2022秋新教材高中数学 第五章 一元函数的导数及其应用 5.pptx

1、53.2 函数的极值与最大(小)值第一课时 函数的极值新课程标准1借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2能利用导数求某些函数的极大值、极小值3通过利用导数研究函数单调性、极值的关系，培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养(一)教材梳理填空1极小值、极大值的概念极小值极大值定义若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧，右侧.我们把a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧，右

2、侧.我们把b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值f(x)0f(x)0f(x)0；x(0,2)(4，)时，f(x)0，于是f(x)0，故函数f(x)在区间(1，)上是增函数，A正确；当x(1,0)时，xf(x)0，于是f(x)0，当x(0,1)时，xf(x)0，于是f(x)0，故函数f(x)在区间(1,1)上是减函数，B、C错误；由于f(x)在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，)上是增函数，所以函数f(x)在x1处取得极小值，故D正确答案：AD题型二 运用导数解决函数的极值问题学透用活典例2(1)已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处

3、取到极大值，则a的取值范围是()A(，1)B(0，)C(0,1)D(1,0)(2)求函数f(x)x2ex的极值解析(1)选Df(x)a(x1)(xa)，若a1则，f(x)在(，a)上单调递减，在(a，1)上单调递增，f(x)在xa处取得极小值，与题意矛盾；若1a0，则f(x)在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，与题意矛盾，故选D.(2)函数的定义域为R，f(x)2xexx2ex(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x(2x)ex0，解得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：1求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方

4、程f(x)0得方程的根；(4)利用方程f(x)0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；(5)确定函数的极值，如果f(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值2已知函数极值求参数时的注意点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性对点练清1已知极值求参数范围若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_解析：由题意，f(x)3x22xa，则f(1)f(1)0，即(1a)(5a)0

5、，解得1a5.另外，当a1时，函数f(x)x3x2x4在区间(1，1)上恰有一个极值点；当a5时，函数f(x)x3x25x4在区间(1,1)没有极值点故实数a的取值范围为1,5)答案：1,5)2已知极值求参数已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)为增函数f(x)在x1时取得极小值，a2，b9.3求极值求函数f(x)3x33x1的极值题型三 函数极值的应用学透用活典例3 已知f(x)

6、2ln(xa)x2x在x0处取得极值(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程f(x)b0的区间1,1上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便 对点练清已知函数f(x)x33ax1(a0)若函数f(x)在x1处取得

7、极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解：因为f(x)在x1处取得极值且f(x)3x23a，所以f(1)3(1)23a0，所以a1.所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x1或x1.当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.作出f(x)的大致图象及直线ym如图所示：因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知，m的取值范围是(3,1)三、创新性强调创新意识和创新思维如何用二阶导数判断极值？能不能用一个简单的条件来判断导函数的图象

8、是穿过x轴，还是碰一下就回头？如果碰一下就回头，那触碰点就成了导函数的极值点了，导函数的导函数在这一点就应当为0.反过来，如果导函数的导函数在此点处非零，此点就不是导函数的极值点，导函数的图象会在这里穿过x轴上面的讨论说明：函数f(x)在驻点c处的导数f(c)0而f(c)0，则xc是f(x)的极值点若f(c)0，则f(x)在xc附近递增到f(c)0再递增，由负变正，所以f(x)由递减变为递增，在xc处取得极小值若f(c)0，则f(x)在xc附近递减到f(c)0再递减，由正变负，所以f(x)由递增变为递减，在xc处取到极大值以函数f(x)ex1x为例由f(x)ex10得f(x)的唯一驻点x0.f(x)ex0，说明导函数f(x)在x0附近递增(穿x轴而过)，即f(x)在x0附近由负变正，因此x0是f(x)的极值点，且f(0)0为极小值进一步，我们还可以得出f(x)ex1xf(0)0恒成立，当且仅当x0时等号成立因此，ex1x对所有x0均成立