数学大师启示录_希尔伯特（素材）.doc

1、 但总应要求一个数学主题变成直观上显然，才可认为研究到头了 菲利克斯克莱茵 如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。 亨利庞加莱乡村法官的儿子 在数学史上负有盛名的柯尼斯堡，坐落在普雷格尔河的两条支流之间的山丘上。每天，冒着浓烟的轮船和张起色彩斑斓蓬帆的渔船，伴随着波罗的海咸苦的海风和低飞盘旋的海鸥，穿梭在宽阔的普雷格尔河上。城市上空弥漫着烟气、鱼腥和木材的清香。1862年1月23日下午1点钟，一位非同寻常的数学天才，奥托希尔伯特与玛丽亚特里施的第一个儿子，大卫诞生了。父亲奥托是当地乡村的法官。他给儿子的早期教育，是使大卫具有普鲁士的美德：准时、勤劳、节俭、遵纪守法和

2、信守承诺。母亲玛丽亚是商人的女儿。在平常人的眼中，她有些与众不同。她不仅对哲学和天文学感兴趣，而且对素数十分着迷。 大卫说，自己小时候是个笨孩子。记忆东西非常吃力，领悟新概念也很慢。那时候一般孩子6岁就进校，可是他到8岁才上学。这两年由母亲在家给他上课，以便他跟得上腓特烈预科学校初级部的学习。腓特烈预科学校在城里名声很好。这个城市的伟大儿子，欧洲启蒙运动的重要思想家，哲学家伊曼努尔康德就曾是这个学校的毕业生。不过，大卫并不喜欢学校因循守旧的传统，也讨厌繁琐的拉丁文和希腊文的课程。只有数学最合他的心意。尽管母亲有时还不得不帮他写作文，但他却常常可以给老师解数学难题。他当然知道，不取得预科学校文凭

3、，就不能上大学研究数学，所以他花费比别的同学多得多的时间来攻读使他头疼的拉丁文和希腊文。 预科学校最后一学期，大卫从腓特烈预科学校转到威廉预科学校，心里有说不出的高兴，因为那里很注重数学，甚至可以讨论几何学的最近发展。老师看出大卫的天赋，给予他很多的帮助。他的成绩从此突飞猛进，几乎所有的课德语、拉丁语、希腊语、神学和物理学都得了优等，而数学则得了最高的分数“超等”。由于他的笔试成绩优异，被特别免去口试。学校在大卫的毕业评语中写道： “他的勤奋堪称楷模，他对数学有强烈的兴趣，理解深刻，他用非常好的方法掌握老师讲授的内容，并能有把握地、灵活地应用它们。”知心朋友 1872年9月的一天。淡淡的阳光在

4、天幕上已被轻轻抹去，吹来的晚风使人感到丝丝凉意。两辆堆满杂物的马车，蹒跚地驶过柯尼斯堡狭隘的街道，在一所破旧的大房子前停下。闵可夫斯基一家为躲避俄国沙皇政府对犹太人的迫害，风餐露宿，长途跋涉从俄国的科夫诺来到了柯尼斯堡。父亲是个商人，在离开俄国以前，政府勒令他变卖掉全部商品，而且不准赢利，所以，到达柯尼斯堡的时候，一家人几乎已一贫如洗。一切得从头开始。闵可夫斯基家有3个儿子。大儿子麦克斯，在俄国的时候，因为是犹太人，不能进预科学校读书。成年以后他就跟着父亲经营白麻布的出口生意，最后大获收益。老二奥斯卡，进了柯尼斯堡的阿尔斯塔特预科学校，后来因为发现胰脏和糖尿病的联系，成为举世闻名的“胰岛素之父

5、”。老三赫尔曼比希尔伯特小两岁，进了和二哥同一所学校，是个数学天才。有一次，老师因为一道数学难题难堪地挂了黑板，班上的同学异口同声地喊起来：“闵可夫斯基，去帮帮忙!” 赫尔曼只用了5年半的时间就学完预科学校八年的课程，进了柯尼斯堡大学。两年半以后他又转到柏林大学学习。在柏林的时候，他因为一项数学成果曾得到一笔奖金。赫尔曼把它给了一位家境贫寒的同班同学。这件事家里人毫不知情。一直到多年以后，那位同学的哥哥把这件事告诉了闵可夫斯基的家人。 闵可夫斯基大学毕业那年，巴黎科学院宣布1883年大奖的主题是一个整数分解为五个平方数之和的表示法的数目。英国数学家亨利史密斯两年前曾得到过一个答案。赢得这样的大

6、奖，无疑是数学家的巨大荣誉。像当年年轻的欧拉一样，壮志满怀的闵可夫斯基也决定一试。经过几个月的努力，一篇长达140页的论文出来了。他建立了几个变量的整系数二次型的理论体系，对二次型的“属”提出了更一般、更自然的定义，从而独立地得到了更好的公式。但是评选委员会接受答案的日期马上就要截止了。竞赛规定，提交的论文一律要译成法文。时间显然已来不及了。赫尔曼听从大哥的建议，在论文前写了短短的一段说明：自己因为深深沉迷于问题的解答以致忽略了竞赛的规定，希望评选委员会不要认为他没有译成法文是因为他对规定的不重视。1883年春天，竞赛揭晓了。刚满18岁的闵可夫斯基和亨利史密斯同时获奖。这一消息在英国激起了愤怒

7、的风暴。他们感到让一个毛头小伙子与一位老数学家分享这份奖金分明是给后者难堪。评选委员会不为所动。委员会的卡米尔约当给闵可夫斯基写信，“干吧!我请求你，干成一个伟大的数学家。”闵可夫斯基不负所望，在短促的一生中他把格和凸集等几何概念引入数论，开拓了新的领域，特别是在电动力学的研究，为狭义相对论提供了四维时空数学结构。诺贝尔物理学奖获得者麦克斯玻恩说，他在闵可夫斯基的工作中找到了“相对论数学的整个武库”。 得奖的消息在柯尼斯堡引起了轰动。老希尔伯特告诫大卫“不要轻举妄动”，因为冒冒失失地去和“这样知名的人物”交朋友是有失礼貌的。父亲的告诫阻止不了大卫内心的渴望。对数学的热爱和对真理的向往，把两个年

8、轻人的心紧紧连在一起。他们很快就成为亲密无间的好朋友，真挚感人的友谊伴随着他们的一生。苹果树下 柯尼斯堡大学是一所具有优良科学传统的大学，数学家雅可比曾在这里教书，这里是椭圆函数的发祥地之一。雅可比的继承人理查劳特教授同样值得称道。是他发现了当时在偏远小镇的一所预科学校教书的维尔斯特拉斯的非凡才华，极力推荐柯尼斯堡大学授予维尔斯特拉斯荣誉学位，并亲自将证书送到他的手上，使维尔斯特拉斯从此摆脱困境，成为德国最卓越的数学家。 柯尼斯堡大学的学习生活对希尔伯特来说简直是天堂。教师想教什么就教什么，学生想学什么就选什么，不受限制。上课不点名，平时不考试，只有到要取得学位才考一次。所以他可以全身心地投入

9、到数学中去，不必为枯燥的拉丁文和希腊文而苦恼。 大学后面的小山坡上有一棵一人多高的苹果树，枝繁叶茂，在周围稀落的小树衬托下分外醒目。每天下午5点，希尔伯特和闵可夫斯基在这里会面。他们一同沿着山坡的小径散步，一边热烈地讨论着一天来学习和思考的心得，有时干脆就蹲下来在地上比划起来。和他们一起参加讨论的还有性情温和的大学讲师阿道夫胡尔维茨(18591919)。他在菲利克斯克莱茵的门下取得博士学位，在函数论方面有出色的工作，在数学各领域有着坚实的基础，他理所当然地成为3人中的领头人。“那时候没有想到，”希尔伯特后来回忆道，“这些散步竟会把自己带得这么远!”访师游学 根据导师林德曼的建议，希尔伯特以某些

10、代数形式的不变性质作为自己的博士论文，很快获得通过。闵可夫斯基兴奋地说：“我没有想到这么精彩的数学定理会出现在柯尼斯堡!”闵可夫斯基自己也在同一年获得博士学位，不久就应召服兵役去了。希尔伯特没有服兵役，但苹果树下的散步已无法继续了。 获得哲学博士学位，还只是科学生涯的第一步，甚至还不够资格给学生上课。必须再做一项有创造性的工作，得到教授会的满意，被授予讲师称号，才有资格讲课。不过这期间大学仍然不负责支付有保证的工资，讲师的生活得靠选听他讲课的学生的学费来维持，因此生活的拮据是不言而喻的。等到他的工作和能力得到赏识，就能成为有固定薪水的副教授了。至于正教授，普鲁士大学里正教授的名额是固定的，柏林

11、有三名，柯尼斯堡有一名。只有当正教授的位置出现空缺，才有机会从众多的副教授当中挑选出来填补。所以，要当上正教授，真可谓难于上青天! 希尔伯特决定做一次学术旅行，因为柯尼斯堡毕竟有点偏僻。这位未来的数学界的领袖人物需要到身处战斗最前沿的数学大师那里做一番实地考察，同时为讲师的论文作准备。胡尔维茨建议他到莱比锡去会见菲利克斯克莱茵。克莱茵虽然当时年仅36岁，却是数学界的一位传奇式人物。他身材魁梧，一双炯炯有神的眼睛英气逼人。他23岁(希尔伯特正是这个岁数)就在埃尔朗根当上了正教授。他在就职典礼上发表了数学史上称为埃尔朗根纲领的著名演讲，大胆提出把许多不同的看起来毫无关联的几何，在群的概念下统一归类

12、。在他身上，学术创造力、组织能力和打破纯粹及应用科学之间壁垒的能力得到完美的结合。克莱茵热诚欢迎柯尼斯堡年轻博士的到来。希尔伯特选听了克莱茵的课还参加了一个讨论班。在讨论班上希尔伯特提出一个报告，被克莱茵仔细地保存了起来。克莱茵后来说： “一听他的报告，我就知道他将前途无量。”这份报告，在1922年希尔伯特60岁生日的庆祝宴会上，克莱茵坐着轮椅，将它送还给这位当时已誉满天下的数学家。 告别克莱茵，希尔伯特来到群英荟萃的巴黎。以庞加莱为首的法国同行友好地接待了希尔伯特。特别是埃尔米特，十分亲切而好客。他是柯西之后法国杰出的分析学家。他证明了e的超越性并用椭圆函数解一般五次方程。两人探讨了他们所共

13、同关心的“哥尔丹问题”。在巴黎，希尔伯特完全投身于数学和拜访名师，除了访问过天文台，没有参观过其他地方。 在希尔伯特返回柯尼斯堡的途中，他没有忘记到格丁根拜访备受争议的克罗内克。克罗内克个子瘦小，身高几乎不到15米，但却是一位德国数学界举足轻重的人物。他对数学，特别是高等代数作出过十分重要的贡献，是柏林科学院院士。他对数学的尖刻批评尽管使人感到不快，但是没有人能够置若罔闻。有人曾提醒希尔伯特，不要指望会受到克罗内克的欢迎。可是出乎许多人的意料，希尔伯特受到非常友好的接待。这次访问希尔伯特记录下的谈话足足有四页之多，而其他被访问的数学家，包括哥尔丹在内，都没有超过一页。哥尔丹问题 为了取得讲师资

14、格，旅行结束以后，希尔伯特提交了一篇论文，内容和博士论文一样，是关于不变量的。这并不奇怪，因为代数不变量理论是当时最热门的课题。德国最重要的数学杂志数学年鉴几乎成了不变量的专刊。这个理论的起源要追溯到17世纪笛卡尔发明的解析几何。一个几何图形在一定的坐标系中有相应的代数形式。同一个图形坐标系不同，它相应的代数形式的某些性质也应该保持不变。这些“不变量”适合于表征给定的几何图形的特征。随着射影几何的发展，导致在代数中与它相平行的发展，也就是集中研究在各种变换群下代数形式的不变量。这个理论的重要开拓者是英国数学家阿瑟凯莱和他的好朋友约瑟夫西尔维斯特(18141897)。德国人很快赶了上来。任何给定

15、次数的二元型的基或有限完备系的存在性就是德国数学家保尔哥尔丹(18371912)证明的。哥尔丹的大半生都致力于不变量的研究，取得了一系列成果，被誉为“不变量之王”。为了纪念他，这个理论中一个更一般的、仍未解决的最著名的问题被命名为“哥尔丹问题”。这个问题就是：是否存在一组基(即一组个数有限的不变量)，使得其他所有的不变量都能够用这组基的有理整形式表出?这个难题成为全世界数学家竞相攻克的堡垒。希尔伯特的讲师资格论文，就是为这场攻坚战作准备的。希尔伯特很快被授予讲师称号。从此，虽然没有固定的薪水，他有资格在大学讲课了。他要求自己在讲课中既教育学生，又要提高自己。所以他每年不教重复的课。 一年很快过

16、去了。希尔伯特感觉到，自己讲授的课程在变换，但是有一个问题却始终萦绕在心头，那就是“哥尔丹问题”。这时候，闵可夫斯基远在波恩，难以有机会重新参加希尔伯特和胡尔维茨苹果树下每天的散步。希尔伯特决定再次进行学术之旅，以克服远离数学活动中心所带来的苦恼。旅行路线作了精心的安排。旅行的第一站，是到埃尔兰根觐见“不变量之王”。然后前往格丁根，重访克莱茵。最后取道柏林，拜访克罗内克和刚退休的维尔斯特拉斯，然后返回柯尼斯堡。 1888年3月，柯尼斯堡春寒料峭，普雷格尔河还没完全开冻。希尔伯特满怀希望与期盼，踏上了旅途。希尔伯特到达埃尔兰根的时候，哥尔丹的不变量理论讲义第二部分刚出版。年过半百的哥尔丹思维敏捷

17、，手里总是夹着一支雪茄。哥尔丹热情欢迎远道而来的年轻同行，向他详细介绍了“哥尔丹问题”的来龙去脉。实际上，自从哥尔丹自己解决了最简单的情形以来，寻求解答一般问题的人本质上都遵循同样的道路。但是这样的方法已变得出奇的复杂和困难，往往整页纸也写不下一个单独的式子。一个时期以来，哥尔丹问题一直在希尔伯特的心头盘桓。现在，当面聆听哥尔丹亲口的讲述，突然闪出了奇妙的灵感，唤起他无限的遐想。一股巨大的冲动油然而生。他要攻克这个难题!旅程按计划进行，但是一路上始终摆脱不了对“哥尔丹问题”的思考。 1888年7月，历时3个半月的旅程结束了，希尔伯特按老习惯到柯尼斯堡不远的小渔村度假。1888年9月6日他从那里

18、给格丁根科学会的通讯寄出一份短短的注记。注记中他出人意料地改变了问题的提法：假如给定无穷多个包含有限个变量的一组代数形式系，问在什么条件下，存在一组个数有限的代数形式系，使得所有其他的形式可以表成它们的线性组合，系数是原来那些变量的有理整函数? 希尔伯特的答案是：这样的形式一定存在。 长期以来，多少人绞尽脑计，日夜思索要攻克的难题，竞在“不经意间”被一个年轻的讲师出人意料地解决了!为了证明不变系的基的有限性，实际上并不需要把它构造出来，甚至不必证明如何去构造它们。所需要做的就是从逻辑的必然性方面去证明有限基的必定存在，因为任何别的结论都会导出矛盾这正是希尔伯特所做的。 12月，哥尔丹定理的证明

19、出版了。希尔伯特火速给不变量理论的奠基人阿瑟凯莱寄了一份。凯莱从剑桥向希尔伯特表示衷心的祝贺；克莱茵认为希尔伯特的证明非常简单，在逻辑上是不可抗拒的。 但是，反对的声音同样存在。哥尔丹高声地说： “这不是数学，这是神学。” 克罗内克也坚持认为，没有构造就不能算存在，希尔伯特的证明根本谈不上是数学。 说实在的，作为数学家，比起现在的存在性证明，希尔伯特还是更喜欢有一个实际的构造。一位数学家曾经说过：“证明某类对象的存在，一种是构造出这种对象的一个确确实实的例子，一种是去证明，假如这种对象不存在就必然导致矛盾。两者有本质的不同。前者是有一个有形的对象，而后者仅仅是有矛盾。” 尽管希尔伯特并不同意哥

20、尔丹和克罗内克的观点，但是他不能无视他们的批评意见。他希望有一天能用构造性的方法来证明不变基的有限性。可惜的是他一时还找不到头绪。这时他正埋头于研究克罗内克代数数域的工作。使希尔伯特感到惊喜的是，正是在克罗内克的工作中，他找到了解决构造性证明的强有力的工具。真可谓“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫!” 1892年，希尔伯特利用早些时候证明的一条定理作为基础，他得到一个本质上是有限的工具，终于实现了梦寐以求的构造方法。哥尔丹退让了： “我自己一直确信，神学也有它的价值。” 闵可夫斯基高兴极了：“我早就清楚，由你来解决掉这个老的不变量问题，是迟早的事就像是“i”上只缺那个点；但是，它竟如此出奇地一下

21、子给解决了，真使我非常高兴，让我祝贺你。”可惜的是，一代宗师克罗内克已经与世长辞。 随着哥尔丹问题的解决，希尔伯特宣告： “我相信，由不变量衍生出来的函数域理论中最重要的目标已经达到。” 几十年来，为人们所热烈讨论的不变量理论一下子沉寂了下来，而希尔伯特在学术界的地位，不可阻挡地急剧上升了。代数数论 1892年8月柯尼斯堡大学教授会一致决议，由希尔伯特接任胡尔维茨的副教授职位。当了8年副教授的胡尔维茨受聘于瑞士联邦技术学院担任正教授。 10月22日希尔伯特与喀娣耶罗士结婚。她贤惠，对丈夫体贴，性格和外形与希尔伯特有几分相像。 1893年希尔伯特给出e和的超越性的新证明。他的证明出奇的简单和直接

22、，大大胜过以往的方法。e和的超越性的证明，最早分别是由埃尔米特和希尔伯特的导师林德曼作出的。 这时希尔伯特开始投身于他最喜爱的数论。高斯称数论是数学的皇后，因为她美丽而又高不可攀。高斯第一个把数论从有理“域”拓广出去。在有理“域”中，两个数的和、差、积、商仍然属于有理数域。他在数论里引进形如(其中为有理数)的数，这些数组成的域就是代数数域，同样，形如这样的数也构成一个域，它们都是代数数论所研究的对象。把数论推广到代数数域有一个最大障碍，即在大多数代数数域中，算术定理不成立。库默尔、戴德金和克罗内克在代数数论上作了许多重要工作，但是19世纪代数数论的最高成就是属于希尔伯特的。 秋天，希尔伯特前往

23、慕尼黑参加德国数学会年会。会上，希尔伯特提出了关于将一个域中的数分解成素理想的两个新证明。他的工作给其他成员留下深刻的印象。大家推举希尔伯特和闵可夫斯基在两年内提出一篇数论发展现状的报告。因为库默尔、戴德金和克罗内克的工作极其复杂，以至于当时大多数数学家都看不懂。他们期待着希尔伯特和闵可夫斯基能够简明清晰地表达出数论研究工作的现状。 很快有了令人兴奋的消息。林德曼接受了慕尼黑大学的聘请，空缺的正教授位置，无疑将由希尔伯特来接任。而希尔伯特空出来的副教授职位由闵可夫斯基来接替。每天到苹果树下去散步和关于数论的讨论又可以愉快地进行。数论年度报告在希尔伯特脑海中逐渐形成了。 不久事情又有新的变化。格

24、丁根大学的德国数学家海因里希韦伯要去斯特拉斯堡，这意味着希尔伯特有可能到格丁根执教。克莱茵来信想听听希尔伯特的想法。到格丁根无疑是希尔伯特梦寐以求的。希尔伯特字斟句酌地起草给克莱茵的回信，然后让喀娣用她最漂亮的书法誊写好寄出： “你，更有影响力的环境，你们这所大学的光荣传统，将提供一种科学上的刺激力，这对我是最有决定意义的。此外它将实现我妻子和我的最美好的愿望：能生活在一座比较小的大学城里，尤其是像格丁根这样景色秀丽的地方。 丝毫不必怀疑，我将万分喜悦并毫不踌躇地接受格丁根的召唤。” 不出一星期，克莱茵高兴地给希尔伯特写信： “真出乎意料，比我希望的快得多。请接受我最衷心的欢迎!” 1895年

25、3月，格丁根乍暖还寒。红瓦屋顶衬托在四周起伏的丘陵下，优美而宁静。希尔伯特来到格丁根时，正好是高斯来到之后整整100年。格丁根光荣历史上又增添了一位伟大的数学家。不过学生们并没有立即感受到他的影响。和高大威严，气度不凡的克莱茵相比，希尔伯特中等身材，说话直率，动作敏捷，头发稀疏，蓄着淡淡的红胡须，粗一看根本不像一个教授。但是，正如他的学生外尔所说，他是童话中的魔笛手，他的甜蜜诱人的笛声，吸引一群一群“老鼠”，跟着他跳进数学的深河。 在柯尼斯堡执教的8年半中，除了每周一小时的行列式课程，他没有重复一个课题。所以在格丁根他能根据克莱茵的意图毫不费力地讲授多种课程。第一学期讲授行列式和椭圆函数，并且

26、与克莱茵一道，指导每星期三上午举行的实变函数讨论班。讨论班结束以后他就与学生们一道漫步到受人欢迎的海茵堡餐厅用餐，一边继续讨论数学问题。第一年，他谈的几乎都是代数数域。回家以后，他就全神贯注地投入到数论报告的准备中。发现数论与其他数学分支的联系使他兴奋不已。他认为，数论在代数和函数论方面已经起着主导作用，只是因为数论一直以孤立的方式发展，没有把这种联系揭示出来。 1897年4月10日，整整400页的数论报告正式完成。它无论在哪方面都超出了学会成员的最初期望。他们本来只希望他对这门理论的当前状况作一个概述，而收到的却是一篇真正的杰作，将全部困难融会贯通成一个优美完整的理论。闵可夫斯基在收到报告的

27、精装本后这样写道： “我毫不怀疑，你本人将跻身数论领域中伟大的经典学者的行列。” 数论报告发表以后，希尔伯特的相对阿贝尔域理论发表。这是一篇纲领性论文，开创了后来众所周知的类域论。如果说希尔伯特关于不变量的工作是一项发展的终结，那么他在代数数域方面的工作则成为众多数学家奋斗的起点。桌子、椅子、啤酒杯 1898年9月，格丁根风和日丽，新的学期开始了。来自全国以至世界各地的学生们，陆陆续续地返回这座美丽的小城。希尔伯特讲授几何基础的预告引起学生们极大惊异。因为在他们的印象里，这位教授“只谈数域”对其他话题似乎没有兴趣。 实际上，还是在柯尼斯堡大学担任讲师的时候，希尔伯特就开始考虑几何基础的问题。他

28、认为欧几里得几何关于点、线、面的定义在数学上其实并不重要，它完全可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替。重要的是，采用的公理系统和在推理过程中避免对视觉明显性的不自觉的依赖。 关于公理，希尔伯特认为它必须满足下列要求： 它们必须是完备的，所有的定理都可以从这些公理推得； 它们必须是独立的，如果从这组公理中去除任何一条公理，至少会有某些定理不可能得到证明； 它们必须是相容的，从这组公理出发不可能推出互相矛盾的定理。 康德认为公理必须是先验的，而希尔伯特对公理的要求要宽松得多。希尔伯特将一个数学理论看做是通过演绎方法由一组任意选择的假设公理推导出来的定理系统，而对这些假设的真实性及其含义不加任何限制。因此

29、，在希尔伯特看来，不仅欧几里得几何中的平行公理可以改变，其他公理一样可以改变。只要这个公理系统满足上面的3个条件就可以了。 20多年前，克莱茵发现了一个“模型”，通过这个模型，可以把非欧几里得几何的基本对象和关系与欧几里得几何中特定的对象和关系等同起来，证明了非欧几里得几何和欧几里得几何一样地相容。现在希尔伯特运用解析几何证明了，欧氏几何中存在的任何矛盾将会表现为实数算术中的一个矛盾。这就说明无论是非欧几何还是欧氏几何，至少与实数算术一样地相容，而实数算术的相容性是数学家所普遍接受的。 希尔伯特关于几何基础的书一出版，立即引起轰动，在几个月内成为最畅销的数学书。庞加莱称这是一部经典著作。他说：

30、“当代有些几何学家可能觉得，在承认以否定平行公设为基础的可能的非欧几何方面，他们已经达到了极限。如果他们读一读希尔伯特教授的这部著作，那么这种错觉就会消除。他们将会在这部著作中发现，他们作茧自缚的屏障，已经被彻底冲垮了。” 许多年以后，由于发现可以通过一组特定的公理推导出果蝇的遗传规律，希尔伯特感到欢欣鼓舞。他高兴地说：“如此简单和精确，同时又如此巧妙，超出了了任何大胆的想像。” 当学生们还在困惑为什么这位一直只谈“代数数域”的教授，能够转眼间在一个全新的数学领域做出如此辉煌的成就时，希尔伯特已经开始在一个完全不同的数学领域，挖掘新的宝藏了。妙手回春 1851年，黎曼在他著名的博士论文中以一个

31、假设作为他复变函数理论的基础：拉普拉斯方程的边值问题一定存在一个解。这个假设在直觉上是合理的。因为该数学问题所描述的相应物理状态必定有一个确定的物理结果，或者说物理解。黎曼给这个原理冠上他的老师狄利克雷的名字，后者曾在特殊情形下研究过这个原理。从此这个原理以“狄利克雷原理”闻名于世。黎曼的论文受到高斯在内的数学家们的高度赞扬。高斯注意到，拉普拉斯方程的边值问题，可以归结为对于具有边界上取给定值的连续偏导数的函数寻求某个二重积分的极小值问题，这样的极小值显然存在。 但是，善于挑刺的维尔斯特拉斯不以为然。他认为不经证明就接受狄利克雷原理是不合理的。刚开始，许多人都感到维尔斯特拉斯要求有点过分。但是

32、，黎曼本人认为维尔斯特拉斯的批评是正当的。不过他并没有因为维尔斯特拉斯的批评而对狄利克雷原理产生动摇。他认为“在物理上有意义”的问题的一定“在数学上有意义”。他还相信，总有一天可以对所求的使积分取得的极小值的函数的存在性给予证明。可惜黎曼在生前没有做到这一点。他不到40岁就去世了。更没有想到的是，维尔斯特拉斯后来成功地构造了一个反例：在给定边界条件下，使积分达到最小值的函数并不存在!整个数学界震动了。狄利克雷原理在数学物理中实在太有用了。如果放弃这一原理，被抛弃的将不仅仅是黎曼理论。 数学家们纷纷着手来挽救狄利克雷原理，可惜多少年过去了，一切的努力都无功而返。当希尔伯特开始注意狄利克雷原理时，

33、数学家们已经放弃挽救狄利克雷原理的一切希望。正如一位数学家所说：“如此美丽而又有如此广阔应用前景的狄利克雷原理，已经从我们的视线里永远消失了。” 与同时代的大多数数学家不同，希尔伯特并不把严格性的要求看做是一种负担。他相信严格性是数学的必然要求，而且有助于方法的简明。他高度评价维尔斯特拉斯的工作，不过他也不同意把狄利克雷原理一笔勾销。他认为这个原理的“诱人的简明性和广阔的应用可能性”是与它“内在的真实性”密切相关的。 1899年夏天，希尔伯特向德国数学会提交了一篇不到6页的论文。他在格丁根大学宣读这篇论文的时候，把自己的努力称作“狄利克雷原理的复活”。他的思路十分简明：只要对曲线和边界值的性质

34、加上某些限制，就可以消除维尔斯特拉斯所批评的缺点，恢复黎曼理论的简明和优美。他出神人化的处理手法博得数学界的一片赞美和惊叹。克莱茵兴奋地说，希尔伯特成功地“给曲面剪了毛”。6年以后，希尔伯特给出了狄利克雷原理的第二个证明。希尔伯特的工作触发了一系列突破。瑞士物理学家里兹从修正过的狄利克雷原理出发，发现了一个通过偏微分方程求边值问题数值解的强有力的方法。揭开新世纪的面纱 10月的格丁根，秋高气爽，阳光灿烂。市政厅广场喷水池里的小牧鹅姑娘暖洋洋地沐浴在金色的阳光下。随着希尔伯特取得一个接一个举世瞩目的成就，新世纪的脚步不知不觉间临近了。新世纪的盛会，第二次国际数学家代表大会决定1900年8月在巴黎

35、举行。大会筹备机构邀请希尔伯特作主题发言。 希尔伯特深知这项任务责任重大。在这样历史性的时刻，他需要有一篇与此相称的演讲。他一直想为纯粹数学作一次辩护发言，以回应长期以来对它的责难。他也在思考“问题”在数学发展中的重要性，因为它们是数学活的血液，通过“问题”可以探讨一下新世纪数学发展和数学家努力的方向。在这个时候，他当然不会忘记首先听听闵可夫斯基的意见，因为他的意见往往十分中肯而且切中要害。闵可夫斯基第一封信表示他需要考虑考虑。过了两天，他又给希尔伯特来了一封信。他不主张为纯粹数学作辩护发言，因为庞加莱在上次大会上所表达的意见是很温和的，人们很难提出异议。“最有吸引力的题材，莫过于展望数学的未

36、来，列出在新世纪里数学家们应当努力解决的问题。这样一个题材，将会使你的演讲在今后几十年的时间里成为人们议论的话题。” 这无疑是个好主意。不过闵可夫斯基也担心，希尔伯特是不是愿意把自己解决某些问题的思路公诸于众。再说，作预言毕竟是件困难的事。 希尔伯特没有立刻回信。他还没有拿定主意。他又写信给胡尔维茨征求意见。胡尔维茨的回答没有记录。 迟迟没有收到希尔伯特的回信，闵可夫斯基感到失望。他写信给希尔伯特：“我已经没有去参加这次会议的愿望了。” 其实，希尔伯特正按照闵可夫斯基的建议日以继夜地在准备大会的发言。离大会不到一个月，闵可夫斯基收到希尔伯特寄来的大会演讲稿的清样，题目很简单：数学问题。闵可夫斯

37、基不再说不想去巴黎开会了。他和胡尔维茨忙着对演讲内容进行讨论并且提出一些建议。 8月的巴黎，烈日炎炎，闷热难耐。第二次国际数学家大会在博览会所由庞加莱宣布开幕后第二天，便搬到巴黎大学所在的僻静小山上举行。8日上午，一位身材中等、衣着朴素的学者健步走向讲台。他宽阔前额上的头发已几乎全无，闪亮的镜片后面透出睿智而坚定的目光。他卓越非凡的才智和刚毅纯真的人格魅力，深深吸引了每位代表。全场鸦雀无声。他走上讲坛，环顾一下巴黎大学的演讲大厅，缓慢地、审慎地开始演讲。根据闵可夫斯基和胡尔维茨的建议，希尔伯特提出的23个问题另外分发给与会代表，因此他只对其中10来个问题作些说明。 “我们当中有谁不想揭开未来的

38、面纱，看一看在今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢?我们下一代主要数学思潮将追求什么样的目标?在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果?” 希尔伯特的讲话一开始就抓住了每一位听众的心。在回顾了问题在数学发展中发挥的重要作用以后，他为纯粹数学作了辩护： “在每个数学分支中那些最初、最老的问题肯定是起源于经验，是由外部现象世界所提出的。但是，随着它的进一步发展，人类的智力受着成功的鼓舞，开始意识到自己的独立性。它自身独立地发展着，通常并不受来自外部的明显影响，而只是借助于逻辑组合和一般化、特殊化巧妙地对概念进行分析和综合，提出新的富有成果的问题。当纯思维的创造力进行工

39、作的时候，外部世界又开始起作用。这种思维与经验之间反复出现的相互作用，推动数学向前发展。” 在介绍问题以前，他对问题的解决提出一般的要求：“首先是要有可能通过有限个前提为基础的有限步推理来证明解的正确性，而这些前提包含在问题的陈述中并且必须对每个问题都有确切定义。” 数学在每一个发展时期都有自己特定的问题。在世纪之交，希尔伯特站在数学研究的最前沿，提出了23个问题来预示20世纪数学发展的进程。这些问题立刻吸引整个数学界的想像力。人们把解决这23个问题，哪怕只是其中的一部分，看成是至高无上的荣誉。100年来，23个问题中约有一半已获得解决。据统计，从1936年到1974年，获得被誉为数学诺贝尔奖

40、的菲尔兹国际数学奖的20名获奖者中，至少有12人的工作与希尔伯特问题有关。我国数学家在解决希尔伯特问题的工作中也作出了贡献。关于希尔伯特的第八个问题中的哥德巴赫猜想，我国的陈景润的工作处于领先地位；孪生素数的最佳结果也属于陈景润。第十六个问题的后半部分，在微分方程研究中有重要贡献的苏联数学家彼德罗夫斯基(19011973)曾声称证明了n=2时，极限环个数不超过3。但是这一结果是错误的，已由我国的史松龄和王明淑举出反例。“问题”在推动数学发展中历来具有举足轻重的影响。但是希尔伯特如此集中地提出一整批问题，并且如此持久地影响这一科学的发展，这在科学史上是绝无仅有的。快乐时光巴黎大会一结束，希尔伯特

41、回到家乡柯尼斯堡，到他小时候十分喜欢的小渔村度假。这时，他已享有一个数学家所能享有的最高声誉。他以朴素而稳重的喜悦来接受这种成功，并没有用虚伪的谦虚而自扰。外国科学院纷纷选他为院士。德国政府授予他为枢密顾问(相当于英国的爵士)。克莱茵在成为枢密顾问后，喜欢别人用这个头衔来称呼他。但是，希尔伯特不喜欢。有一次，有人来拜访时口口声声用“枢密顾问阁下”来称呼他，使他很不高兴。来人不安地问： “我打扰你了吗，枢密顾问阁下?” “不，你没有打扰我”希尔伯特回答说，“除了你的奉承之外!” 1900年冬天，一位瑞典学生给希尔伯特讨论班带来一篇最新发表的关于积分方程的论文，作者是一个名叫伊凡弗雷德霍姆(186

42、6-1927)的瑞典人。积分方程是一类函数方程，它与数学物理问题，特别是连续介质的振动密切相关。这个理论的发展一直十分缓慢。现在，弗雷德霍姆创造性地给出了某些特殊方程的解，揭示了积分方程和线性代数方程暗含的相似性。希尔伯特意识到弗雷德霍姆的工作所蕴含的巨大意义。他毫不犹豫地放下变分法，投身到积分方程的研究。他的工作为这个领域迎来了全盛发展期。 希尔伯特40岁生日以后几个月，柏林大学教授拉撒路富克斯去世。将聘请希尔伯特前往柏林任职的消息在校园里不胫而走。讲师和高年级学生都感到惶惶不安。他们中的有些人本来就在柏林，是冲着希尔伯特才来格丁根的。他们推举三名代表来到希尔伯特家求情，希望他留下来。喀娣在

43、花园里用果子露甜酒招待他们。希尔伯特倾听了他们的请求，但是没有表态。代表们只得怏怏而返。这一段时间里，希尔伯特频繁来往于柏林和格丁根，他在课堂上出现少见的心不在焉和神经质，都使人相信他是走定了。 其实，希尔伯特并不想离开格丁根。他认为，从事数学研究，在格丁根比在柏林好。这里和大自然更亲近，还可以仰仗克莱茵的行政天才。生活在高斯的大学还会有什么“委屈”呢?他惟一感到不足的是，他缺少一个像闵可夫斯基那样能够提供科学激励和个人友谊的同事。 在格丁根，有一条不成文的规定。被聘者可以利用其他大学聘请的机会，来改善个人工作条件或改进他所在的部门或专业的环境。正是利用这一机会，作为继续留在格丁根的条件，希尔

44、伯特提出，增设一个数学教授职位并且聘请闵可夫斯基来担任。在克莱茵的支持下，经过一番交涉，柏林方面终于同意。当数学俱乐部的成员听说“希尔伯特不走，闵可夫斯基要来”的消息，个个喜出望外，奔走相告。他们组织了一次庆祝晚会，表达他们对教授的敬意。 一直被蒙在鼓里的闵可夫斯基得知这一消息，喜不自禁：“放眼未来的生活和工作，我看到了最美好的希望!” 1902年秋，闵可夫斯基来到格丁根。希尔伯特不再感到孤单：“打一个电话，或者沿街走几步路，向他书房的角窗上扔一块小石子，都意味着要进行一次数学的或非数学的活动。”每星期在家里举行的晚会上，因为闵可夫斯基的参加，希尔伯特谈笑风生，有了更大的欢乐。有一次大家谈到伽

45、里略的宗教审判。有人责备伽里略没有为自己的信念坚持到底。希尔伯特表示反对。他认为伽里略不是傻瓜。只有傻瓜才相信科学真理需要宗教式的殉道。科学成就要由时间来证明自身的正确。的确，科学家如何应对外部压力，总是一个见仁见智的永恒的话题。闵可夫斯基话语不多，但是他总是切中问题的要害而且十分得体。每星期天早晨两个朋友偕同妻子一道去野餐。孩子们后来也参加了星期天的远足。 现在，闵可夫斯基代替克莱茵，与希尔伯特共同指导讨论班。这段时间，闵可夫斯基醉心于研究数论，希尔伯特则埋头研究积分方程。两人都享受着他们一生中最美好的时光。打起你的背包，到格丁根去 20世纪初，格丁根享有“数学的麦加”的美誉。全世界在热爱数

46、学的年轻人中流传着这样一句话：“打起你的背包，到格丁根去!” 传奇人物克莱茵的崇高声望吸引着世界各国的学生。他的讲课被奉为经典。克莱茵工作起来兢兢业业，一丝不苟。他通常比学生早一个小时来到课堂，仔细检查助教准备的参考文献表，对讲稿进行最后修改加工。所有的公式、图表和引文在讲课前都作了周密的安排，写上黑板的东西从来不必擦掉。最后，整个黑板就包含对讲课内容的极妙概括，每一个方块位置都恰到好处。他擅长于统揽全局，能在迥然不同的问题问发现统一的思想。他只讲证明思路，要掌握全部内容，学生们在课后还需要花上四五倍的时间。 闵可夫斯基被誉为真正的数学诗人。他的课妙趣横生，引人入胜。学生们都以聆听他的课为荣。

47、有一次在讲授拓扑学时遇到了这个领域的一个尚未解决的著名问题四色问题，即任一张地图只需四种颜色就能保证相邻的两区域不会着同一种颜色。 “这条定理直到现在还没有证明，是因为只有一些三流的数学家在研究”闵可夫斯基轻松地说，“我可以很快证明它。” 他当场开始证明。这堂课结束时，还没有证明出来。下一堂课继续证明。一个星期过去了。最后，在一个阴雨的早晨，闵可夫斯基走进教室时，恰好雷声大作。他站在讲坛上，温和的圆脸上怀着歉意说：“老天也被我的骄傲激怒啦，我的证明也是不完全的。” 四色问题在1976年由美国数学家阿佩尔和哈肯，利用高速电子计算机的帮助得到证明。 在格丁根，最具号召力的当然是希尔伯特。这不仅是因

48、为他的声誉如日中天，也因为他直率纯真，朴实无华，平易近人，对青年人有不可抗拒的吸引力。 和克莱茵不同，希尔伯特的课和他的为人一样，可以用“毫不修饰”来形容。他讲得很慢，经常重复，生怕有人听不懂，有点像预科学校上课的风格。但是他的课“简明，自然，逻辑严谨。”和闵可夫斯基一样，他在讲课时会有“即兴发挥”，突然展开他自己对某个事实的想法或表现出忽然有所发现的冲动，虽然不像克莱茵那样尽善尽美，在细节上常常出错，却不时地会迸发出创造性的思想火花，所以更受学生的青睐。 后来成为希尔伯特继任人的赫尔曼外尔，1903年来到格丁根的时候，还是一个18岁乡村小伙子。他40年后回忆往事时仍满怀激动： “希尔伯特是个

49、杰出的范例，在他身上显露了真正科学天才的无限创造力我记得听的第一堂数学课简直太迷人了那正是希尔伯特讲关于e和的超越性的著名课程没听到希尔伯特讲授基础课的年轻人，真是太可惜了!” 这一年夏天，外尔怀揣着希尔伯特的数论报告回家度假。虽然他还没有这方面的准备知识，却花了整整一个假期来攻读这本书，就像当年狄利克雷如饥似渴地攻读高斯的算术研究。后来，外尔总把这几个月说成是一生中最美好的日子。悲情时刻 希尔伯特研究积分方程的时候，受到闵可夫斯基的感染，对物理学产生了浓厚的兴趣。他和闵可夫斯基决定在讨论班上研究运动物体的电动力学。这个讨论班的活动扣人心弦，富于刺激力，给当时的学生，后来的诺贝尔物理学奖获得者

50、玻恩留下难忘印象。在讨论班得到的电动力学的许多结论几乎与当时在伯尔尼专利局供职的爱因斯坦论文的观点不谋而合。 1908年9月，德国科学家和医生协会年会在科隆举行。正处于巨大创造活动高峰的闵可夫斯基在会上作了“空间和时间”的报告。在这个“几何化的伟大时刻”，闵可夫斯基为相对论引进了极为简单的数学“空-时”观，“三维几何成了四维物理中的一章”。 在闵可夫斯基作报告的时候，希尔伯特刚从几个月前严重的忧郁症中恢复过来，正投身于攻克一个数学难题华林问题。1770年美国数学家爱德华华林(17361798)猜测：每一个正整数必可表为4个平方数之和、9个立方数之和、19个四次方数之和等等；一般地，对应每一个n

51、次方都有一个有限的数。很快，有人证明了每个正整数可表为4个平方数之和。但是对于其他次方的证明陷入了僵局，100多年来，几乎毫无进展。最近似乎出现了一丝曙光。有人利用某种分析方法作了有希望的尝试。胡尔维茨顺着这个方向做了一些工作，但最后遇到了难以克服的困难。希尔伯特从胡尔维茨止步的地方开始，甚至用了一个胡尔维茨的恒等式。到年底，希尔伯特终于成功。和哥尔丹定理相似，希尔伯特的目标是证明存在性而不是给出实际构造。不同的是，他虽然没有给出n次方时所要求的那个数，但是却提供了一种方法，按照这种方法，至少在原则上可以对每一种情况作出一个估计。当然，这是一个极为冗长而复杂的证明。哈代后来与李特尔伍德给出了第

52、二个证明，他说：“我对能解决掉这个历史问题钦佩之极；这是绝对的成功，是现代数论的里程碑之一。” 希尔伯特自己十分高兴并引以自豪，他打算在下一次聚会上向闵可夫斯基和联合讨论班报告华林定理的证明。 新的一年悄悄来临了。1月6日(星期三)闵可夫斯基从外地休假回来。星期四下午3点正是教授们每周一次徒步旅行。这一次的目的地是丛林山的凯尔旅馆。荒凉的山丘和光秃秃的树木丝毫没有减少教授们的兴致。闵可夫斯基以他特有的欢悦列举了他最近在电动力学中的研究成果；希尔伯特则宣告将在下一次讨论班上提出华林定理的证明；大家你一句，我一句，气氛热烈。星期五闵可夫斯基照例去上课，下午主持了一场博士考试。 不料，星期天的晚饭后

53、，闵可夫斯基突然感到肚子剧痛难耐，很快被送往医院。诊断为急性阑尾炎，立即进行困难的切除穿孔阑尾的手术。 星期一，病情开始恶化，但是闵可夫斯基仍神志清醒。他知道自己的病情已无法挽回。他安详地接受死神的召唤。他只感到惋惜，因为自己正处在创造力的高峰，还有许多工作可做。他在病床上看到自己最近一篇论文的校样，考虑是否能把未完成的部分解释得更好。他也牵挂着是否能够听到下一次讨论班上希尔伯特的报告。 星期二中午，1909年1月12日，闵可夫斯基永远地闭上了眼睛。一支正在演奏的美妙乐曲戛然而止! 希尔伯特在课堂上宣布闵可夫斯基的噩耗时，禁不住失声痛哭。看到希尔伯特泪流满面，学生们不知所措。一切似乎都乱了套。

54、星期四下午，谈论数论的散步没有了。代替它的是数学教授们最后一次守灵，时间，希尔伯特记得，又是正三点。 这年春天，希尔伯特没有给格丁根科学会寄积分方程的论文。他和喀娣的大部分时间都在陪伴闵可夫斯基夫人和她年幼的女儿。他还担任了编撰闵可夫斯基著作的总编辑并准备一篇纪念讲话。为了这个讲话，他把闵可夫斯基给他的90封来信全部读了一遍。5月1日，他在格丁根科学会举行的专门会议上动情地发表了纪念闵可夫斯基的演说：“对于我，他是天赐宝玉这样的宝物难得降临人身我以能如此长久地保有它而感恩不尽。” 华林定理的证明出版了。作者的题赠是：“为了纪念赫尔曼闵可夫斯基”。反对战争 1910年，理查德库朗(1888197

55、2)成为希尔伯特的助手。同年，希尔伯特送交格丁根科学会一篇关于积分方程的论文。对积分方程研究的深入与抽象，导致希尔伯特空间建立，泛函分析产生。 “希尔伯特的研究第一次揭示出积分方程的真正意义，”库朗写道，“这个理论和它极不相同的数学领域的各种关系，它的多方面应用，其内部结构的协调一致和简明性，以及把过去大量孤立的研究统一起来后所产生的力量，这些都第一次在希尔伯特的工作中变得明白无疑了。” 怪不得1924年底库朗在数学物理方法第一卷出版的时候，他把希尔伯特的名字与自己的名字一起并列在封面上。库朗在序言中解释说，他之所以这样做，是因为书中大量内容取材于希尔伯特的论文和演讲，同时也出于这样的希望，即

56、这本书能在一定程度上体现对数学研究和教育有决定影响的希尔伯特精神。与以往的应用数学的经典著作相比，它是一个巨大的进步。确切地说，过去还从来没有过这样的著作。诺贝尔奖获得者维格纳说，数学物理方法好像是特意为量子力学而准备的。 1910年秋天，匈牙利科学院宣布，“由于思想的深刻性、方法的创造性以及证明的严密逻辑性，大卫希尔伯特对数学的发展作出了巨大的贡献”，从而希尔伯特继庞加莱之后获得了第二届该院设立的鲍耶奖。 积分方程的工作把希尔伯特带到了数学和物理的边缘地带。这期间他结交了许多学物理的年青人：索末菲尔德，爱瓦尔德，玻尔兄弟，雪勒，德拜。格丁根的生活继续前进了。克莱茵计划建造的数学大楼(数学研究

57、所)就要付诸实施。但是，夏天，奥地利斐迪南公爵在萨拉热窝被一个塞尔维亚学生刺杀了。 8月1日，格丁根一个漫长的假期开始了。奥匈帝国对塞尔维亚开战。到8月底已经有成打的国家卷入战争。 为平息世界各国的反对声浪，德国政府让它的最有声望的科学家和艺术家出来发表一个宣言，以表明他们对德皇威廉二世的支持。告文明世界书的第一句话就是：“说德国发动了这场战争，这不是事实。” 克莱茵和希尔伯特作为享有世界声誉的数学家被邀请在宣言上签名。克莱茵是一个极端的爱国主义者，他毫不迟疑地在宣言上签了名。希尔伯特不一样。他认为战争是愚蠢的行为。他逐字逐句检查宣言的内容，得出的结论是：无法判断宣言所说的都是事实。因此，他拒

58、绝签名。另一个拒绝签名的著名人物是爱因斯坦，他在柏林威廉皇帝物理研究所工作。 爱因斯坦所受到压力相对较轻，因为他具有德国和瑞士双重国籍。希尔伯特不同。他不仅是德国人而且是普鲁士人。11月初开学时，许多人不再来听希尔伯特的课，因为他像个“卖国贼”。不过，希尔伯特的许多同事理解他的行为，即使是克莱茵也很快意识到自己的冒失。宣言的发表使全世界舆论一片哗然。巴黎科学院开除了克莱茵，但保留了希尔伯特的位置。没有教育缓役，教授的保荐信和优秀的成绩同样无济于事，差不多所有的年轻人、学生和讲师都已经或即将离开学校奔赴战场。往日挤得满满的阅览室几乎空无一人。希尔伯特的助手兰德，因为视力太差，一开始并没有去服役。

59、但是一年后，他也被召到红十字队呆了两年，然后应召入伍。因为，那时军队什么人都要了。 1917年春，法国数学家伽斯顿达布逝世的消息传到格丁根。希尔伯特对达布一向十分敬重，因为他是一位品德高尚，在数学上，特别是在曲面微分几何学等领域做出过杰出贡献的大数学家。他还是鲍耶奖评选委员会成员。希尔伯特写了一篇悼文送到格丁根的通讯发表。希尔伯特一生写过4篇悼文，另外3篇是悼念维尔斯特拉斯、闵可夫斯基和胡尔维茨，他们都是德国人，而闵可夫斯基和胡尔维茨更是与希尔伯特私交极深。但是达布是法国人而且德、法两国正在激烈交战，所以这篇悼文的含义非同寻常。果然，这篇文章立即遭到一部分学生的强烈不满。他们聚集到希尔伯特的住

60、宅前，高声要求他收回这篇悼文并销毁所有复印件。希尔伯特断然拒绝。他来到校长办公室威胁要辞职，除非就这些学生的无理行为作正式道歉。他很快收到了这样的道歉。 生活愈来愈困难了。英国的封锁让德国尝到了苦头。食品异常匮乏。由于马铃薯大减产，出现了战争以来最严重的饥荒。希尔伯特在花园里种起水果和蔬菜，可是肉就很难弄到了。更使希尔伯特感到苦恼的是，由于战争，国际学术交流也停顿了下来。爱米诺特 这一年，数学家麦克思诺特(18441921)的女儿爱米诺特来到了格丁根。 爱米学数学有一段有趣的故事。原来，爱米家里的墙纸是用父亲的草稿做的。年幼的爱米看到这些墙纸不知不觉间就迷上了数字和算式。与漂亮的柯瓦列夫斯卡娅

61、不同，她长得结实粗壮而且高度近视，粗嗓门，从举止和外表上简直看不出她是女性。但是，对于数学的贡献，她比迷人的索非亚要大得多。她是迄今为止数学史上最卓越的女数学家。她的心地异常善良，“有一颗体贴别人的心，广泛而又深切地关心着自己的同行，关心着全人类的利益，这种温文慧敏的情操，正是她女性的体现。”她曾是哥尔丹的学生，发表过6篇论文。1910年，她更把哥尔丹的结果推广到n个变量。她的工作结果，使希尔伯特的“神学”被人们作为数学来接受了。她决定到格丁根来碰碰运气。因为她知道，格丁根大学在高斯倡导下是德国第一所授予妇女博士学位的大学。但是诺特似乎过于乐观了。要成为讲师，在当时的德国决非易事。教授会中的哲

62、学家、语言学家和历史学家极力反对妇女成为讲师。他们的理由是：如果让一个女人当了讲师，她以后就会成为教授，成为大学评议会的成员。当我们的士兵从战场上回到大学，发现他们将在一个女人的脚下学习。他们会怎么想呢?希尔伯特感到很气愤，他奋起反击：“先生们，我不认为候选人的性别是不能让她当讲师的理由。大学评议会毕竟不是澡堂。” 但希尔伯特终因势孤力单，没有成功。他只好用变通的办法让诺特留下来。有些课以希尔伯特的名义开，而由诺特来主讲。确实，由于高度抽象和概念化，她的讲课只有少数几个人听得懂，这些人中有荷兰来的范德瓦尔登(19051996)，奥地利来的阿廷(18981962)，和苏联来的亚历山大罗夫(189

63、61982)，他们后来都是赫赫有名的大数学家。 不久，在告文明世界书发表差不多4年后，德皇逃亡荷兰，战争结束了。 战后，格丁根最富有成果的研究圈子之一，是以爱米诺特为中心展开的。可以说，在格丁根的后起之秀中她对未来数学发展的影响最大。她关于微分不变式的重要结果足以使她获得第一流数学家的声誉。但与她目前正进行的研究，即在公理化基础上建立一般的理想论相比，就显得无足轻重了。这项工作源于希尔伯特早期的代数工作，但在诺特手里，公理化方法不再仅仅是澄清逻辑与深化基础的手段(像希尔伯特所做的那样)而且是进行具体数学研究的有力武器。1995年，安德鲁维尔斯在攻克费马大定理的时候就用到这个武器。尽管在数学上取

64、得卓越的成就，她在大学里却地位最低，也没有薪金。对此，她安之若素。 希尔伯特终于为爱米诺特争到了一个数学讲师职位，在此以前，格丁根还从来没有女人当讲师的先例。3年后，她成为一名编外副教授。大学里一般没有这样的职位，同样也没有工资。总之，这位杰出的女数学家和她的工作在她的祖国一直没有得到应有的重视，她也没有成为格丁根科学会的成员。 1932年，诺特同阿廷一起获阿克曼托依布纳奖。同年9月，她应邀在瑞士苏黎世举行的国际数学家大会上作报告。她的数学思想直接影响了1930年以后的代数学乃至代数拓扑、代数数论和代数几何的发展。 1933年希特勒上台，爱米诺特被迫流亡美国。1935年在一次癌症手术中去世，时

65、年53岁。 爱因斯坦给纽约时报写了一封信，悼念爱米诺特的去世： “根据现代权威数学家的判断，诺特女士是迄今为止(女性中)最重要的富于创造性的数学天才， 她个人的生活并不被他人所注目，然而她奋斗得来的果实却是一代人所能给予子孙后代最有价值的财富。”理性的呼唤 战后相当一段时间，德国数学界一直被排斥在国际活动之外。1928年意大利数学家在筹备1912年以来的第一次国际数学家会议时，决定恢复对德国数学组织的邀请。可是以柏林大学数学教授路德维希比伯巴赫为首的一大批人抵制这次会议。8月，希尔伯特急性贫血旧病复发。但是，他毅然率领一个67名数学家组成的代表团赴波隆那出席会议。 在开幕式上，当德国代表团进入

66、会场时，人们看到一个熟悉的，但比以前苍老的身影出现在队伍的前头，全场顿时鸦雀无声，接着长时间的热烈的掌声响彻大厅。每个代表都从座位上站起来表示欢迎。希尔伯特开始他的演说时抑制不住内心的激动： “我感到万分高兴，在一个漫长而艰难的时期之后，全世界数学家又在这里欢聚一堂。为了我们无比热爱的这门科学的繁荣，我们应该这样做，也只能这样做。应该看到，作为数学家，我们是站在精确科学研究的高山之巅。除了义不容辞地担当起这个崇高的职责，我们别无选择。任何形式的限制，尤其是民族的限制，都是与数学的本质格格不入的。在科学研究中人为地制造民族的或种族的差异，是对科学极端无知的表现，其理由不值一驳。数学不分种族对于数

67、学来说，整个文明世界就是一个国家。” 希尔伯特的演说，铿锵有力，掷地有声。人们不难看到他的一系列招致“争议”的行为，拒绝在战争宣言上签名，对“敌国”数学家达布的悼念和对犹太女数学家爱米诺特的关怀等等，对他来说，其实都是再自然不过的必然选择。因为在他看来，“任何形式的限制”，都“与数学的本质格格不入”。 他在会上提出的论文是关于数学基础的。由于罗素和策墨罗等人相继发现了集合论的悖论，数学证明的可靠性遭到了质疑。早在1904年的海德堡世界大会上，希尔伯特说，“如果想避免悖论，那就必须对逻辑定理和算术定理进行研究”，从而在数学史上第一次提出了应该把证明本身也作为数学研究的对象。由于他对几何相容性的证

68、明约化为算术的相容性，因此算术相容性就成为没有解决的问题。他一直乐观地认为证明论的实现只是一个数学技巧问题。但是最近的一些迹象表明，这样的估计可能是过于乐观了。关于形式系统相容性的证明，阿克曼第一个作出了实质性的尝试。他的最后结论是：“要证明相容性必须对形式系统作本质上的限制”。后来，冯诺伊曼的一篇论文给出的相容性证明也不能应用于整个形式系统。 除了相容性，希尔伯特还提出了完备性。这也是一个只有像希尔伯特那样的大数学家才能提出的问题。始料不及的是证明公理系统完备性所遇到的困难，丝毫不亚于相容性。 会议结束后，当希尔伯特去结账时，别人告诉他，会务组已经替他结清了。 “啊哈，早知道是这样，”他说，

69、“我该多吃点啦!”柯尼斯堡的荣誉市民1930年1月23日，教授法定的退休年龄到了。格丁根举行了隆重的仪式。一条街被命名为希尔伯特大道。各种荣誉像雨点般飞来，其中最使他高兴的是柯尼斯堡市政会表决授予希尔伯特“荣誉市民”称号。为了准备这次演说，他倾注了大量心血。他要找一个能将这些伟大的名字和他自己的经历交融在一起的主题柯尼斯堡和格丁根，雅可比、高斯和康德，数学和科学，科学与经验，他生活中经历到的知识和思想的巨大进展。 秋天，授予仪式在德国科学家和医生协会会议上隆重举行。希尔伯特的双眼依然锐利而深邃，眼神还是那样纯真。他的手放在讲坛上，缓慢地、字斟句酌地开始演说： “认识自然和生命是我们最崇高的任务

70、。” 他直奔主题的开场白一下子吸引全场人的注意。当时正在柯尼斯堡度蜜月的美国数学家奥尔回忆道，“我记得，希尔伯特的演说和冯诺伊曼关于集合论基础的演讲都有激动人心和引人人胜的感染力。它使人感觉到，现在，人们正在千方百计地为解决数学公理的基础和数学应用于自然科学的各种前提作出最后的努力。” 在一生的科学事业临近结束时，他对着话筒坚定有力地说出最后一句话： “我们必须知道。 我们必将知道。” 当他的眼睛离开讲稿面向听众时，他笑了。 几乎就在希尔伯特信心十足地演讲的时候，一位25岁名叫库特哥德尔的青年，完成了一项研究。简单地说，算术的相容性用元数学所容许的狭义逻辑是不可能确定的。用外尔的形象的说法就是

71、“上帝是存在的，因为数学没有矛盾；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这无矛盾性。” 哥德尔的结果还有一个更为惊人的推论：有一个算术语句，它是真的又是不可证明的，即不仅是数学全部，即使是任何一个有意义的分支也不能用一个公理系统概括起来，因为任何这样的公理系统都是不完备的。 希尔伯特花了巨大努力所追求的目标落空了。看来寻求真理的道路远比想像的曲折而漫长。 70岁生日的庆祝晚会，在数学研究所新建的大楼举行。自然科学上刊登了外尔的生日祝词。出版商亲自到格丁根把登载数论报告及数论其他论文的希尔伯特全集第一卷献给他。尽管国家处在萧条时期，但是大家都穿上了略显陈旧的晚礼服，使晚会显得隆重而优雅。宴会之后是舞会

72、。学生们举着火把冒雪游行到灯火通明的大楼前向他欢呼。希尔伯特来到台阶上，身上裹着宽大的皮领外套。有人在这里拍了一张照。在研究所的每个窗户，都可以看到著名人物的面孔，他们在那里向外张望。 这最后一幕是学生们给予教授的最高荣誉。 “数学”希尔伯特回敬学生们的欢呼“万岁，万岁，万岁!” 这一年，国家社会主义党在旧德意志帝国议会选举中取得重大胜利。第二年，兴登堡总统任命阿道夫希特勒为总理。希特勒上台颁布的第一号法令是，为粉碎“恶魔的势力”，要辞退几乎所有纯犹太血统的人。回荡的笛声 在市中心，纳粹党旗飘扬在市政厅上空。它的巨大阴影投向喷泉里忧郁的小牧鹅姑娘。大学的校刊和出版物又出现了长年不用的老德国体。

73、每一期的首页都写着：由戈培尔先生主办出版。 希尔伯特学派遭到最沉重的打击。往日的朋友和学生纷纷被迫离去。格丁根几乎只剩希尔伯特孤独一人了。他自费留住贝尔奈斯当他的助手，但是，到1934年，因为是犹太人，他也不得不离开德国到苏黎世去了。有一个不是笑话的笑话在当地流传着：格丁根只有一个雅利安数学家，他的血管里却流着犹太人的血。这则笑话不是无中生有。原来在希尔伯特生病的时候，库朗曾为他输过血。 1935年，全集的最后一卷出版了。里面有他最早的学生布鲁门萨尔写的传记。希尔伯特写了一封短简，认为能有这样一位名声赫赫的人物来担任他生活和工作的解释者，是他一生中最后一次巨大的幸运。 不久，布鲁门萨尔被撤去在

74、亚琛的教授职位；接着，他在年鉴封面上的名字也被抹去。在朋友们帮助下他离开德国前往荷兰。但是，1943年，盖世太保在一次周期性的对荷兰的犹太人搜捕中抓到了布鲁门萨尔。1944年他死于捷克斯洛伐克的赛尔辛斯塔特集中营。 “年轻的时候，”希尔伯特有一次痛心地对喀娣说：“我曾下过决心，绝不重复老人们常讲的一句话过去多好，现在多糟，即使我老了也决不说这种话。可是，现在我不得不说了。” 一次宴会上，希尔伯特被邀坐在纳粹教育部长旁边。 “现在格丁根的数学怎么样?”部长问，“它已经完全摆脱了犹太人的影响!” “格丁根的数学?”希尔伯特答道，“确实，这儿什么都没有了。” 75岁那一年，一名记者来采访，请他谈谈格

75、丁根与数学史有关的地方。 “实际上，我什么也不知道，”他冷淡地说，“记忆只会把思想搞乱。长期以来，我完全抛弃了的记忆。我真的不需要知道任何事情，因为有别的人，我的夫人和我们的女仆，她们会知道的。” 当记者“有礼貌地”对此表示怀疑时，希尔伯特微微一笑：“嘻，也许我从来就是被认为有健忘的天赋。是的，就因为这个缘故，我才研究数学的。”说完，他就把眼睛阖上了。 1942年1月，希尔伯特跌倒在格丁根的大街上，摔断了胳膊。从此他再也无法自由活动，并由此诱发一系列并发症。1943年2月14日，大卫希尔伯特与世长辞了。他被安葬在河的对岸，克莱茵也长眠于此。草地的墓碑上仅仅刻着姓名和日期。 阿诺德索末菲尔德，希

76、尔伯特最早的学生之一，从慕尼黑赶来站在灵柩旁讲述了希尔伯特的工作。“希尔伯特最伟大的数学成就是什么?是不变量吗?是他最喜爱的数论吗?是几何基础吗?那是欧几里得几何和非欧几何之后，该领域中最伟大的成就。在函数论基础和变分法计算方面，希尔伯特证明了黎曼和狄利克雷猜想的正确性。积分方程的研究也达到了高峰不久，在新物理学里它们又结出了硕果。他的气体理论，对新的实验知识产生了根本性的效应，至今仍未过时。还有，他对广义相对论的贡献也具有永恒的价值。至于他探索数学真知的最后努力，现在还没有定论。但是，当这个领域有可能进一步发展时，它将不会绕过而必须经由希尔伯特继续前进。” 自然杂志认为，世界上难得有一位数学

77、家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作的。希尔伯特像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上留下他那巨大显赫的名字。那里有希尔伯特空间、希尔伯特不等式、希尔伯特变换、希尔伯特不变积分、希尔伯特不可约性定理，希尔伯特公理、希尔伯特子群、希尔伯特类域，那一串串闪光的明珠照亮了数学前进的道路。 穿杂色衣服的魔笛手远去了。但是，他那甜蜜的笛声继续在世界各地回荡。无论在欧洲大陆，在英国，在大洋彼岸的美国，在俄罗斯，在日本，在印度和中国，到处都有希尔伯特的学生，以及希尔伯特学生的学生。 我们必须知道。 我们必将知道。 希尔伯特那响彻云霄的号召，激励着他们继往开来，不断向前!高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )