河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）.doc

1、河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本题1-10题为单选题，11-12为多选题，每小题5分，共60分）1. 已知命题，则命题p的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】原命题为全称命题，其否定为存在性命题，按规则写出其否定即可.【详解】命题，的否定为：，.故选：D.2. 某公司决定利用随机数表对今年新招聘的800名员工进行抽样调查他们对目前工作的满意程度，先将这800名员工进行编号，编号分别为001，002，799，800，从中抽取80名进行调查，下图提供随机数表的第4行到第6行32 21 18 34 29 78

2、 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 43 77 89 23 45若从表中第5行第6列开始向右依次读取3个数据，则抽到的第5名员工的编号是（ ）A. 007B. 253C. 328D. 736【答案】A【解析】【分析】根据随机数的定义，以及随机数表的读法，

3、即得解.【详解】根据随机数的定义，以及随机数表的读法，前5名员工的编号是：253，313，457，736，007故选：A【点睛】本题考查了随机数的定义，以及随机数表的读法，考查了学生概念理解，数据处理的能力，属于基础题.3. 2019年被誉为“5G商用元年”6月，5G商用牌照正式发放；9月，5G套餐开启预约；11月，5G套餐公布；12月，5G手机强势营销据统计2019年网络上与“5C”相关的信息量总计高达6875.4万条从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的（ ）A. 相关活动是5G信息走势的关键性节点B. 月均信息量超过600万条C. 第四季度信息量呈直线增长态势D

4、. 月信息量未出现持续下降态势【答案】B【解析】【分析】根据信息量走势图的信息，对选项进行逐一分析判断，得出答案.【详解】A. 由图可知6月，9月，12月都是图象的走势变化的关键点，所以判断正确.B. 2019年与“5G”相关的信息量高达6875.4万条，则月均信息量不超过600万条，所以判断不正确.C. 由图可知10月、11月、12月的信息量呈直线增长态势，所以判断正确.D. 由图可知月信息量未出现连续几个月持续下降态势，所以判断正确.故选：B.【点睛】本题考查对图表信息的处理，关键是读懂图表，属于基础题.4. 已知椭圆1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|MF2|1，则MF1

5、F2是()A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】【分析】结合椭圆第一定义列出|MF1|+|MF2|4，联立求解|MF1|和|MF2|，再判断MF1F2三边关系即可【详解】由题可知，解得，又因，所以MF1F2为直角三角形答案选B【点睛】本题考查椭圆的基本性质，结合第一定义解题往往是圆锥曲线解题优先考虑的步骤5. 从分别写有号码1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，号码记为x，放回后再随机抽取1张，号码记为y，则的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件的总数，再求出满足的基本事件的个数，再根据古典概型的计算公式

6、计算即可.【详解】基本事件的总数为个，满足有如下基本事件：，共15个基本事件，所以的概率为.故选：C【点睛】思路点睛：古典概型的概率求解步骤：(1)求出所有基本事件的个数.(2)求出事件包含的所有基本事件的个数.(3)代入公式求解6. 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴，过焦点F的直线交抛物线C于M，N两点，线段MN的长为4，且MN的中点到x轴的距离为1，则抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据焦点弦的弦长公式可求的值，从而可得正确的选项.【详解】设的中点为，抛物线的标准方程为，则，而，故，所以，故抛物线的方程为：.故选：B.7. 设命题P：

7、双曲中的离心率，则p的一个充分不必要条件是（ ）A. 或B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的离心率的范围求出的范围，然后通过充分不必要条件求解即可【详解】双曲线：的离心率，所以可得，即，解得所以的一个充分不必要条件是：故选：D8. 已知下列说法：如果数据，的平均数是，方差是，则，的平均数和方差分别是和；若事件A、B互为对立事件，则事件A、B满足；互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；至少有一个样本点落在回归直线上；对于回归方程，变量x增加一个单位，大约减少4个单位.其中错误的结论有几个（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据平均数，方

8、差判断，根据对立事件和互斥事件判断，根据线性回归方程判断【详解】对于，如果数据，的平均数是，方差是，则，的平均数和方差分别是和，故错误；对于，若事件、互为对立事件，则事件、满足（A）（B），故正确；对于，互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，故错误；对于，样本中心，一定在回归直线上，但是样本点不一定落在回归直线上，故错误；对于，回归方程，变量增加一个单位，大约减少4个单位，故正确故结论错误的有3个，故选：C9. 省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要

9、求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方式.A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】B【解析】【分析】利用插空法可求不同的安排方式的总数.【详解】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为.故选：B.10. 已知定点，是双曲线的右焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线第一定义将转化成，求得最值问题.【详解】解：根据双曲线第一定义及是双曲线右支上的动点可得，所以，所以，结合图形可得，当且仅当三点共线时取得等号，即图形中点在处取得最小值，所以，所

10、以的最小值为，故选：C.【点睛】与双曲线有关的取值范围问题的解题思路：（1）若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解；（2）若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.11. （多选题）已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大，则下列结论正确的为（ ）A. 展开式中偶数项的二项式系数之和为B. 展开式中二项式系数最大的项只有第三项C. 展开式中系数最大的项只有第五项D. 展开式中有理项为第三项、第六项【答案】CD【解析】【分析】根据已知条件，利用二项展开式的通项公式及二项式系数的性质，逐一判断各个选项即可.【详解】令，可得展开式中各项系数的和为，

11、又二项式系数的和，因为各项系数的和比它的二项式系数的和大，所以，解得，对A：因为二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，所以展开式中，偶数项的二项式系数的和为，故A错误；对B：因为，所以第三项、第四项的二项式系数最大，故B错误；对C：，设展开式中系数最大的项是第项，则，解得，又，所以，所以展开式中系数最大的项只有第五项，故C正确；对D：若是有理项，则当且为整数，又，所以，所以展开式中有理项为第三项、第六项，故D正确.故选：CD【点睛】方法点睛：(1)二项式系数最大项的确定方法：如果是偶数，则中间一项(第项)的二项式系数最大；如果是奇数，则中间两项(第项与第项)的二项式

12、系数相等并最大(2)形如展开式中系数最大项的求法，一般采用待定系数法：设展开式中的第项是系数最大项，其系数记为，则由可求出的值，从而求出展开式中系数最大的项.12. （多选题）阿基米德（公元前287年公元前212年是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他研究抛物线的求积法，得出一个著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”，如图所示，在抛物线上有两个不同的点A，B，坐标分别为，以A，B为切点的切线PA，PB相交于点P，给出以下结论，其中正确的为（ ）A. 点P的坐标是B. 的边AB所在的直线方程为：C. 的面积为D.

13、的边AB上的中线平行（或重合）于y轴【答案】ABD【解析】【分析】写出点处的切线方程，同理得点处的切线方程，联立解得坐标，进而可得AD正确，由坐标求出，再写出直线的方程，进而得B正确，写出点到直线的距离，由弦长公式得，进而得，然后可判断C错误【详解】由，得，由题意，点处的切线方程为，点处的切线方程为，联立两个方程并消去得，代入点处的切线方程得，所以点坐标为，故AD正确，设直线的斜率为，则，故直线的方程为，化简得，故B正确，由得点到直线的距离，故，故C错误故选：ABD【点睛】方法点睛：在解决焦点在轴上的抛物线的切线问题时，常利用导数的几何意义求解.二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分

14、）13. 已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】【分析】由双曲线离心率公式可得，再由渐近线方程即可得解.【详解】因为双曲线的离心率为2，所以，所以，所以该双曲线的渐近线方程为.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.14. 现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有_种.（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】根据题意，假设正五角星的区域依此为、，分析6个区域的涂色方案数，再根据分步计数原理计

15、算即可.【详解】根据题意，假设正五角星的区域依此为、，如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对区域涂色有3种方法，、这5个区域都与相邻，每个区域都有2种涂色方法，所以共有种涂色方案.故答案为：【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法：(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.15. 设，则_.（用数字作答）

16、【答案】【解析】【分析】令可求的值.【详解】的展开式的通项公式为，故，而，所以.在展开式中令，则，故答案为：.【点睛】方法点睛：对于二项展开式中求系数和的问题，可结合系数和的特征选择合理的赋值方法，必要时可变形后再赋值（如利用导数变形）.16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线与双曲线（，）的渐近线分别交于P，Q两点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】先求出的面积，再利用等积法可求的关系，从而可求离心率.【详解】不妨设在轴的上方，在轴的下方.抛物线的准线方程为：，双曲线的渐近线方程为：.故，故.而，故，所以，故.故答案为：.【点睛】关键点点睛：圆锥曲线的离心率

17、的计算，关键是利用已知条件构建关键的等量关系式，遇到三角形的内切圆半径的计算问题时，一般利用等积法来沟通半径与三角形的边的关系.三、解答题（本题共6个小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）17. 已知命题，不等式恒成立，命题方程表示焦点在轴上的椭圆.（1）若，为假命题，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】(1)根据已知条件，化简命题，可得的范围，再由为假命题，可知为真为假，列出不等式即可求出的取值范围；(2)由是的充分不必要条件，可知是的充分不必要条件，利用集合法即可求出实数的取值范围.【详解】(1)若为真命题，则

18、，解得或， 若真命题，则，当时，命题，因为为假命题，所以和均为假，即为真为假，所以，所以.故的取值范围为.(2)因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，所以是的真子集，所以，故实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2)要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象18. 2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了中

19、华人民共和国民法典，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法民法典与百姓生活密切相关，某高校为了解学生对民法典的认识程度，随机抽取40名学生进行测试，将其成绩分为六段，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中a的值及样本的中位数；如果抽查的测试平均分超过85分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试；（2）若从测试成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的测试成绩之差的绝对值不大于5分为事件M，求事件M发生的概率.【答案】（1），中位数为87.5，该校能通过测试，（2）【解析】【分析】（1）由频

20、率分布直方图列出方程，求出的值由此能求出抽查的测试的中位数和平均分，进而得到该校能通过测试（2）测试成绩在，中有2名学生，成绩在，中4名学生，则基本事件总数，事件包含的基本事件个数，由此能求出事件发生的概率【详解】（1）由频率分布直方图得：解得，的频率为：，的频率为：，中位数为抽查的测试平均分为：，该校能通过测试（2）从测试成绩在，与，两个分数段的学生中随机选取两名学生，成绩在，中有名学生，成绩在，中有名学生，则基本事件总数，设这两名学生的测试成绩之差的绝对值不大于5分为事件，则事件包含的基本事件个数，事件发生的概率19. 已知椭圆经过点，其左焦点的坐标为.过的直线交椭圆于A，B两点.（1）求

21、椭圆的方程；（2）当线段AB的中点的横坐标为时，求直线AB的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知可得的值，再把已知点代入椭圆方程即可求解；（2）先设出直线的方程，再与椭圆方程联立，求出，的横坐标的和，由此可得的中点的横坐标，再结合已知即可求解【详解】（1）由已知可得，所以把点代入椭圆方程可得：联立可得：，所以椭圆的标准方程为：；（2）由已知可得直线的斜率存在，则可设直线的方程为：，联立方程：，消去可得：，设，则由韦达定理可得：，又由已知可得：，解得，所以直线的方程为：，即20. 某工厂新研发了一种产品，该产品每件成本为5元，将该产品按事先拟定的价格进行销售，得到如下数据：单

22、价（元）88.28.48.68.89销量（件）90848807568（1）求销量（件）关于单价（元）的线性回归方程；（2）根据销量关于单价的线性回归方程，要使利润最大，应将价格定为多少？参考公式：，.参考数据：，.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）本题首先可根据题意求出、的值，然后根据、求出、的值，即可求出回归直线方程；（2）本题可根据题意得出，然后根据回归直线方程将其转化为，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得：，则，故所求回归直线方程为.（2）由题意可知：，故要使利润达到最大，应将价格定位元，最大值为.21. 已知直线与抛物线相切于点P.（1）求抛物线C的方程及点P的坐标；（

23、2）设直线过点，且与抛物线C交于（异于点P)两个不同的点A、B，直线PA，PB的斜率分别为、，那么是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】(1)将直线的方程与抛物线的方程联立消去，根据直线与抛物线相切，由即可求出及点P的坐标；(2)根据题意可设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立消去，由根与系数的关系求出和，求直线，的斜率，可求出斜率之和为定值，即存在实数使得斜率之和为定值.【详解】(1)由，得，因为直线与抛物线相切，所以，解得，故抛物线的方程为.将代入，得，解得，所以,所以P的坐标为.(2)由题意可设直线方程为，由，得，解得或，所

24、以，又，同理可得，所以=，故存在实数满足条件.【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组；(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系解决22. 已知椭圆的左、右焦点为、，A为椭圆C上的任一点，且面积的最大值的取值范围是.（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（2）当椭圆C经过点，离心率e取最小值时，经过右焦点的直线（不经过点P）与椭圆C交于两点M和N，线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q，当点Q的纵坐标的取值范围是，求线段MN长度的取值范围.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）利用椭圆中焦点三角形的性质可得当在轴上时面积最大

25、，由此可求出三角形的面积的表达式，进而可以求解；（2）由（1）的结论以及已知可求出椭圆的标准方程，然后设直线的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数的关系式，然后利用弦长公式求出的长度，再求出线段的垂直平分线方程，求出的纵坐标，根据已知求出直线的斜率的范围，进而可以求出的范围【详解】（1）由焦点三角形的性质可知当在轴上时，三角形的面积最大，则，所以，即，则，所以，即，故椭圆的离心率的取值范围为；（2）由（1）知，椭圆离心率的最小值为，所以，即，所以，则此时椭圆方程可化为，代入点可得：，解得，所以，所以椭圆标准方程为，由已知条件可得直线斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立方程组，消去整理可得：，设，所以，所以，所以的中点的坐标为，所以线段的垂直平分线的方程为，即，故点的坐标为，由点的纵坐标的取值范围为，可得，解得或，所以，因为或，所以或，由此可得【点睛】关键点睛：本题的解题方法比较常规，解题的关键是学生对基础知识的掌握情况和计算能力.