江苏省淮安市淮阴中学、泰州市姜堰中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）.doc

1、江苏省淮安市淮阴中学、泰州市姜堰中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟 本卷满分：150分）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上2作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数，则复数的模为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】C

2、【解析】【分析】直接求复数的模.【详解】.故选：C【点睛】本题考查复数的模，属于基础题.2.一物体做直线运动，其位移 (单位: )与时间 (单位: )的关系是，则该物体在时的瞬时速度是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度【详解】对求导，得，因此，该物体在时的瞬时速度为，故选A【点睛】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题3.的值为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用辅助角公式以及两角和与差的正弦公式进行化简，即可求得答案.详解】解：.故选：C.【点睛】本题

3、考查利用辅助角公式以及两角和与差的正弦公式进行化简求值，考查运算能力.4.双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】双曲线的渐近线方程为.【详解】双曲线的渐近线方程是.故选：D【点睛】本题考查双曲线的渐近线，属于基础题.5.若a,bR，则ab0是a2b2的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】根据不等式的性质，由ab0可推出a2b2；但，由a2b2无法推出ab0，如a=-2,b=1，即ab0是a2b2的充分不必要条件，故选A.6.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵

4、，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”即：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）A 148斤B. 152斤C. 176斤D. 184斤【答案】D【解析】【分析】设第一个孩子分配到斤棉，利用等差数列前项和公式得，从而得到，根据等数列的通项公式，即可求出第八个孩子分得斤数【详解】设第一个孩子分配到斤棉花， 则由题意得：， 解得， 所以第八个孩子分得斤数为 故选：D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式的应用，属于基础题7.已知椭圆的上顶点为，右顶点为，若过原点作的垂线交椭圆的右准线于点，点到

5、轴的距离为，则此椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由椭圆的方程和性质可得出，根据斜率的公式可求出，由椭圆的右准线得出点的坐标，进而得出，再根据两直线垂直的斜率关系，得出和的关系，再结合和离心率的公式，即可得出椭圆的离心率.【详解】解：由题可知，椭圆的焦点在轴上，则，所以，由于点在椭圆的右准线上，且到轴的距离为，则，所以，由题得，则，即，则有，即，而，所以，整理得：，则，即，解得：，即椭圆的离心率为.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的方程、准线和简单几何性质，以及直线的斜率和两直线垂直的斜率关系，考查运算能力.8.函数的大致图象

6、为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数排除C，取特殊值排除AD得到答案.【详解】当，函数为奇函数，排除C；，排除A；，故，排除D.故选：B.【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.9.边长为2的正方形沿对角线折叠使得垂直于底面，则点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取的中点，连接和，由等腰三角形的性质得出，可求出和的长，再由平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，进而得到，利用勾股定理即可求出，最后利用等体积法得出，进而求出点到平面的距离.【详解】解：取的中点，连接和，则

7、，由于四边形是边长为2的正方形，则，由题知，平面平面，且交线为，而平面，则平面，又平面，所以，在中，是等边三角形，则，则在中，设点到平面的距离为，则，即，即：，解得：，即点到平面的距离为.故选：A.【点睛】本题考查利用等体积法求点到面的距离，还涉及面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查推理证明和运算能力.10.已知，且，则的最大值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件可得，令，可得，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可.【详解】，配凑得：，两边同时除以4得：，即，令，则，所以（当且仅当即时，等号成立）.故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻

8、辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于难题.二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分11.下列命题正确的是（ ）A. 已知直线平面，直线，则直线；B. 已知直线a垂直于平面内的任意一条直线，则直线a垂直于平面；C. 平行于同一直线的两条直线平行；D. 已知a为直线，为平面，若且，则【答案】BCD【解析】【分析】根据直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐项判断.【详解】A选项，若直线平面，直线，则直线a与直线b平行或异面；B选项，由直线与平面垂直的概念可知B正确；C选项，平行于同一

9、直线的两条直线平行，C正确；D选项，若，则在平面内必存在一条直线b使得，因为，所以，又因为平面，所以，D正确.故选：BCD【点睛】本题考查直线与平面之间的位置关系、线面平行的性质、面面垂直的判定，属于基础题.12.中，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ）A. 为定值B. C. D. 的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】A利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C利用余弦定理及基本不等式求出范围即可，D根据余弦定理及基本不等式求出的最小值即可.【详解】对于A，为定值，A正确；对于B，故B正确；对于C，由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立

10、）,由A选项知，解得，故C错误；对于D，（当且仅当时，等号成立），因为，所以，又，所以的最大值，D选项正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.计算：_【答案】【解析】【分析】根据对数和指数幂的运算法则，直接求解即可【详解】解：.故答案为：.【点睛】本题考查指数式和对数式化简求值，涉及指数幂和对数的运算，考查运算求解能力，是基础题.14.为了进一步做好社区抗疫服务工作，从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长，则有_种不同选法（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】根据

11、分步计数原理进行计算.【详解】首先从6人中选1人担任组长，共有6种选法；然后从剩余5人中选1人担任副组长，共有5种选法.所以从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长共有种选法.故答案为：30【点睛】本题考查分步计数原理，属于基础题.15.已知圆，直线（1）当时，直线被圆截得的弦长为_；（2）若在圆上存在一点，在直线上存在一点，使得的中点恰为坐标原点，则实数的取值范围是_【答案】 (1). ； (2). .【解析】【分析】（1）由题可知，写出圆的圆心和半径以及时的直线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式，求出直线被圆截得的弦长；（2）设直线关于原点对称的直

12、线为，根据对称的性质求出直线的方程，由直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离小于等于，进而可得出实数的取值范围.【详解】解：（1）圆，可知圆心为，半径为，当时，直线，则圆心到直线的距离为：，所以直线被圆截得的弦长为：；（2）设直线关于原点对称的直线为，设直线上任意一点，则在直线上，即，即直线的方程为：，依题意，直线与圆有交点，则，解得：或，所以实数的取值范围是：.故答案为：；.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式和圆的弦长公式，以及直线关于点对称问题，考查转化思想和运算能力.16.中，E为AB中点，点D在边BC上，且，CE与AD交于点O设，则_【答

13、案】【解析】【分析】过作于点，通过比例关系可得，结合平面向量的线性运算可得，进而可求出的值，即可求出的值.【详解】解：因为，所以，过作于点，则，设，则，所以，所以，则，所以，则.故答案为:.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算.本题的关键是用表示出.四、解答题：本大题共6小题请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知，若（1）求实数m的值；（2）求值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令代入求值即可；（2）根据乘法分配律，结合二项式的通项公式进行求解即可.【详解】解：（1）令得到，所以，（2）因为,二项式的通项公式为：，所以中含的项为中含的项为所以

14、.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了代入法的应用，考查了数学运算能力.18.已知等比数列的各项均为正数，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设数列的公比为q，再利用等比数列的通项公式求解基本量即可.（2）由（1）可得，代入再根据等差数列求和公式求解可得，再裂项求和求解的前n项和即可.【详解】解：（1）设数列的公比为q由得，所以由条件可知，故由得，所以故数列的通项公式为（2）故，所以所以数列的前n项和为【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解、等差数列求和、裂项相消求和等，属于中档题.19.在斜三棱柱中，是边长为2的正三角

15、形，侧面为菱形，且，点O为AC中点（1）求证：平面ABC；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接BO，由于侧面为菱形，得，由勾股定理得，再由线面垂直的判定定理可得证；（2）分别以为x轴，y轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由线面角的向量求解方法可求得直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）连接BO，因为侧面为菱形，所以，因为点O为AC中点，所以，又因为，所以，因为，所以，又因为，是正三角形，所以，且因为，所以，又因为，平面ABC，平面ABC所以平面ABC，（2）分别以为x轴，y轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系则，则，设

16、为平面的一个法向量，则，即，令，则，设直线与平面所成角为，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查空间里的线面垂直关系的证明，线面角的向量求解方法，属于中档题.20.随着我国综合国力的不断增强，不少综合性娱乐场所都引进了“摩天轮”这一娱乐设施（如图1）有一半径为40m的摩天轮，轴心距地面50m，摩天轮按逆时针方向做匀速旋转，转一周需要3min点与点都在摩天轮上，且点相对于点落后1min，当点在摩天轮的最低点处时开始计时，以轴心为坐标原点，平行于地面且在摩天轮所在平面内的直线为轴，建立图2所示的平面直角坐标系（1）若，求点的纵坐标关于时间的函数关系式；（2）若，求点距离地面的高度关于时间

17、的函数关系式，并求时，点离地面的高度（结果精确到0.1，计算所用数据：）（3）若，当，两点距离地面的高度差不超过时，求时间的取值范围【答案】（1）；（2）；40.2m；（3）.【解析】【分析】（1）由题可知，当时，以为终边的角与的角终边重合，且转动的角速度为，即可得出时终边所在的角度为，从而得出的关系式；（2）由于轴心距地面50m，得出，即可得出点距离地面的高度关于时间的函数关系式，从而可求出，即得出点离地面的高度；（3）设Q点离地面的高度与时间的函数关系式为，则，进而得出，两点距离地面的高度差不超过的不等式，即，解不等式从而求出的取值范围【详解】解：（1）当时，以为终边的角与的角终边重合，且

18、转动的角速度为，所以时，终边所在角度为，所以.（2）由题知，点距离地面的高度关于时间的函数关系式，则，当时，则（3）设Q点离地面的高度与时间的函数关系式为，则，所以，即，因为，所以，因为在上递减，在递增，又因为，所以，即，或，即，所以时P，Q两点的高度差不超过.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，涉及正弦函数的图象和性质，考查分析解题能力和函数与方程的思想.21.已知函数（1）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数在区间上有两个极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数的导函数的图象与函数图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1

19、）在区间上恒成立等价于当时，恒成立，利用导数判断函数在上的单调性求出最大值即可得解；（2）求出导数，则在区间上有两个不同零点，根据二次函数的图象与性质列出不等式组求a的取值范围，取，判断函数单调性验证，分别为极大值与极小值即可；（3）题意等价于函数有两个零点，分析函数单调性知，再根据为函数的极值点即可代入不等式求出的范围从而求出a的范围，再验证函数的两个零点.【详解】（1）即当时，恒成立，设，因为，所以，在上单调递增，所以，所以，（2）因为，所以在区间上有两个极值点的必要条件为在区间上有两个不同零点，则，当时，在上递减，在上递增，所以存在唯一的，使得，因为在区间大于零，在区间小于零，在区间上大

20、于零，所以在区间上递增，在区间上递减，在上递增，所以，分别为极大值与极小值，所以当时函数在区间上有两个极值点；（3）因为所以，令，令，解得（舍去），.0极小值因为有两个零点，所以，又因为，所以代入得到，令，所以在上递减，因为，所以，因为在区间上递增，所以i）因为，所以，令，所以所以在上递增，所以所以在区间上存在唯一一个零点）又因为，且，所以在区间上存在唯一一个零点，综上时，的图像与图像有两个不同的交点解法二：由得令，令，所以当时，当时，即当时，当时，所以在区间上递减，在区间上递增，所以即，i）当时，因为所以取，则所以在区间上存在唯一一个零点，ii）当时，令，因为，所以，所以在上递增，所以，即所

21、以在区间上存在唯一一个零点，综上时，的图像与图像有两个不同的交点.【点睛】本题考查导数在研究函数的性质中的综合应用，利用导数证明不等式恒成立、已知函数的极值点求参数的取值范围、利用导数研究函数的零点，属于难题.22.已知抛物线的焦点坐标为（1）求抛物线方程；（2）过直线上一点作抛物线的切线切点为A，B设直线PA、AB、PB的斜率分别为，求证：成等差数列；若以切点B为圆心r为半径的圆与抛物线C交于D，E两点且D，E关于直线AB对称，求点P横坐标的取值范围【答案】（1）；（2）证明见解析；.【解析】【分析】（1）根据焦点求出p即可写出抛物线方程；（2）设，利用导数的几何意义用、表示出、，再用、表示

22、出，由即可证明；求出直线AP、直线BP的方程，联立求出两直线的交点坐标P，由点P在直线上进一步化简直线AP的方程，联立抛物线方程与直线DE的方程得到关于x的一元二次方程，根据题意，再由点H在直线AB上将不等式转化为关于t的不等式求解即可.【详解】（1）由题意知，抛物线方程为；（2）设，因为，所以，所以，则，所以，即成等差数列直线AP的方程为，同理直线BP的方程为，则两直线的交点坐标，代入直线，得，直线AB的方程为，式代入上式可得，因为，所以直线AB的方程为，1）若则抛物线上不存在两点关于直线AB对称，2）若，设为抛物线上关于直线AB对称的两点，此时设DE方程为，DE与直线AB交于点，所以，因为H点在直线AB上，所以代入式得，解得【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，涉及抛物线的标准方程、直线的斜率与方程、韦达定理求参数、圆的性质，属于较难题.