2020-2021学年新教材高中数学 第十章 概率测评习题（含解析）新人教A版必修第二册.docx

1、第十章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“某点P到点A(-2,0)和点B(2,0)的距离之和为5”这一事件是()A.随机事件B.不可能事件C.必然事件D.以上都不对解析由于某点P到点A(-2,0)和点B(2,0)的距离之和大于等于4,故这一事件是随机事件.答案A2.在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站,假定这个停靠站在同一时刻只能停靠一辆汽车,有一位乘客需乘3路或6路车到厂里.已知3路车、6路车在5分钟内到此停靠站的概率分别为0.2和0.6,则此乘客在5分钟内能乘到所需车的概率为(

2、)A.0.2B.0.6C.0.8D.0.12解析由已知乘3路车、6路车彼此互斥,故乘客在5分钟内乘到车的概率为0.2+0.6=0.8.答案C3.(2020全国高一课时练习)在平面直角坐标系中,从下列5个点:A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)中任取3个,这三点能构成三角形的概率是()A.B.C.D.1解析从5个点中任取3个点,该试验的样本空间=(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E),共10个样本点,其中(A,C,E),(B,C,D)这两个样本点

3、中的三点不能构成三角形,故三点能构成三角形的概率P=.答案C4.甲、乙同时参加某次法语考试,甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为()A.0.42B.0.28C.0.18D.0.12解析甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,甲、乙两人都未达到优秀的概率为P=(1-0.6)(1-0.7)=0.12.故选D.答案D5.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高二期末)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,

4、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数,根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281 A.0.4B.0.45C.0.5D.0.55解析在20组数据中,至少击中3次的为7527,9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共8次,故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为=0.4.答案A6.某城市一年的空气质量状况如下表所示:污染指数T不大于30(30

5、,60(60,100(100,110(110,130(130,140概率P其中当污染指数T50时,空气质量为优;当50T100时,空气质量为良;当100a的概率是()A.B.C.D.解析该试验的样本空间=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共有15个样本点,ba包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,所以ba的概率是.答案D8.甲袋装有m个白球,n个黑球,乙袋装有n个白球,m个黑球(mn),现从两袋中各摸一个球,A=“两球同色”,B=

6、“两球异色”,则P(A)与P(B)的大小关系为()A.P(A)P(B)D.视m,n的大小而定解析设A1=“取出的都是白球”,A2=“取出的都是黑球”,则A1,A2互斥且A=A1A2,P(A)=P(A1)+P(A2)=.设B1=“甲袋取出白球乙袋取出黑球”,B2=“甲袋取出黑球乙袋取出白球”,则B1、B2互斥且B=B1B2,P(B)=P(B1)+P(B2)=.由于mn,故2mnm2+n2.故P(A)P(B).故选A.答案A二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.(2020全国高一课时练习

7、)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是()A.至少有1个红球与都是红球B.至少有1个红球与至少有1个白球C.恰有1个红球与恰有2个红球D.至多有1个红球与恰有2个红球解析根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;B中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”,故不是互斥事件;C中两事件是互斥而不对立事件;D中至多有1个红球,即有0个或1个红球,与恰有2个红球互斥,除此还有3个都是红球的情况,因此它们不对立.答案CD10.甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,则下列

8、说法错误的是()A.甲获胜的概率是B.甲不输的概率是C.乙输了的概率是D.乙不输的概率是解析甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,甲获胜的概率是1-,故A正确;甲不输的概率是1-,故B不正确;乙输了的概率是1-,故C不正确;乙不输的概率是.故D不正确.故选BCD.答案BCD11.(2019广东化州期末)若干个人站成一排,其中不是互斥事件的是()A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”解析对于A,“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生,是互斥事件;对于B,“甲站排头”时,乙可以“不站排尾”,两者可以同

9、时发生,不是互斥事件;对于C,“甲站排头”时,乙可以“站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件;对于D,“甲不站排头”时,乙可以“不站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件.答案BCD12.(2019全国高一课时练习)以下对各事件发生的概率判断正确的是()A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如8=3+5,在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是D.从三件正品、一件次品中随机取

10、出两件,则取出的产品全是正品的概率是解析对于A,画树形图如下:从树形图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=,P(乙获胜)=,故玩一局甲不输的概率是,故A错误;对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,设x1,x2分别为取得的2个素数,则(x1,x2)表示样本点,该试验的样本空间=(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,13),共15种结果,其中和等于14的只有(

11、3,11),所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为,故B正确;对于C,总共有66=36(种)情况,设A=“点数之和是6”,则A=(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种情况,则所求概率是,故C正确;对于D,记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,设x1,x2分别表示取出的两件产品,则(x1,x2)表示样本点.该试验的样本空间=(A1,A2),(A1,A3),(A1,B),(A2,A3),(A2,B),(A3,B),共6个样本点,设A=“两件都是正品”,则A=(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个样本点,则所求概率为P=,

12、故D正确.答案BCD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2020全国高一课时练习)下列试验是古典概型的为.从6名同学中选出4人参加竞赛,每人被选中的概率;同时掷两颗骰子,点数和为6的概率;近三天中有一天降雨的概率;10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.解析在中,从6名同学中选出4人参加竞赛,每人被选中的概率,这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故是古典概型;在中,同时掷两颗骰子,点数和为6的概率,这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故是古典概型;在中,近三天中有一天降雨的概率,没有等可能性,故不是古典概型;10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率,这

13、个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故是古典概型.答案14.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有条鱼.解析设池塘约有n条鱼,则含有标记的鱼的概率为,由题意得50=2,n=750.答案75015.甲、乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,二人射击情况互不影响,若甲乙各射击一次,则二人命中同色区域的概率为,二人命中不同色区域的概率为.解析设甲射中红、黄、蓝三色

14、的事件分别为A1,A2,A3,乙射中红、黄、蓝三色的事件分别为B1,B2,B3;P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=.二人射击情况互不影响相互独立,二人命中同色区域的概率P(A1B1A2B2A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=.二人命中不同色区域的概率P(A1B2A1B3A2B1A2B3A3B1A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B1)+P(A3)P(B2)=.答案16.(2020全国高三月考)为了践行习总书记提出的“绿水青山就是

15、金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念,我市在经济快速发展的同时,更注重城市环境卫生的治理,经过几年的治理,市容市貌焕然一新,为了调查市民对城区环境卫生的满意程度,研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查,并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图,其中a=2b.若按照分层随机抽样的方式从分数在50,60),60,70)内的市民中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,则至少有1人的分数在50,60)内的概率为.解析由频率分布直方图得,(0.01+a+b+0.035+0.01)10=1,a+b=0.045,又a=2b,解得a=0.030,b=0.015.50,60),60,70)两段频率比为

16、0.10.15=23,按照分层随机抽样的方式从分数在50,60)内的市民中抽取2人,记为a1,a2,从分数在60,70)内的市民中抽取3人,记为b1,b2,b3,设x1,x2分别表示从这5人中抽取的2人,则数组(x1,x2)表示该试验的样本点.该试验的样本空间=(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共10个样本点,其中,至少有1人的分数在50,60)内包含的样本点有7个,至少有1人的分数在50,60)内的概率P=.答案四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、

17、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020全国高三二模)新型冠状病毒肺炎爆发以来,相关疫苗企业发挥专业优势与技术优势争分夺秒开展疫苗研发.为测试疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%,则认为测试没有通过),选定2 000个样本分成三组,测试结果如下表:A组B组C组疫苗有效673xy疫苗无效7790z已知在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33.(1)求x,y+z的值;(2)现用分层随机抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,求C组应抽取多少个?(3)已知y465,z30,求疫苗能通过测试的概率.解(1)在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33.=0

18、.33,x=660,y+z=2 000-(673+77+660+90)=500.(2)应在C组抽取的个数为360=90.(3)由题意疫苗有效需满足77+90+z2 00010%,即z33,C组疫苗有效与无效的可能情况有6种,即样本空间=(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30),有效的可能情况有4种,即样本空间1=(467,33),(468,32),(469,31),(470,30),疫苗能通过测试的概率P=.18.(12分)将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次朝下面的数

19、字为x,第二次朝下面的数字为y.(1)求满足条件“为整数”的事件的概率;(2)求满足条件“x-y2”的事件的概率.解根据题意,可以用(x,y)来表示得到的点数情况,则试验的样本空间=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种情况.(1)记“为整数”为事件A,则A=(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4),共8种情况,则P(A)=.(2)记“x-y0,由前三年六月份各天的最高气温数据,得

20、当温度大于等于20 的天数为90-(2+16)=72,估计Y大于零的概率P=.20.(12分)随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过三小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.解(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元,都付2元的概率P

21、1=,都付4元的概率P2=,都付6元的概率P3=,所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=.(2)设两人费用之和为8,10,12的事件分别为A,B,C,P(A)=P(B)=,P(C)=,设两人费用之和大于或等于8的事件为W,则W=ABC,两人费用之和大于或等于8的概率P(W)=P(A)+P(B)+P(C)=.21.(12分)(2020全国高一课时练习)(1)掷两枚质地均匀的骰子,计算点数和为7的概率;(2)利用随机模拟的方法,试验120次,计算出现点数和为7的频率;(3)所得频率与概率相差大吗?为什么会有这种差异?解(1)设第一枚骰子向上的点数记为x1,第二枚骰子向上的点数记为x2,则可用数

22、组(x1,x2)表示样本点.该试验的样本空间=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6);(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6);(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种情况,其中点数和为7的有6种情况,概率P=.(2)试验120次后得到结果如下表格:6351356642546642

23、642246364226555351123224625232126361311222646412512352462532654131311543135242155226226165422514421125422662364162343131162464342245625416342264续表12235441545221453566136511144151543236445242155226226165422553521632246252321263规定每个表格中的第一个数字代表第一枚骰子出现的数字,第二个数字代表第二枚骰子出现的数字,从表格中可以查出点数和为7的有23个数据,点数和为7的频率为

24、0.19.(3)由(1)中点数和为7的概率为0.17,由(2)点数和为7的频率为0.19,一般来说频率与概率有一定的差距,因为模拟的次数不多,不一定能反映真实情况.22.(12分)某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)以及体重指标(单位:kg/m2)如下表所示:ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率.解(1)设x1,x

25、2分别表示从身高低于1.80的同学中任选的2人,则数组(x1,x2)表示样本点,该试验的样本空间=(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个样本点.由于每个人被选到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.设A=“选到的2人身高都在1.78以下”,则A=(A,B),(A,C),(B,C),共3个样本点.因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=.(2)从该小组同学中任选2人,则该试验的样本空间=(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个样本点.由于每个人被选到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.设B=“选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)内”,则B=(C,D),(C,E),(D,E),共3个样本点.因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率为P1=.