2020-2021学年新教材数学人教B版必修第一册 3-1-1 函数及其表示方法 第1课时 学案 WORD版含答案.docx

1、3.1.1函数及其表示方法第1课时学习目标1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念;体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.提升数学抽象素养.2.了解构成函数的要素及同一个函数的概念,能求简单函数的定义域和值域.训练数学运算与逻辑推理素养.自主预习情境与问题情境一:国家统计局的课题组公布,如果将2005年中国创新指数记为100,近些年来中国创新指数的情况如下表所示.年度20082009201020112012201320142015中国创新指数116.5125.5131.8139.6148.2152.6158.2171.5以y表示年

2、度值,i表示中国创新指数的取值.问题一:年度值y确定后,中国创新指数i能确定吗?能同时确定两个或以上吗?问题二:中国创新指数i是年度值y的函数吗?情境二:利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值,据此可以描绘出心电图,如下图所示.医生在看心电图时,会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等).如果用t表示测量的时间,v表示测量的指标值,问题三:v是关于t的函数吗?如果是,自变量是什么?因变量是什么?问题四:上述两种情境中的函数能用数学符号表示出来吗?知识点函数的概念1.一般地,给定两个A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的,在集合B中都有的实数y与x对应,

3、则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),xA,其中x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的,所有函数值组成的集合yB|y=f(x),xA称为函数的.函数的这种定义强调的是“对应关系”,对应关系也可用其他小写英文字母如g,h等表示.2.函数的三要素:、.3.同一个函数:如果两个函数表达式表示的函数相同,也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的是同一个函数.4.函数定义域约定及求定义域的依据(1)在表示函数时,如果不会产生歧义,函数的定义域通常省略不写,此时就约定:函数的定义域就是使得这个函数的所有实数组

4、成的集合.(2)求函数定义域常用的依据:分式中分母不能为;二次根式中的被开方数要.课前自测判断.1.任何两个集合之间都可以建立函数关系.()2.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.()3.定义域中的每一个x可以对应着不同的y.()4.y=3x,xR与y=3t,tR是不同的函数.()课堂探究一、函数关系的判断例1下列对应关系式中是A到B的函数的是()A.AR,BR,x2+y2=1B.A=-1,0,1,B=1,2,y=|x|+1C.A=R,B=R,y=1x-2D.A=Z,B=Z,f:y=2x-1反思感悟:跟踪训练1下列图像中,可作为函数图像的是.(填序号)二、求函数的定义域、函数值命题角度1求

5、函数的定义域例2求下列函数的定义域:(1)f(x)=1x+1;(2)g(x)=1x+1x+2.反思感悟:跟踪训练2函数y=2x2-3x-2+14-x的定义域为.命题角度2求函数值例3已知f(x)=1x2+1.(1)求f(-1),f(0),f(2);(2)求函数f(x)的值域.反思感悟:跟踪训练3已知f(x)=-x2+1,则f(f(-1)=.三、同一个函数的判定例4下列选项中能表示同一个函数的是()A.y=x+1与y=x2-1x-1B.y=x2+1与s=t2+1C.y=2x与y=2x(x0)D.y=(x+1)2与y=x2反思感悟:跟踪训练4下列各组式子是否表示同一个函数?为什么?(1)f(x)=

6、|x|,(t)=t2;(2)y=1+x1-x,y=1-x2;(3)y=(3-x)2,y=x-3.评价反馈1.下列四种说法中,不正确的一个是()A.在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了D.若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素2.若f(x)=x+1,则f(3)等于()A.2B.4C.22D.103.函数f(x)=xx-1的定义域为()A.(1,+)B.0,+)C.(-,1)(1,+)D.0,1)(1,+)4.下列各组函数是同一个函数的是.(填序号)f(x)=-2x3与g(x)=

7、x-2x;f(x)=x0与g(x)=1x0;f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.核心素养专练A组:课本P93练习A第1,2,3,4,5题练习B第1,2,3,4,5,6题B组:1.若函数y=f(x)的定义域M=-2,2,值域为N=0,2,则函数y=f(x)的图像可能是()2.若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=f(2x)的定义域是()A.0,2B.0,1C.0,4D.(0,1)3.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则这些函数为“合一函数”,那么函数解析式y=2x2-1,值域为1,7的合一函数共有()A.10个B.9个C.8个D.4个4.若f(x)=

8、5xx2+1,且f(a)=2,则a=.5.函数y=6-x|x|-4的定义域用区间表示为.6.求函数y=-x2+4x+56-2x-1的定义域,并用区间表示.参考答案自主预习略课堂探究例1答案:B解析:对于A,x2+y2=1可化为y=1-x2,显然对任意xA(x=1除外),y值不唯一,故不符合函数的定义;对于B,符合函数的定义;对于C,2A,在此时对应关系无意义,故不符合函数的定义;对于D,-1A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合函数的定义.跟踪训练1答案:解析:对于中存在一个x的值,y有两个值与之对应,所以不是函数图像,符合函数定义.例2解:(1)因为函数有意义,所以x+10,x+10

9、,解得x-1,所以函数的定义域为(-1,+).(2)因为函数有意义,所以x0,x+20,解得x0,且x-2,因此函数的定义域为(-,-2)(-2,0)(0,+).反思感悟:略跟踪训练2答案:-,122,4)解析:由2x2-3x-20,4-x0,4-x0,得x-12或2x4,所以定义域为-,-122,4).例3解:(1)由已知可得f(-1)=12,f(0)=1,f(2)=15.(2)(方法一)因为x20,所以x2+11恒成立,所以1x2+11,又因为当x的绝对值逐渐变大时,函数值会逐渐接近于0,但不会等于0,因此所求函数的值域为(0,1.(方法二)假设t是所求值域中的元素,则关于x的方程1x2+

10、1=t应该有解,即x2=1t-1应该有解,从而1t-10即1-tt0解得0t1,因此所求值域为(0,1.反思感悟:略跟踪训练3答案:1例4答案:B解析:对于选项A,前者定义域为R,后者定义域为x|x1,不是同一个函数;对于选项B,虽然变量不同,但定义域和对应关系均相同,是同一个函数;对于选项C,虽然对应关系相同,但定义域不同,不是同一个函数;对于选项D,虽然定义域相同,但对应关系不同,不是同一个函数.反思感悟在两个函数中,只有当定义域、对应关系都相同时,两函数才是同一个函数.值域相等,只是前两个要素相等的必然结果.跟踪训练4解:(1)f(x)与(t)的定义域相同,又(t)=t2=|t|,即f(

11、x)与(t)的对应关系也相同,f(x)与(t)是同一个函数.(2)y=1+x1-x的定义域为x|-1x1,y=1-x2的定义域为x|-1x1,即两者定义域相同.又y=1+x1-x=1-x2,两函数的对应关系也相同.故y=1+x1-x与y=1-x2是同一个函数.(3)y=(3-x)2=|x-3|与y=x-3的定义域相同,但对应关系不同,y=(3-x)2与y=x-3不是同一个函数.评价反馈1.答案:B解析:由函数定义知A,C,D正确,B不正确.2.答案:A解析:f(3)=3+1=2.3.答案:D解析:由x0,x-10,得x0,x1,定义域为0,1)(1,+).4.答案:解析:f(x)=-x-2x,

12、g(x)=x-2x,对应关系不同,故f(x)与g(x)不是同一个函数;f(x)=x0=1(x0),g(x)=1x0=1(x0),对应关系与定义域均相同,故是同一个函数;f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1,对应关系和定义域均相同,故是同一个函数.核心素养专练A组略B组1.答案:B解析:A中定义域是-2,0,不是M=-2,2,C中图像不表示函数关系,D中值域不是0,2.2.答案:B解析:y=f(x)的定义域是0,2,要使g(x)=f(2x)有意义,需02x2,即0x1.3.答案:B解析:函数y=2x2-1,值域为1,7,它的定义域可以是1,2,1,-2,-1,-2,-1,2,-1,

13、1,2,-1,1,-2,-1,-2,2,1,-2,2,-1,1,-2,2,共有9种情况,故选B.4.答案:12或2解析:f(a)=5aa2+1=2,所以2a2-5a+2=0,解得a=12或a=2.5.答案:(-,-4)(-4,4)(4,6解析:要使函数有意义,需满足6-x0,|x|-40,即x6,x4,定义域为(-,-4)(-4,4)(4,6.6.解:要使函数有意义,需满足-x2+4x+50,6-2x0,6-2x-10,即-1x5,x3,x52.所以-1x3且x52,所以函数的定义域为x-1x3且x52,用区间表示为-1,5252,3.学习目标1.理解函数概念,会用集合语言来刻画函数.2.理解

14、定义域、值域、同一函数的概念.3.会求一些简单函数的定义域和值域.自主预习1.函数的定义:2.定义域:3.值域:4.同一函数:课堂探究问题探究阅读课本第85页到第87页例1上面的内容,回答下列问题.(1)回答“情境与问题”中的问题.(2)用自己的话说出函数的定义.(3)什么是函数的定义域?值域?同一函数?典型例题例1求下列函数的定义域:(1)f(x)=1x+1;(2)g(x)=1x+1x+2.例2已知f(x)=1x2+1:(1)求f(-1),f(0)和f(2);(2)求函数f(x)的值域.例3下列各组中的两个函数是否表示同一个函数?(1)f(x)=x2-9x-3,g(x)=x+3;(2)f(x

15、)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1;(3)f(x)=x+1x-1,g(x)=x2-1;(4)f(x)=x0,g(x)=1x0.评价反馈1.设函数g(x)=x+1的值域为S,分别判断-2和3是否是S中的元素.2.求下列函数的值域:(1)f(x)=8x2,1x2;(2)f(x)=-x,x0,+).3.判断下列各组函数是否为同一个函数:(1)f(x)=x2x,g(x)=x;(2)f(x)=x4-1x2+1,g(x)=x2-1;(3)f(x)=x2,g(x)=x.课堂小结通过本节课的学习,绘制一张思维导图.要求:你认为的重点、难点、需要注意的地方、规律方法都要画出来.课后作业作业1:课本第9

16、3页练习A第16题作业2:课本第93页练习B第1,2题核心素养专练若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如解析式为y=2x2+1,值域为9的“孪生函数”有三个:y=2x2+1,x-2y=2x2+1,x2y=2x2+1,x-2,2那么函数解析式为y=2x2+1,值域为1,5的“孪生函数”共有() A.5个B.4个C.3个D.2个参考答案自主预习略课堂探究问题探究略典型例题例1(1)(-1,+)(2)(-,-2)(-2,0)(0,+)例2(1)f(-1)=12,f(0)=1,f(2)=15(2)(0,1例3(1)定义域不同,所以不是同一个函数.(2)虽然自变量用不同的字母表示,但两函数的定义域和对应关系都相同,所以是同一个函数.(3)f(x)的定义域为x|x1,g(x)的定义域为x|x-1或x1,两个函数定义域不同,所以不是同一个函数.(4)定义域都是x|x0,所以是同一个函数.评价反馈1.-2S;3S2.(1)2,8(2)(-,03.(1)定义域不同,所以不是同一个函数.(2)定义域和对应关系都相同,所以是同一个函数.(3)对应关系不同,所以不是同一个函数.课堂小结略课后作业略核心素养专练C