5.5数学归纳法同步习题2020-2021学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第三册.doc

1、数学归纳法一、选择题1用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中，第二步nk时等式成立，则当nk1时应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k112记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)()A. BC2 D.3用数学归纳法证明：123(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式为()A1 B13C123 D12344一个与自然数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk时命题成立推得nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题

2、对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取什么值无关D以上答案都不对二、填空题5用数学归纳法证明：设f(n)1，则nf(1)f(2)f(n1)nf(n)(nN，且n2)第一步要证明的式子是_6用数学归纳法证明“nN，n(n1)(2n1)能被6整除”时，某同学证法如下：(1)n1时1236能被6整除，n1时命题成立(2)假设nk时成立，即k(k1)(2k1)能被6整除，那么nk1时，(k1)(k2)(2k3)(k1)(k2)k(k3)k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3)k，k1，k2和k1，k2，k3分别是三个连续自然数其积能被6整除故nk1时命题成立综合(1)(2)，对一切nN，n(n

3、1)(2n1)能被6整除这种证明不是数学归纳法，主要原因是_7设f(n)1(nN)，则f(n1)f(n)等于_三、解答题8证明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)9设x1，且x0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明(1x)n1nx.10设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出严格证明1解析：由条件知，左边是从20,21一直到2n1都是连续的，因此当nk1时，左边应为12222k12k，从右边应为2k11.答案：D2解析：nk到nk1时，内角和增加.答案：B3解析：当n1时左边所得

4、的代数式为123.答案：C4解析：由题意n2时成立可推得n4,6,8，都成立，因此所有正偶数都成立，故选B.答案：B5解析：n2时，等式左边2f(1)，右边2f(2)第一步要证明的式子是2f(1)2f(2)答案：2f(1)2f(2)6答案：没用上归纳假设7解析：因为f(n)1，所以f(n1)1，所以f(n1)f(n).答案：8证明：(1)当n1时，左边12223，右边1(211)3，等式成立(2)假设nk(k1，kN)时，等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2

5、k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时等式也成立综合(1)(2)可知，等式对任何nN都成立9证明：(1)当n2时，由x0，知(1x)212xx212x，因此n2时命题成立(2)假设nk(k2为正整数)时命题成立，即(1x)k1kx，则当nk1时，(1x)k1(1x)k(1x)(1kx)(1x)1xkxkx21(k1)x.即nk1时，命题也成立由(1)(2)知原命题成立10解析：(1)Sn1是方程x2anxan0的一个根，(Sn1)2an(Sn1)an0，(Sn1)2anSn0，当n1时，a1，当n2时，a2.(2)由(1)知S1a1，n2时，(Sn1)2(SnSn1)Sn0，Sn.此时当n2时，S2；当n3时，S3.由猜想可得，Sn，n1,2,3，.下面用数学归纳法证明这个结论当n1时，a1S1，显然成立假设当nk(kN，且k1)时结论成立，即Sk.当nk1时，由知Sk1，Sk1.当nk1时式子也成立综上，Sn，n1,2,3，对所有正整数n都成立