数学人教A版选修4-5课后导练：1.1.6三个正数的算术——几何平均不等式（二） WORD版含解析.doc

1、课后导练基础达标1下列不等式的证明过程正确的是( )A.若a、bR,则=2B.若x、y是正实数,则lgx+lgyC.若x是负实数,则x+=4D.若a、bR且ab0,则=-2解析:只有D正确.ab0.0.A、B、C三个选项忽视了各项为负值的情形.答案:D2函数y=的最小值是_.解析:y=,设t=2,则y=t+在2,+)上是增函数.ymin=2+.答案:3设a、bR,已知命题p:a=b;命题q:()2.则p是q成立的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:命题p:a=b是命题q:()2成立的充分不必要条件.故选B.答案:B4函数y=x(1-3x)(0

2、x)的最大值是( )A. B.C.0 D.无最大值解析:y=3x(1-3x)()2=,即ymax=.此时3x=1-3xx=.答案:B5如果x2+xy+y2=1(x、yR),那么n=x2+y2适合的条件是( )A.02),n=(x2,x0,x2-2-2.又m=a-2+24(当且仅当a=3时取等号),n=()-2=4,m4,nn.答案:mn7已知x和k都是正实数,f(x)=,则( )A.f(x)4 B.f(x)3C.f(x)2 D.f(x)2解析:f(x)=2,即f(x)min=2,此时x2+k=1x2=1-k.当00,b0,c0,故有不等式a+b+c(见阅读材料),即(a+b+c)327abc,

3、当且仅当a=b=c时,上式等号成立,故三角形为等边三角形.9某工厂生产一批精密仪器,这个厂有两个分厂,分设在甲、乙两城市.在甲城市的分厂生产半成品,然后送到乙城市的分厂加工成成品.现该厂接受了一批订货,要在100天内制成这批精密仪器.由于乙分厂每天可以加工完一件仪器,而甲分厂的半成品保证满足供应,所以这项订货任务恰好按期完成.今知每一批半成品从甲市运到乙市的运费为100元,而每个半成品在乙市储存一天的储存费为2元.问应分几批(批量相等),才能使总的花费(包括运输费及储存费)最省?解析:由题设条件,每批送x个,批次为,又每批运费100元,每批储存费为21+22+2(x-1)=21+2+(x-1)

4、=x(x-1),由此可建立总的花费y与x的函数.设总费用为y元,每批送x个,批次为.由题意,得y=100+x(x-1)(0b0,求f()=的最小值.解法一:(化弦为切)f()=a2(1+tan2)+b2(1+)=a2+b2+(a2tan2+)a2+b2+2ab=(a+b)2.当且仅当a2tan2=,即tan2=,tan=时“=”成立.故f()的最小值为(a+b)2.解法二:(利用cos2+sin2=1)(cos2+sin2)()=a2+b2+a2+b2+2ab=(a+b)2,当且仅当,即tan=时“=”成立.f()的最小值为(a+b)2.备选习题11求y=(0x)的最小值.解法一:y=.x(0

5、,),0sinx1,.y.当且仅当,即sinx=1时取“=”.因此y的最小值为.解法二:设=t,x(0,),t(0,则函数y=t+.而y=t+在t(0,上为减函数(证明略),当t=时,ymin=+2=,此时,x=.故当x=,即sinx=1时,ymin=.12若0,02,试证:logn(n+1)logn-1n.证法一:logn(n+1)-logn-1n=logn(n+1)-=logn(n+1)logn-1n.证法二:=logn(n+1)lognn-1(logn(n+1)+lognn-1)2=logn(n2-1)20,logn-1n0,logn(n+1)logn-1n.14甲、乙两地相距s千米,汽

6、车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例常数为b,固定部分为a元.(1)把全程运输成本y元表示为速度v(千米/时)的函数,并指出函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最少,汽车应以多大的速度行驶?解析:(1)因为汽车每小时的运输成本为bv2+a(元),全程时间为(小时),故y=(bv2+a),即y=s(+bv),v(0,c.(2)由于+bv,仅当v=时取等号,故若c,则当v=时,y取最小值.若c,则先证y=s(+bv),v(0,c为单调减函数.事实上,当v1、v2(0,c,且v

7、1v2,则y1-y2=s(+bv1)-(+bv2)=s(-)+(bv1-bv2)=s(v1-v2)(b-)=sb(v1-v2).v1、v2(0,c,v1v2,v1-v20,v1,v2.进而v1v20.故y=s(+bv),v(0,c为单调减函数,由此知当v=c时取得最小值.综上可知,若c,则当v=时,y取最小值;若c,则当v=c时取得最小值.15某种生产设备购买时费用10万元,每年的设备管理费共计9千元,这种生产设备的维修费各年为:第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依每年2千元的增量逐年递增,问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解析:设使用x年的年平均费用为y万元.由已知,得y=,即y=1+(xN*).由均值不等式,知y1+=3,当且仅当,即x=10时取“=”.因此使用10年报废最合算,年平均费用为3万元.16已知x、y、zR+,且x+y+z=1,求xy2z+xyz2的最大值.解析:xy2z+xyz2=xyz(y+z)=x(1-x)yzx(1-x)()2=x(1-x)=3x(1-x)(1-x)(1-x)()4=,当且仅当即时,(xy2z+xyz2)max=.