 关于 x 的函数关系式，并预测当销售单价 x 为多少元时，才能获得最大日销售利润(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散

3、点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义二、线性回归分析活动与探究 2某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次数(x)3033353739444650成绩(y)3034373942464851(1)作出散点图；(2)求出线性回归方程；(3)作出残差图，并说明模型的拟合效果；(4)计算 R2，并说明其含义迁移与应用1某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表：广告费用 x/万元4235销售额 y/万元49263954根据上表可得回归方程ybxa中的b为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为()A63.6 万元 B65.5

4、万元C67.7 万元D72.0 万元2在一段时间内，某种商品的价格 x(元)和需求量 y(件)之间的一组数据为：x(元)1416182022y(件)1210753且知 x 与 y 具有线性相关关系，求出 y 对 x 的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏“相关指数 R2、残差图”在回归分析中的作用：(1)相关指数 R2 是用来刻画回归效果的，由 R21i1nyiyi2i1nyi y 2可知 R2 越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好(2)残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是：残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高三、

5、非线性回归分析活动与探究 3下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出 x 与 y 的散点图，并猜测 x 与 y 之间的关系；(2)建立 x 与 y 的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预报 x40 时 y 的值迁移与应用1在彩色显影中，由经验知形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式yebxA(b0)表示，现测得试验数据如下：xi0.050.060.250.310.070.100.380.430.140.200.47yi0.100.141.001.120.230.371.191.250.590.791.29则 y 对

6、x 的回归方程是_2在一次抽样调查中测得样本的 5 个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立 y 与 x 之间的回归方程非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决答案：课前预习导学【预习导引】1(1)确定性 非确定性(2)相关(3)i1n(xi x)(yi y)i1n(xi x)21221niiiniix ynxyxnx y bx 样本点的中心(4)随机误差 解释变量 预报变量预

7、习交流 1 D2yibxia yiyi yibxia31i1n(yiyi)2i1n(yi y)2 解释变量 预报变量 1预习交流 2 提示：散点图可以说明变量间有无线性相关关系，只能粗略地说明两个变量之间关系的密切程度，而相关指数 R2 能精确地描述两个变量之间的密切程度预习交流 3 提示：(1)回归方程只适用于所研究的样本的总体(2)所建立的回归方程一般都有时间性(3)样本的取值范围会影响回归方程的适用范围(4)不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值事实上，它是预报变量的可能取值的平均值课堂合作探究【问题导学】活动与探究 1 思路分析：画出散点图，观察图形的形状得 x 与 y 是否

8、具有线性相关关系把数值代入回归系数公式求回归方程解：(1)由表画出散点图，如图所示(2)从上图可看出，这些点基本上散布在一条直线附近，可以认为 x 和 y 线性相关关系显著，下面求其回归方程，首先列出下表序号xiyixi2yi2xiyi15.613031.3616 900728.026.013636.0018 496816.036.114337.2120 449872.346.414940.9622 201953.657.015749.0024 6491 099.067.517256.2529 5841 290.078.018364.0033 4891 464.088.218867.2435

9、3441 541.654.81 258382.02201 1128 764.5x 6.85，y 157.25b81822188iiiiix yxyxx8 764.586.85157.25382.0286.85222.17，a y bx 157.2522.176.855.39，故线性回归方程为y22.17x5.39迁移与应用 1A 解析：方法一：x 1234452，y 2345472故b152 272 252 372 352 472 452 5721522252235224522 322 122 122 322 322 122 122 3221，a y bx 72521因此，yx1，故选 A方法

10、二：也可由回归直线方程一定过点(x，y)，即52，72，代入验证可排除 B，C，D故应选 A2解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关设回归直线为ybxa，由题知 x 42.5，y 34，则求得bi14(xi x)(yi y)i14(xi x)2370125 3a y bx 34(3)42.5161.5y3x161.5(2)依题意有P(3x161.5)(x30)3x2251.5x4 8453x251.562251.5212 4 845当 x251.5642 时，P 有最大值，约为 426即预测销售单价为 42 元时，能获得最大日销售利润活动与探

11、究 2 思路分析：先画出散点图，确定是否具有线性相关关系，求出回归方程，再求出残差，确定模型的拟合的效果和 R2 的含义解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系(2)x 39.25，y 40.875，i18x2i12 656，i18y2i13 731，i18xiyi13 180，bi18(xi x)(yi y)i18(xi x)2i18xiyi8 xyi18x2i8 x 21.041 5，a y bx 0.003 875，线性回归方程为y1.041 5x0.003 875(3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布

12、在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适(4)计算得相关指数 R20.985 5，说明了该运动员的成绩的差异有 98.55%是由训练次数引起的迁移与应用 1B 解析：a y bx 4926395449.4423549.1，回归方程为y9.4x9.1令 x6，得y9.469.165.5(万元)2解：x 15(1416182022)18，y 15(1210753)7.4，521iix1421621822022221 660，521iiy122102725232327，i15xiyi14121610187205223620，b51522155iiiiix yxyxx6205187.41 660518

13、2 46401.15a7.41.151828.1，回归直线方程为y1.15x28.1列出残差表为：yiyi00.30.40.10.2yi y4.62.60.42.44.4i15(yiyi)20.3，i15(yi y)253.2，R21i15(yiyi)2i15(yi y)20.994故 R20.994 说明拟合效果较好活动与探究 3 思路分析：先由数值表作出散点图，然后根据散点的形状模拟出近似函数，进而转化为线性函数，由数值表求出回归函数解：(1)作出散点图如图，从散点图可以看出 x 与 y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线21ec xyc的周围，其中 c

14、1，c2 为待定的参数(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令 zln y，则有变换后的样本点应分布在直线 zbxa，aln c1，bc2 的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立 y 与 x 之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得回归直线方程为z0.272x3.849，ye0.272x3.849残差yi711212466115325yi6.44311.10119.12532.95056.770128.381290.325ei0.5570.1011.8758.9509.2313.38

15、134.675(3)当 x40 时，ye0.272x3.8491 131迁移与应用 10.151.73exy 解析：由题给的经验公式 yebxA，两边取自然对数，便得 ln yln Abx与线性回归直线方程相对照，只要取 u1x，vln y，aln A，就有 vabu，这是 v 对 u 的线性回归方程对此我们已经掌握了一套相关性检验，求 a 与回归系数 b 的方法题目所给数据经变量置换 u1x，vln y 变成如下表所示的数据：ui20.00016.6674.0003.22614.28610.000vi2.3031.96600.1131.4700.994ui2.6322.3267.1435.0

16、002.128vi0.1740.2230.5280.2360.255|r|0.9980.75，故 v 与 u 之间具有很强的线性相关关系，求回归直线方程是有意义的由表中数据可得b0.15，a0.55，即v0.550.15u把 u 与 v 换回原来的变量 x 与 y，即 u1x，vln y，故 ln y0.550.15x，即y0.150.55exe0.550.15ex0.151.73ex这就是 y 对 x 的回归曲线方程2解：画出散点图如图所示根据散点图可知 y 与 x 近似地呈反比例函数关系，设 ykx，令 t1x，则 ykt，原数据变为：t4210.50.25y1612521由置换后的数值表

17、作散点图如下：由散点图可以看出 y 与 t 呈近似的线性相关关系列表如下：序号tiyitiyit2iy2i141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.062517.753694.2521.312 5430所以 t 1.55，y 7.2所以bi15tiyi5 t yi15t2i5 t 24.134 4，a y bt 0.8所以y4.134 4t0.8所以 y 与 x 的回归方程是y4.134 4x0.8当堂检测1(2012 湖南高考，理 4)设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x

18、i，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为 y0.85x85.71，则下列结论中不正确的是()Ay 与 x 具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心(x，y)C若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kgD若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg答案：D 解析：D 选项中，若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重约为0.8517085.7158.79(kg)故 D 不正确2为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父子的身高数据如下：父亲身高 x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)175

19、175176177177则 y 对 x 的线性回归方程为()Ayx1 Byx1Cy88 12 xDy176答案：C 解析：法一：由线性回归直线方程过样本中心(176,176)，排除 A，B 答案，结合选项可得 C 为正确答案法二：将表中的五组数值分别代入选项验证，可知 y88 12 x 最适合3在两个变量 y 与 x 的回归模型中，分别选择了 4 个不同的模型通过计算得 R2 的值如下，其中拟合效果最好的模型是()A模型 1 的 R2 为 0.98B模型 2 的 R2 为 0.80C模型 3 的 R2 为 0.50D模型 4 的 R2 为 0.25答案：A 解析：R2 越接近于 1，则该模型的

20、拟合效果就越好，精度越高4若对于变量 y 与 x 的 10 组统计数据的回归模型中，R20.95，又知残差平方和为120.53，那么101i(yi y)2 的值为_答案：2 410.6 解析：依题意有 0.951 1021120.53()iiyy，所以1021()iiyy2 410.65假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计数据x23456y2.23.85.56.57.0若由此资料可知 y 对 x 呈线性相关关系，试求：(1)回归直线方程；答案：解：由题表中数据列成下表：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0 xiyi4.411.422.032.542.0 xi249162536x 4，y 5，521iix90，51iiix y112.3于是51522215112.35 4 51.23905 45iiiiix yxybxx ，a y bx 51.2340.08，所以回归直线方程为 y bx a 1.23x0.08(2)估计使用年限为 10 年时，维修费用为多少？答案：当 x10 时，y 1.23100.0812.38(万元)，估计使用 10 年时的维修费用为 12.38 万元 提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记