2020-2021学年七年级数学上册 难点突破16 角的基础概念试题（含解析）（新版）北师大版.docx

1、专题16 角的基础概念【专题说明】1掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；6了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题【知识点总结】一、角的概念1 角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB图2图1（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，

2、射线旋转时经过的平面部分是角的内部如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角2.角的表示法：角的几何符号用 “”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母3.角的画法（1）用三角板可

3、以画出30、45、60、90等特殊角（2）用量角器可以画出任意给定度数的角（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角二、角的比较与运算1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1的角，1的为1分，记作“1”，1的为1秒，记作“1”这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制 1周角360，1平角180，160，160要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类

4、似，方法有两种方法1：度量比较法先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小方法2：叠合比较法把其中的一个角移到另一个角上作比较如比较AOB和AOB的大小： 如下图，由图（1）可得AOBAOB；由图(2)可得AOBAOB；由图(3)可得AOBAOB3.角的和、差关系如图所示，AOB是1与2的和，记作：AOB1+2；1是AOB与2的差，记作：1AOB2要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；读数(读出另一边所在线的度数) (2) 利用三角板除了可以做出30、45、60、90外，根据角的和、差关系，还可以画出15，75，1

5、05，120，135，150，165的角4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线如图所示，OC是AOB的角平分线，AOB2AOC2BOC，AOCBOC =AOB要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样三、余角和补角1.定义：一般地，如果两个角的和等于90(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角 类似地，如果两个角的和等于180(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角2性质：（1）等角的余角相等（2）等角的补角相等要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只

6、与它们的和有关，而与它们的位置无关 (2)一般地，锐角的余角可以表示为(90)，一个角的补角可以表示为(180) 显然一个锐角的补角比它的余角大90。点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角例如，图中射线OA的方向是北偏东60；射线OB的方向是南偏西30这里的“北偏东60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方位角要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60”一般不说成“东偏北30”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正

7、北的方向；（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30的角，分针1分钟转6，时针每小时转30，时针1分钟转0.5，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题【精典例题】一、角的概念及表示1、下列语句正确的是 ( ) A两条直线相交，组成的图形叫做角 B两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角 C两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角 D过同一点的两条射线组成的图形叫做角【答案】C【解析】根据角的定义判断【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两

8、条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区2、写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于180). 【答案与解析】 解：(1)能用一个字母表示的角A、C (2)以B为顶点的角ABE、ABC、CBE (3)图中共有7个角【总结升华】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示； (2)一般数角时不包括平角和大于平角的角二、角的比较与运算1、利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180的角，试一一画出来【思路点拨】首先发现一副三角板上有30，45，60，90这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180的所有角【答案与

9、解析】解：除了可以画30，45，60，90外，还可画15，75，105，120，135，150，165的七个度数的角，画法如图所示【点评】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30，45，60，90，15，75，105，120，135，150，1652、计算下列各题： (1)1524912+20.18； (2)82364215； (3)3536479； (4)41373 【答案与解析】 解：(1)解法一： 20.18201048 即：1524912+20.18173 解法二： 1524912152.82， 152.82+20.18173 即：1524912+20.18173 (2)将

10、82化为815960，则 82364215451745 42373， 324+7531， 3536479320313 41373=135220【点评】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60进1，满60进1；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入三、角度制的换算1、 (1)把25.72分别用度、分、秒表示 (2)把451230化成度【思路点拨】第(1)题中25.72中含有两部分25和0.72，只要把0.72化成分、秒即可第(

11、2)题中，451230含有三部分45，12和30，其中45已经是度，只要把12和30化成度即可【答案与解析】解：(1)0.720.726043.2，0.20.26012，所以25.72254312 (2)， 所以45123045.21【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错四、余角与补角1、已知角a的余角比角a的补角的 还少20，求角a的余角。【答案与解析】解:由题意可得：角a的余角为(90a),补角为(180a)，于是得：90a=（180a）20，解得：a=7590a=9075=15答：角a的余角为 15 .【总结升华】此题的关键是掌握

12、互为余角、补角的定义，然后根据题中的关键语句列出方程或代数式，求出相应角的度数.2、A看B的方向是北偏东30，那么B看A的方向是( ) A南偏东60 B南偏西60 C南偏东30 D南偏西30【答案】D【解析】依题意画出示意图由图可知，图中1即表示从A看B的北偏东30，2是从B看A的方位角由此可确定从B看A是南偏西30【总结升华】从本例的分析与结果来看，从A看B与从B看A正好是一对对立的观察过程，其方向是一种“相反”的对应关系方位角的确定首先以什么点为基点（即人站在此处观察）要弄清楚，再由正南或正北到视线夹角测量出来3、已知点O是直线AB上的一点，COE90，OF是AOE的平分线 (1)当点C、

13、E、F在直线AB的同侧(如图所示)时试说明BOE2COF； (2)当点C与点E、F在直线AB的两旁(如图所示)时(1)中的结论是否仍然成立?请给出你的结论并说明理由； (3)将如图中的射线OF绕点O顺时针旋转m(0m180)，得到射线OD，设AOCn，若BOD，则DOE的度数是多少?(用含n的式子表示)【思路点拨】由于本题中涉及角的数量关系，故可以选择代数的方法来说明理由【答案与解析】 解：(1)如图，设COF， 则EOF90 因为OF是AOE的平分线 所以AOF90 所以AOC(90)902 BOE180COEAOC 18090(902)2 即BOE2COF (2)成立如图2 设AOC，则 所以 BOE180AOE180(90)90+ 所以BOE2COF (3)因为DOE180AOEBOD 故的度数是【点评】根据角平分线，互余及互补的定义，进行有关角的计算有一定的综合性和代表性，主要培养分析问题和解决问题的能力