2020-2021学年山东省某校高二（上）期中数学试卷 (1).docx

1、2020-2021学年山东省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）)1. 直线l1:ax+2y+a=0与直线l2:2x+ay-a=0互相平行，则实数a=( )A.-4B.4C.-2D.22. 如图，已知三棱锥O-ABC，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN上一点，且MG=2GN，若记OAa，OBb，OCc，则OG=( )A.13a+13b+13cB.13a+13b+16cC.16a+13b+13cD.16a+16b+13c3. 若圆C1:x2+y21与圆C2:x2+y2-6x-8y+m0外切，则m（ ）A.21B.19C.9D.-114. 已知a=(2,-1,2)，b=(-

2、1,3,-3)，c=(13,6,)，若向量a，b，c共面，则=( )A.2B.3C.4D.65. 对抛物线y4x2，下列描述正确的是（ ）A.开口向上，焦点为(0,1)B.开口向上，焦点为(0,116)C.开口向右，焦点为(1,0)D.开口向右，焦点为(0,116)6. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y22，若将军从点A(3,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y4，并假定将军只要

3、到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A.25B.17-2C.17D.3-27. 已知F1，F2分别为双曲线C:x2a2-y2b21(a0,b0)的左、右焦点，点A在双曲线上，且F1AF2=60，若F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ）A.7B.72C.14D.1428. 椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AFBF，设ABF，且12,4，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A.22,1B.22,63C.63,1)D.22,32二、多选题（共4小题）)9. 正方体ABCD-A1B1C1

4、D1中，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是（ ）A.B1GBCB.平面AEF平面AA1D1D=AD1C.A1H/面AEFD.二面角E-AF-C的大小为410. 已知直线xsin+ycos+1=0(R)，给出下列命题正确的是（ ）A.直线的倾斜角是-B.无论如何变化，直线不过原点C.无论如何变化，直线总和一个定圆相切D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于111. 已知曲线C的方程为x2k-2+y26-k1(kR)，则下列结论正确的是（ ）A.当k=4时，曲线C为圆B.当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y3xC.“k4”是“曲

5、线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件D.存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为212. 已知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b21(ab0)的左、右焦点，M、N是左、右顶点，e为椭圆C的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，已知AF1BF1=0，3AF22F2B，|AF1|=2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和之间BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是（ ）A.e=55B.k=12C.k1k2=-45D.k3k4=45三、填空题（共4小题）)13. 已知点P(2,-3)，Q(3,2)，直线ax+y+2=0与

6、线段PQ相交，则实数a的取值范围是_14. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，则异面直线BD1与AM所成角的余弦值为_15. 若ABC的两个顶点坐标A(-4,0)、B(4,0)，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为_16. 设F1，F2是双曲线x25-y24=1的两个焦点，P是该双曲线上一点，且|PF1|:|PF2|2:1，则PF1F2的面积等于_四、解答题（共6小题）)17. 已知P(3,2)，一直线l过点P. (1)若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；(2)若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点，当OAB面积为12时，求直线l的方程18

7、. 已知过点M(0,2)且斜率为k的直线l与圆C：(x-1)2+y2=1交于A，B两点 （1）求斜率k的取值范围；（2）以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，求r的取值范围；（3）O为坐标原点，求证：直线OA与OB斜率之和为定值19. 如图，四面体ABCD中，平面DAC底面ABC，ABBCAC4，ADCD=22，O是AC的中点，E是BD的中点 （1）证明：DO底面ABC；（2）求二面角D-AE-C的余弦值20. 已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=3x，且双曲线过点(2,3) （1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点F作倾斜角为4的直线交双曲线于A，B，求|AB|21. 已知在四

8、棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，CD平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点()求证：PO平面ABCD；()求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；()线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为6，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由22. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=32，且圆x2+y22过椭圆C的上，下顶点 （1）求椭圆C的方程（2）若直线l的斜率为12，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A(-2,1)是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定

9、值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由参考答案与试题解析2020-2021学年山东省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）1. D2. C3. C4. B5. B6. B7. B8. B二、多选题（共4小题）9. B,C10. B,C,D11. A,B12. A,C三、填空题（共4小题）13. -43，1214. 3915. x225+y29=1(y0)16. 12四、解答题（共6小题）17. 解：(1)显然直线l有斜率且不为0，设斜率为k，则直线l的方程为：y=k(x-3)+2，令x=0得y=-3k+2，令y=0得x=-2k+3 -3k+2+-2k+3=12，解得k=-13

10、或k=-2 直线l的方程为y=-13(x-3)+2或y=-2(x-3)+2(2) 直线l与x、y轴交于正半轴， -3k+20，-2k+30， 12(-3k+2)(-2k+3)=12，解得k=-23 直线l的方程为y=-23(x-3)+218. 根据题意可得，直线l的方程为：y-2=k(x-0)，即kx-y+2=0，圆C的方程为(x-1)2+y2=1，则其圆心C(1,0)，半径r=1，若直线与圆相交，必有dr，即|k+2|k2+11，解得k-34，所以斜率k的取值范围为k-34若以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，则|r-1|MC|r+1，即|r-1|(0-1)2+(2-0)2r+1，

11、所以5-1r5+1证明：联立直线与圆的方程：ykx+2(x-1)2+y21，消去y整理得(k2+1)x2+(4k-2)x+4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，根据韦达定理得x1+x2-4k+2k2+1x1x24k2+1，则kOA+kOB=y1x1+y2x2=kx1+2x1+kx2+2x2=2k+2x1+2x2=2k+2(x1+x2)x1x2=2k+-8k-4k2+14k2+1=2k-2k+1=1，故直线OA与直线OB的斜率之和为定值119. 证明： ADCD=22，O是AC的中点， DOAC 平面DAC底面ABC，平面DAC底面ABCAC， DO底面ABC由条件易知DOBO，BOAC

12、OAOCOD2，OB=23如图，以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴建立空间0-xyz直角坐标系则A(2,0,0)，B(0,23,0)，C(-2,0,0)，D(0,0,2)，E(0,3,1)，AE=(-2,3,1)，AD=(-2,0,2)，AC=(-4,0,0)设平面ADE的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，则nAD=0,nAE=0,即-2x1+2z1=0,-2x1+3y1+z1=0,令z11，则x1=1,y1=33，所以n=(1,33,1)同理可得平面AEC的一个法向量m=(0,-1,3)cos=mn|m|n|=10+33(-1)+131+13+10+1+3=77因为二面

13、角D-AE-C的平面角为锐角，所以二面角D-AE-C的余弦值为7720. 解：（1）设双曲线方程为：3x2-y2=，点(2，3)代入得：=3，所以所求双曲线方程为：x2-y23=1（2）直线AB的方程为：y=x-2，由y=x-23x2-y2=3得：2x2+4x-7=0， |AB|=1+k2|x1-x2|=2722=621. （1）证明：因为PAD是正三角形，O是AD的中点，所以POAD又因为CD平面PAD，PO平面PAD，所以POCD，ADCDD，AD，CD平面ABCD，所以PO面ABCD；（2）如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则O(0,0,

14、0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,23)，E(-1,2,3),F(-1,0,3)，EF=(0,-2,0),EG=(1,2,-3)，设平面EFG的法向量为m=(x,y,z)，由mEF=0mEG=0，得-2y=0,x+2y-3z=0,令z1，则m=(3,0,1)，又平面ABCD的法向量n=(0,0,1)，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为，所以cos=|mn|m|n|=12所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为3；()假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为6，设PM=PA,0,1，由GM=GP

15、+PM=GP+PA，所以GM=(2,-4,23(1-)所以sin6=|cos|=3242-6+7，整理得22-3+20，无解，所以，不存在这样的点M22. 椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=32，且圆x2+y22过椭圆C的上，下顶点，可得b=2，e=ca=32，c2a2-b2，解得a22，c=6，则椭圆的方程为x28+y22=1；若直线l的斜率为12，可设直线l的方程为y=12x+t，联立椭圆方程x2+4y2-80，可得x2+2tx+2t2-40，则4t2-4(2t2-4)0，解得-2t2，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，E(-x1,-y1)，可得x1+x2-2t，x1x22t2-4，则kAE+kAQ=1+y1-2+x1+1-y2-2-x2=1+12x1+t-2+x1+1-12x2-t-2-x2=1-12x2-2+x1+1+12x1-2-x2=124-x22+4-x12(2-x1)(2+x2)=128-(x1+x2)2+2x1x2(2-x1)(2+x2)=128-4t2+4t2-8(2-x1)(2+x2)=0则直线AE与AQ的斜率之和为定值0