2020-2021学年数学高中北师大版选修2-2课后习题：4-3 定积分的简单应用 WORD版含解析.docx

1、3定积分的简单应用课后训练案巩固提升A组1.设f(x)在区间a,b上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为()A.ab f(x)dxB.abf(x)dxC.ab |f(x)|dxD.以上都不对解析:当f(x)在区间a,b上满足f(x)0时,ab f(x)dx0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,ab f(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.答案:C2.曲线y=1-1681x2与x轴所围成的图形的面积是()A.4B.3C.2D.52解析:曲线与x轴的交点为-94,0,94,0.故所求面积S=-9494 1-1681x2dx=x-162

2、43x3|-9494=94-162439432=3.答案:B3.如图,由函数f(x)=ex-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于()A.e2-2e-1B.e2-2eC.e2-e2D.e2-2e+1解析:由已知得S=12 f(x)dx=12 (ex-e)dx=(ex-ex)|12=e2-2e.答案:B4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为()A.283B.32C.43D.3解析:所求圆台的体积V=12 (2x)2dx=12 4x2dx=413x3|12=43(8-1)=283.答案:A5.如图所示,在边长为1的正方形OABC

3、中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.14B.15C.16D.17解析:由y=x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=01 (x-x)dx=23x32-x22|01=23-12=16.故所求概率为S阴影S正方形=161=16.答案:C6.设函数f(x)=ax2+c(a0),若01 f(x)dx=f(x0),0x01,则x0的值为.解析:a3x3+cx=ax2+c,01 f(x)dx=01 (ax2+c)dx=a3x3+cx|01=a3+c=ax02+c,解得x0=33或x0=-33(舍).答案:337.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x以及直线y=3的图像

4、如图所示,则阴影部分的面积为.解析:S=131 3-1xdx+13 (3-x)dx=(3x-ln x)|131+3x-12x2|13=3-1-ln13+9-1232-3-12=4-ln 3.答案:4-ln 38.计算由y2=x,y=x2所围成图形的面积.解如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组y2=x,y=x2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=01 (x-x2)dx,又因为23x32-13x3=x12-x2,所以S=23x32-13x3|01=23-13=13.9.有一根弹簧,原长50 cm,每伸长1 cm需要5 N力,如果把它从60 cm

5、拉伸到80 cm长,那么拉力所做的功为多少?解设弹簧弹力系数为k,则F(x)=kx.由F(x)=5 N,x=1 cm知k=5.故F(x)=5x.弹簧由50 cm伸长到80 cm时,弹簧实际伸长了30 cm,此时拉力做的功为030 F(x)dx=030 5xdx=52x2|030=52900=2 250.弹簧由50 cm伸长到60 cm时,弹簧实际伸长了10 cm,此时拉力做功W=010 F(x)dx=010 5xdx=52100=250.所以将弹簧从60 cm拉伸到80 cm长时,F(x)所做的功为2 250-250=2 000(Ncm)=20(J).10.求抛物线y2=2x与直线y=4-x围

6、成的平面图形的面积.解由方程组y2=2x,y=4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x作为积分变量,由图可得S=SA1+SA2.在A1部分:由于抛物线的上部分方程为y=2x,下部分方程为y=-2x,所以SA1=02 2x-(-2x)dx=2202 x12dx=2223x32|02=163.SA2=28 4-x-(-2x)dx=4x-12x2+223x32|28=383.所以S=163+383=18.方法二:y2=2x,x=12y2.由y=4-x.得x=4-y,S=-42 4-y-12y2dy=4y-12y2-16y3|-42=18.B组1.如图,已知曲线y=f(x)与

7、直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S1=1,S2=3,S3=32,则-322 f(x)dx等于()A.112B.12C.-12D.72解析:-322 f(x)dx=-32-1 f(x)dx+-11 f(x)dx+12 f(x)dx=S1-S2+S3=1-3+32=-12.答案:C2.物体A以v=3t2+1(m/s)的速度在一直线上运动,物体B也在该直线上,且在物体A的正前方5 m处,同时以v=10t(m/s)的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A.3B.4C.5D.6解析:物体A在t s内行驶的路程为0t (3t2+1)dt,物体B在t s内行驶的路程

8、为0t 10tdt,0t (3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2)|0t=t3+t-5t2=5.(t-5)(t2+1)=0,解得t=5.答案:C3.导学号88184050如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,则k的值为.解析:抛物线y=x-x2与x轴两交点横坐标为0,1,抛物线与x轴所围成图形的面积为S=01 (x-x2)dx=x22-x33|01=16,抛物线y=x-x2与直线y=kx的两交点横坐标为0,1-k.S2=01-k (x-x2-kx)dx=1-k2x2-x33|01-k=16(1-k)3.又S=16,(1-k)3=12.k=1-31

9、2=1-342.答案:1-3424.由直线y=x和曲线y=x3(x0)所围成的平面图形,绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为.解析:由y=x,y=x3(x0),得x=0,y=0,或x=1,y=1.故所求体积V=01 x2dx-01 x6dx=01 x2dx-01 x6dx=13x3|01-17x7|01=13-17=421.答案:4215.导学号88184051已知函数f(x)=x3-x2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积.解(1,2)为曲线f(x)=x3-x2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f(1)=312-21+1=2,过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.y=2x与函数g(x)=x2围成的图形如图.由y=x2,y=2x可得交点A(2,4).又SAOB=1224=4,g(x)=x2与直线x=2,x轴围成的区域的面积S=02 x2dx=13x3|02=83,y=2x与函数g(x)=x2围成的图形的面积为S=SAOB-S=4-83=43.