湖北省武汉市江岸区2020届高三数学上学期元月调研试题 理（含解析）.doc

1、湖北省武汉市江岸区2020届高三数学上学期元月调研试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出集合M、N，再按并集的定义计算即可.【详解】由已知，所以.故选：A【点睛】本题主要考查集合的并集运算，涉及到解对数不等式，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.2.若复数，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由复数的乘法和除法运算法则，计算复数，再由虚部的定义即可得到【详解】复数，则的虚部为故选：A【点睛】本题考查复数的乘除

2、运算，以及复数的虚部的定义，考查运算能力，属于基础题3.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，又函数单调递减即可得解【详解】，函数为增函数，又，排除A，函数为减函数，又，排除B取，得，排除C，函数为减函数，又，故选：D【点睛】本题考查实数的大小比较，考查对数函数的图象及性质，属于基础题4.已知圆心为，半径为的圆经过椭圆的三个顶点，则的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得圆的标准方程，分别令，求出点的坐标，再由椭圆的焦点在轴上，和椭圆的对称性可得，的值，进而求出椭圆的标准方程【详解】由题意可得圆的方程为：，令，可得，令，可

3、得或3，由椭圆的焦点在轴上，及椭圆的对称性可得，所以椭圆的标准方程：，故选：B【点睛】本题主要考查求圆的方程及椭圆的标准方程，和椭圆的对称性，属于中档题5.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，求出函数的定义域，分析可得为偶函数，进而分析可得当时，当时，当时，分析选项，从而选出正确的结果.【详解】根据题意，函数的定义域，因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，排除B项，当时，当时，排除选项，当时，所以D项是正确的，故选D.【点睛】该题考查的是有关函数图象的选择问题，在选择的过程中，注意从函数的定义域，图象的对称性，函数值的符号，函数图象的变化趋势，属于简

4、单题目.6.已知函数是定义在上的偶函数，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数在对称轴处取得最值及偶函数关于轴对称可求，代入后即可求解【详解】解：是定义在上的偶函数，故函数的图象关于轴对称，即，则故选：A【点睛】本题主要考查了辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数对称性的应用，属于基础7.已知是等差数列，若，成等比数列，且公比为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设是公差为的等差数列，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简可得，再由等比数列的定义，计算可得所求值【详解】解：设是公差为的

5、等差数列，若，成等比数列，可得，即，化为，解得，则，则公比为，故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质和定义，考查方程思想和化简运算求解能力，属于基础题8.甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为若前两局中乙队以领先，则下列说法中错误的是（ ）A. 甲队获胜的概率为B. 乙队以获胜的概率为C. 乙队以三比一获胜的概率为D. 乙队以获胜的概率为【答案】D【解析】【分析】，在乙队以领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜；，乙队以获胜，即第4局乙获胜；，

6、乙队以三比一获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜；，若乙队以获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输【详解】解：对于，在乙队以领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，所以甲队获胜的概率为，故正确；对于，乙队以获胜，即第4局乙获胜，概率为，故正确；对于，乙队以三比一获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故正确；对于，若乙队以获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输，所以乙队以获胜的概率为，故错故选：【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题9.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学

7、家杨辉所著的评解九章算法（年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：，记作数列，若数列的前项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由归纳推理及等比数列前项和可得：即在第11组中且为第11组中的第2个数，则，得解【详解】解：将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，分组为（1），2，3，3，4，6，4，则第组个数且第组个数之和为，设在第组中，则，解得：，即在第11组中且为第11组中的第2个数，即为，则，故选：C【点睛】本题考查了归纳推理及等比数列前项和，属于中档题10.学生到工厂

8、劳动实践，利用打印技术制作模型如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（ ）g（取，精确到）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设正方体的棱长为，由题意得，解得，求出该模型的体积为由此能求出制作该模型所需原料的质量【详解】解：如图，是几何体的轴截面，设正方体的棱长为，则，解得，该模型的体积为：制作该模型所需原料的质量为故选：C【点睛】本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能

9、力，属于中档题11.关于函数，有下面四个结论：是奇函数在上单调递减在上有两个零点的最大值为其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数，利用奇函数的定义即可判断出是否是奇函数；令，解得：范围，即可判断出在，上的单调性由，由，在，上有3个零点，即可判断出结论令，可得，解得范围即可判断出结论【详解】解：函数，是奇函数，正确；令，解得：，在，上不单调递减，因此不正确由，在，上有3个零点，分别为，0，因此不正确令，可得，解得，因此的最大值为，正确其中所有正确结论的编号是故选：B【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法、简易逻

10、辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.设函数，为的导函数若和的零点均在集合中，则（ ）A. 在上单调递增B. 在上单调递增C. 极小值为D. 最大值为【答案】B【解析】【分析】依题意，可求得和的零点构成的集合为，0，分6类讨论，可确定、的值，继而利用导数确定函数的极值及单调区间，从而判断四个选项，可得答案【详解】，令得：或；令得：，或；由知，和的零点构成的集合为，又和的零点均在集合，0，中，若，则，不符合题意，舍去；若，则，不符合题意，舍去；若，则，不符合题意，舍去；若，则，不符合题意，舍去；若，则，不符合题意，舍去；若，则，符合题意；故，令，得：或；，得：；为极小值点，排除

11、C；为极大值点，当时，排除D；在区间上单调递减，排除A；在，单调递增，故B在上单调递增，B正确；故选：B点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，通过分类讨论思想的运用，确定、的值是解决问题的关键，考查运算能力，属于难题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.如图，一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字到连续两次抛掷这个正八面体，记下它与地面接触的面上的数字分别为，则事件“”的概率为_【答案】【解析】【分析】由题意可得：基本事件的总数为事件“”包括基本事件为：，即可得出事件“”的概率【详解】解：由题意可得：基本事件的总数为则事件“”包括基本事件为：，事件“”的概率故答案为

12、：【点睛】本题考查了古典概率的概率计算公式、列举法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14.曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜式写出切线方程即可.【详解】因为，所以在点（1,0）处切线的斜率，所以切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查学生数学运算能力，是一道容易题.15.双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交曲线右支于、两点，且，若，则的离心率等于_【答案】【解析】【分析】设，则，再利用双曲线的定义可得，分别在，中利用勾股定理即可获解.【详解】如图，设，由可得，由双曲线定义，有，所以，又，所以，因为，所以，即

13、，由解得，代入，得，即，所以.故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题关键是建立关于的方程，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.16.设函数，记在区间上的最大值为，则当_时，的最小值为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】令，利用导数可得的值域为，对a分和两种情况讨论，即可得到答案.【详解】令，则，当时，当时，当时，取得极大值，也是最大值，即，当时，当时，所以，所以.故答案为：；【点睛】本题考查利用导数研究绝对值函数的最值问题，考查学生逻辑推理能力，数学运算能力，是一道较难题.三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每

14、个试题考生都必须作答；第223题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.在中，角的对边分别为，若（）求证：AB；（）求边长c的值；（）若求ABC的面积【答案】（）证明见解析；（）； （）【解析】【分析】（）根据数量积的定义，结合正弦定理即可证出；（）利用第一问结论，以及结合余弦定理，即可求出；（）根据向量的模的计算公式，找到各边之间的关系，进而得知三角形形状，求出面积【详解】（）,，即，由正弦定理得 , ，.（），由余弦定理得，即由（）得，（），即， ，即. ABC为正三角形.18.如图，在四棱锥中，平面平面，点为上一点且 （1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成的角的正

15、弦值为，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面平面可得平面，从而可得，分别以、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，计算可得，从而可证平面，即得所要证明的面面垂直.（2）设，可由直线与平面所成的角的正弦值为得到，再求出平面的一个法向量后利用数量积可求法向量的夹角的余弦值，从而得到二面角的余弦值.【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，平面，平面，因为平面，故.又分别以、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，不妨设，可得，设，由，且，、是平面内的相交直线，平面平面，平面平面.（2）由（1）得平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，则，解得，可得的坐标为设平面的一

16、个法向量为，由，令，得由图形可得二面角的平面角是锐角， 二面角的平面角的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的向量证明以及线面角、二面角的计算，后者常通过空间向量（直线的方向向量和平面的法向量）的夹角来计算，属于中档题.19.已知抛物线焦点坐标为 （1）求抛物线的方程；（2）已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，若轴是的角平分线，求证：直线过定点【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求出的值，即可得到抛物线的方程：（2）由轴是的角平分线，得，即，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式，化简可得，所以直线的方程为：，过定点【详解】（1）焦点坐

17、标为，抛物线的方程为：；（2）设直线的方程为：，代入 得：，设，轴是的角平分线，整理得：，直线的方程为：，过定点【点睛】本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题20.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度（单位：分贝）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量（=1，2，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值.45.70.515.1表中，（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据表中数据，求声音强度关于声音能量的回归方程；（3）当声音

18、强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.己知点的声音能量等于声音能量与之和请根据（1）中的回归方程，判断点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由附：对于一组数据.其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.【答案】（1）更适合；（2）；（3）点会受到干扰【解析】【分析】（1）根据散点图中点的分布成非线性形状，判断两变量适合的模型；（2）令，建立关于的线性回归方程，再写出关于的回归方程；（3）根据点的声音能量，根据（1）中的回归方程计算点P的声音强度的预报值，比较即可得出结论.【详解】（1）更适合.（2）令，先建立关于的线性回归

19、方程.由于，关于的线性回归方程是，即关于的回归方程是.（3）点的声音能量,，,根据（1）中的回归方程，点的声音强度的预报值，点会受到巢声污染的干扰.【点睛】本题主要考查了回归方程的求法与应用问题，其中解答中认真审题，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21.已知函数，为的导函数（1）证明：当时，；（2）若函数在内零点，求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先写出的解析式，得到在，上，单调递增对求导，得，得到在，上，单调递减，令，求导，分析单调性，可得，进而证明（2）由题可知在，有根，令，则，可得，因为，由（1）得单调

20、性，所以，又因为（1）可知上，单调递减，可得又因为，化简即可得证【详解】（1）证明：，当时，所以在上，单调递增，在上，单调递减，令，当时，单调递减，所以，所以（2）证明：若是函数在内零点，则在有根，所以在有根，即在有根，令，则，又因为式成立，所以，因为，由（1）可知在上，单调递增，所以，由（1）可知上，单调递减，所以由（1）可知；所以又因为式成立，得，所以【点睛】本题以三角函数为背景，考查导数的运算，函数的单调性等基础知识，考查函数思想，转化思想，抽象概括能力，运算能力，属于难题(二)选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参

21、数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求【答案】（1），；（2）或【解析】试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数试题解析：（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.点睛:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得

22、交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值选修4-5：不等式选讲23.已知函数（1）当时，解不等式；（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论可得不等式的解集.（2）就、分类讨论可求出的最小值，从而可得的取值范围.【详解】（1）当时，不等式即为，当时，可得，解得，则；当时，可得，解得，则；当时，可得，解得，则综上可得，原不等式解集为.（2）若不等式对一切恒成立，即为，又，当时，；当时，；当时，故，则，即的取值范围是【点睛】本题考查绝对值不等式解以及绝对值不等式的恒成立问题，前者一般利用零点分段讨论法求解，后者一般转化为函数的最值来讨论.