数学概括及其在数学学习中的作用.doc

1、数学概括及其在数学学习中的作用数学概括及其在数学学习中的作用一、数学概括数学概括是一种特殊的概括，这是由数学学科的特点所决定的。数学概括是在数学符号、数量和空间关系、数学对象和运算等方面的概括。它具有以下显著的特点：1数学研究对象本身已是概括的产物我们知道，数学的研究对象是客观世界的数量关系和空间形式。它取自于客观世界，但却不是现实中的真正原型，而是从现实世界中概括出来的数学模型事物中的纯数量关系和空间形式。例如自然数、点、线、面等原始概念，就是从现实世界中概括出来的。2数学概括具有层次性数学概括是在概括基础上所进行的再概括，数学是从原始概念开始，在此基础上进行新的抽象，从而得到概括程度更高的

2、新概念。在数学中往往要进行一系列地、逐级地概括，由此可得到概括水平越来越高的概念、法则和方法。这恰是数学在抽象思维方面具有相对封闭性的原因所在。正如德国数学家汉克尔的生动描述：“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏，唯独数学，每一代人都在这古老的大厦上添加一层楼。”这表明数学的发展表现为明显的概括性质：它的每一次发展都把原来的数学作为某种特例包含在新的数学中去。例如数系的扩张；中学里对三角函数的概括；从数列极限到函数极限的概括。从定理内容上也可体会出数学概括的层次性，例如数学归纳法定理。3数学概括用数学语言来表述数学概括的表述使用了特殊的语言体系特定的符

3、号体系数学语言体系。而且这种表述形式贯穿于数学概括过程的始终。我们知道，语言是思维的载体。自然语言虽然可在一定程度上来表达数学，但却不能达到完美精确的程度，因此数学工作者在自然语言的基础上创造出了数学语言数学中特有的形式化符号体系。它是人类自然语言的进一步概括。有了数学语言，数学研究的思维过程和结果就可精确简练地表出。二、数学概括在数学学习中的作用学生的数学学习，主要表现为数学知识、数学能力和数学思维活动的学习。而所有这些学习都是以数学概括为基础，都离不开数学概括能力的支持与辅佐。在此仅以数学能力的学习为例。中学数学教学大纲明确指出：“通过数学教学，要培养学生具有正确迅速的运算能力，逻辑思维能

4、力和空间想象能力，从而逐步培养运用数学分析和解决实际问题的能力。”在运算能力方面，欲达“正确迅速”目的，就需在各类运算中概括出相应的运算规律，将其归纳为一般形式。数学概括在培养学生逻辑思维能力方面的作用也十分重要。逻辑思维是人类揭示客观世界的本质和规律的极其重要的思维活动，它几乎渗透到人类获取所有理论和新认识的每一过程，而数学则是体现逻辑最彻底的一门学科。学生在学习中遵循着数学的逻辑规律，他们从最基储最简单的数学概念出发，在这些基本概念的基础上进行概括，得到概括程度更高的新概念。例如：在初中，仅研究0360间角的三角函数，到了高中，通过角概念的推广和弧度制的引入，概括出任意角三角函数，并从集合

5、和映射的观点出发加以研究。即在数学思想方法上也采用了概括性更强的更一般的方法集合和映射的思想方法。由上述各例可看出，学生逻辑思维能力的形成和发展离不开数学概括，数学概括不仅影响着学生逻辑思维的形成和发展，而且决定着学生逻辑思维的水平和质量，概括水平越高，其逻辑思维的能力就越强。语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面

6、的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。数学概括在培养和形成学生的空间想象能力大小更是不可或缺。因为空间想象能力的形成不仅需要按部就班的逻辑推理过程，而且需要有猜想、想象、直觉等灵感思维的帮助，而直觉思维更离不开数学概括的支持，尽管它有时表现的并不那么直接，但却是头脑所积累的数学

7、概括水平的综合运用，需要具备更高的数学概括能力。因为在三维立体空间（现实空间）或更高维的空间（非现实空间）中考察数学问题时，它与空间的相关性增强了许多，它的位置关系，空间形式和数量关系都有了更丰富的内涵（与二维相比），这势必要求在数学概括上应具有更高的水平。例如，在平面内，对一个直角三角形的研究仅限于边、角关系的讨论，但在立体空间，除此以外（这种关系已经缩小到在同一平面讨论问题的范围）还存在着它与空间平面、空间直线的各种位置关系、空间形式及数量关系等。比如立体几何中的三垂线定理和逆定理，说的就是直角三角形的斜边与平面直线的位置关系，这种关系的寻找与确定就需要更广泛的数学概括。教师范读的是阅读教

8、学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问示侄孙伯安诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。空间想象能力还表现在对现实空间中几何物体的数学发现上。例如人们对蜂房的数学发现乃至物理发现：蜂房底部菱形的锐角是70，这个尺寸经推算知，在体积一定的条件下它可使蜂房的表面积为最小，即用料（蜂蜡）最省，不仅如此，蜂房的特殊形：侧面是六棱柱，底由三全等菱形组成的倒角锥面，其物理性能也十分的好，它抗压、防震、轻巧而坚固，所有这些结果都是将其概括为数学问题所取得的。