2022版新教材高中数学 第一章 空间向量与立体几何 4.docx

1、用空间向量研究距离问题1.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0) ，则点A 到直线BC 的距离为( )A.223 B.1C.2 D.22答案：A2.已知点M(0,1,-2) ，平面 过原点O 且垂直于向量n=(1,-2,2) ，则点M 到平面 的距离为( )A.3 B.2C.6D.6答案：B3.如图，在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD 中，F 是平面A1B1C1D1 的中心，E 是AA1 的中点，则直线EF 到直线AC1 的距离为( )A.12 B.66 C.64 D.63答案：B4.正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为4，E 是CC1 的中点，则E 到A1B

2、 的距离为( )A.433 B.26 C.25 D.32答案：D5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，平面AB1C 与平面A1C1D 之间的距离为( )A.36 B.33 C.233 D.32答案：B6.（多选题）如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 是边长为4的正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD 底面ABCD，则下列说法正确的有( )A.ACPBB.点C 到直线PA 的距离为27C.直线AB 到平面PDC 的距离为22D.点D 到平面PBC 的距离为4217答案：B ; D7.（2021江苏南京江浦中学高二检测）在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，底面是等腰直

3、角三角形，ACB=90 ，侧棱AA1=2 ，D,E 分别是CC1 与A1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD 的重心G ，则点A1 到平面ABD 的距离为( )A.63 B.263 C.53 D.253答案：B8.（2021山东师大附中高二月考）在四棱锥P-ABCD 中，AB=(2,-1,3),AD=(-2,1,0),AP=(3,-1,4) ，则该四棱锥的高为( )A.55 B.15 C.25 D.255答案：A9.（2021北京科大附中高二期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，AA1=AB=2,AD=1 ，点F,G 分别是AB,CC1 的中点，则点D1 到直线GF 的距离

4、为 .答案：42310.（2021山东济宁实验中学高二月考）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E 为线段DD1 的中点，则点A1 到平面AB1E 的距离为 .答案：23素养提升练11.（多选题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1，点E、O 分别是A1B1、A1C1 的中点，P 在该正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AA1 ，则下列说法正确的是( )A.点A 到直线BE 的距离是55B.点O 到平面ABC1D1 的距离为24C.平面A1BD 与平面B1CD1 之间的距离为33D.点P 到直线AB 的距离为2536答案：B ; C解析：如图，建立空间直角坐

5、标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E(12,0,1),O(12,12,1) ，所以AB=(1,0,0),BE=(-12,0,1) ，所以A 到直线BE 的距离d1=AB2-(ABBE|BE|)2=1-15=255 ，故A中说法错误；易知C1O=(-12,-12,0) ，平面ABC1D1 的一个法向量为DA1=(0,-1,1) ，则点O 到平面ABC1D1 的距离d2=|DA1C1O|DA1|=122=24 ，故B中说法正确；易知A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),A1D1=(0,1,0).设

6、平面A1BD 的法向量为n=(x,y,z) ，则nA1B=0,nA1D=0, 即x-z=0,y-z=0,令z=1 ，得y=1,x=1 ，所以n=(1,1,1) ，所以点D1 到平面A1BD 的距离d3=|A1D1n|n|=13=33 .因为平面A1BD 平面B1CD1 ，所以平面A1BD 与平面B1CD1 之间的距离等于点D1 到平面A1BD 的距离，所以平面A1BD 与平面B1CD1 之间的距离为33 ，故C中说法正确；易知AD=(0,1,0),AA1=(0,0,1) ，且AP=34AB+12AD+23AA1 .所以AP=(34,12,23) ，所以点P 到AB 的距离d=AP2-(APAB

7、|AB|)2=181144-916=56 ，故D中说法错误.12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长是1，E 是AA1 的中点，则点D1 到AC 的距离为 ；CA1 到平面BDE 的距离是 .答案：62 ; 66解析：以A 为原点，AB,AD,AA1 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),E(0,0,12),A1(0,0,1),D(0,1,0),D1(0,1,1) .设M 为AC 的中点，则M(12,12,0) .因为AD1=CD1 ，所以MD1 的长即为点D1 到AC 的距离.易知|MD1|=62, 所以点D

8、1 到AC 的距离为62 .易知CA1 平面BDE ，所以直线CA1 上任一点到平面BDE 的距离都相等，设平面BDE 的法向量为n=(x,y,z) ，易知BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,12),EA1=(0,0,12) ，所以nBD=-x+y=0,nBE=-x+12z=0, 令x=1 ，则y=1,z=2 ，所以n=(1,1,2) ，所以CA1 到平面BDE 的距离d=|EA1n|n|=16=66 .13.（2021山东济宁鱼台一中高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD 中，ACBD=O ，平面ABCD 为菱形，边长为2，PCBD ，PA=PC ，且ABC=60 ，异面直线PB 与CD

9、 所成的角为60 .（1）求证：PO 平面ABCD ；（2）若E 是线段OC 的中点，求点E 到直线BP 的距离.答案：（1）证明： 四边形ABCD 是菱形，ACBD ，PCBD ，PCAC=C ，PC ，AC 平面APC ，BD 平面APC ，PO 平面APC ，BDPO ，PA=PC ，O 为AC 的中点，POAC ，又ACBD=O ，AC,BD 平面ABCD ，PO 平面ABCD .（2）以O 为原点，OB,OC,OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，ABCD ，PBA 为异面直线PB 与CD 所成的角，PBA=60 ， 在菱形ABCD 中，AB=2,ABC=60

10、 ，OA=1,OB=3 ，设PO=a,a0 ，则PA=a2+1,PB=a2+3 ，在PBA 中，由余弦定理得，PA2=BA2+BP2-2BABPcosPBA ，a2+1=4+a2+3-22a2+312 ，解得a=6 （负值舍去），O(0,0,0),A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),P(0,0,6),E(0,12,0) ，BE=(-3,12,0),BP=(-3,0,6) ，|BE|=132,|BP|=3 ， 点E 到直线BP 的距离d=BE2-(BEBP|BP|)2=134-1=32 .14.（2021山东菏泽单县五中高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD

11、为矩形，侧棱PA 底面ABCD ，AB=3,BC=1,PA=2 ，E 为PD 的中点.在侧面PAB 内找出一点N ，使NE 平面PAC ，并求出N 到平面PAC 的距离.答案：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(3,1,0),P(0,0,2),D(0,1,0),E(0,12,1) ，设N(a,0,c) ，则NE=(-a,12,1-c),AP=(0,0,2),AC=(3,1,0) ，使NE 平面PAC ，NEAP=2(1-c)=0,NEAC=-3a+12=0, 解得a=36,c=1 ，N(36,0,1)

12、，NA=(-36,0,-1),NE=(-36,12,0) ，设N 到平面PAC 的距离为d ，则d=|NANE|NE|=312 .15.（2021山东淄博高二期末）已知在空间直角坐标系Oxyz 中，点A,B,C,M 的坐标分别是(2,0,2),(2,1,0),(0,4,-1),(2,3,-1) ，过点A ，B ，C 的平面记为 .（1）证明：点A,B,C,M 不共面；（2）求点M 到平面 的距离.答案：（1）证明：由已知可得AB=(0,1,-2),AC=(-2,4,-3),AM=(0,3,-3) ，假设A ，B ，C 三点共线，则存在R ，使得AB=AC, 即(0,1,-2)=(-2,4,-3

13、) ，所以0=-2,1=4,-2=-3,此方程组无解，所以AB,AC 不共线，所以A ，B ，C 不共线，所以过点A ，B ，C 的平面 是唯一的，若点A,B,C,M 共面，则存在x,yR ，使得AM=xAB+yAC ，即(0,3,-3)=x(0,1,-2)+y(-2,4,-3) ，即0=-2y,3=x+4y,-3=-2x-3y, 此方程组无解，即不存在实数x,y ，使得AM=xAB+yAC ，所以点A,B,C,M 不共面.（2）设平面 的法向量为m=(a,b,c) ，则mAB=0,mAC=0, 所以b-2c=0,-2a+4b-3c=0,令c=2 ，则b=4,a=5 ，所以m=(5,4,2)

14、，所以点M 到平面 的距离dM=|AMm|m|=255 .创新拓展练16.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，BAD=60 ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF 平面ABCD ，DE=2 ，M 为线段BF 的中点.（1）求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M-CDE 的体积；（2）求证：DM 平面ACE .命题分析 本题考查了利用空间向量法计算点到平面的距离、三棱锥的体积，考查了利用空间向量法证明线面垂直，考查了推理能力与计算能力.答题要领（1）设ACBD=O ，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴

15、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出点M 到平面DEC 的距离，计算出CDE 的面积，利用三棱锥的体积公式可计算出三棱锥M-CDE 的体积.（2）答题要领 利用向量法证明出ACDM=0,AEDM=0 ，可得出DMAC,DMAE ，再利用线面垂直的判定定理可证得DM 平面ACE .细解析 （1）详设ACBD=O ，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.易知z 轴在平面BDEF 内，且BFDEz 轴，则C(0,3,0)、D(-1,0,0)、E(-1,0,2)、M(1,0,1) ，DE=(0,0,

16、2),DC=(1,3,0),DM=(2,0,1) ，设平面DEC 的法向量为n=(x,y,z) ，则nDE=2z=0,nDC=x+3y=0,取x=3 ，得n=(3,-1,0) ，M 到平面DEC 的距离h=|DMn|n|=233+1=3 ，又SDEC=1222=2 ， 三棱锥M-CDE 的体积V=13SDECh=1323=233 .（2）证明：由（1）知A(0,-3,0) ，则AC=(0,23,0),AE=(-1,3,2) ，ACDM=02+230+01=0,AEDM=-12+30+21=0 ，DMAC,DMAE ，ACAE=A,AC,AE 平面ACE ，DM 平面ACE .解题感悟 求点到平面的距离的主要方法：（1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；（2）在三棱锥中用等体积法求解；（3）向量法，d=|nMA|n| （n 为平面的法向量，A 为平面内一点，MA 为过点A 的斜线段）.