2020-2021学年新教材高考数学 第三章 圆锥曲线的方程 3.docx

1、抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程知识点一抛物线的定义1定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹2焦点：定点F.3准线：定直线l.思考抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?答案若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线知识点二抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y思考抛物线方程中p(p0)的几何意义是什么？答案p的几何意义是焦点到准线的距离1到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线()2抛物线的方

2、程都是二次函数()3抛物线y22px(p0)中p是焦点到准线的距离()4方程x22ay(a0)表示开口向上的抛物线( )一、求抛物线的标准方程例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程(1)经过点(3，1)；(2)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点解(1)因为点(3，1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由(1)22p(3)，解得p；若抛物线的标准方程为x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p.故所求抛物线的标准方程为y2x或x29y.(2)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x

3、4，所以抛物线的焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，3，所以p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，4，所以p8，此时抛物线的标准方程为y216x.故所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.反思感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2mx(m0)或x2ny(n0)，这样可以减少讨论情况的个数跟踪训练1(1)若抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_答案2x1解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以1，p2，准线方程为x1.(2)求焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方

4、程为_答案x210y和x210y解析设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y.二、抛物线定义的应用例2(1)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0等于()A1 B2 C4 D8答案A解析x0x0，x01.(2)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离由图可知，点P，点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d

5、.延伸探究1若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值解将x3代入y22x，得y.所以点A在抛物线内部设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x的距离为d，则|PA|PF|PA|d.由图可知，当PAl时，|PA|d最小，最小值是.即|PA|PF|的最小值是.2.若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x4y0，求点P到直线3x4y0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值解如图，作PQ垂直于准线l于点Q，|PA1|PQ|PA1|PF|A1F|min.|A1F|的最小值为点F到直线3x4y0的距离d1.即所求最小值为1.反思感悟 抛物线定义的应用实现距离转

6、化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题跟踪训练2(1)已知抛物线y22px(p0)的焦点F1，若点A(2，4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为_答案4解析把点(2，4)代入抛物线y22px，得164p，即p4，从而抛物线的焦点为(2,0)故点A到焦点的距离为4.(2)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y28x上移动，P到直线x1的距离为d，则d|PA|的最小值为()A1 B2 C3 D4答案C解析由题意知抛物线y28x的焦点为F(2,0)，点P到准线x2的距离为d1，于是|PF|d1，所以d|P

7、A|PF|1|PA|的最小值为|AF|1413.抛物线的实际应用问题典例河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h|yA|0.752(

8、m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航素养提升首先确定与实际问题相匹配的数学模型此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为(1)建系：建立适当的坐标系(2)假设：设出合适的抛物线标准方程(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程(4)求解：求出需要求出的量(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28xBy28xCy24xDy24x答案B2已知抛物线y2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为()A(1,0) B. C. D(0,1)答案C解析由抛物线y2px2过点(1,4

9、)，可得p2，抛物线的标准方程为x2y，则焦点坐标为，故选C.3准线为y的抛物线的标准方程是()Ax23yByx2Cx3y2Dxy2答案A解析准线为y的抛物线的标准方程是x23y，故选A.4一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x24y上，则l的方程为()Ax1 BxCy1 Dy答案C解析因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x24y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y1.5若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为_答案(9,

10、6)或(9，6)解析由抛物线方程y22px(p0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x.设点M到准线的距离为d，则d|MF|10，即(9)10，得p2，故抛物线方程为y24x.由点M(9，y)在抛物线上，得y6，故点M的坐标为(9,6)或(9，6)1知识清单：(1)抛物线的定义(2)抛物线的标准方程的四种形式(3)抛物线定义的应用2方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归3常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式1抛物线yx2的准线方程为()AxBx1Cy1 Dy2答案C解析抛物线的标准方程为x24y，则准线方程为y1.2已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A

11、(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1)答案B解析抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题设知1，即p2，故焦点坐标为.故选B.3(多选)经过点P(4，2)的抛物线的标准方程为()Ay2xB. y28xCy28xDx28y答案AD解析当开口向右时，设抛物线方程为y22p1x(p10)，则(2)28p1，所以p1，所以抛物线方程为y2x.当开口向下时，设抛物线方程为x22p2y(p20)，则424p2，p24，所以抛物线方程为x28y.4若抛物线yax2的焦点与椭圆y21的上顶点重合，则a等于()A. B. C2 D4答案B解析椭圆y21的上顶点是 抛物线yax2的焦点坐标为，因

12、为两点重合，所以1，所以a.5若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p等于()A2 B3 C4 D8答案D解析因为抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，所以3pp2，解得p8.6已知双曲线y21的右焦点恰好是抛物线y28x的焦点，则m_.答案3解析由题意得m122，解得m3.7在抛物线y212x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是_答案(6,6)或(6，6)解析由方程y212x，知焦点F(3,0)，准线l：x3.设所求点为P(x，y)，则由定义知|PF|3x.又|PF|9，所以3x9，x6，代入y212x，得y6.所以所求点的坐标为(6,6)或(6，6)8已知抛物线C

13、：4xay20恰好经过圆M：(x1)2(y2)21的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_，准线方程为_答案(1,0)x1解析圆M的圆心为(1,2)，代入4xay20得a1，将抛物线C的方程化为标准方程得y24x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1.9已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程解方法一如图所示，设抛物线的方程为x22py(p0)，则焦点F，准线l：y，作MNl，垂足为N，则|MN|MF|5，而|MN|35，即p4.所以抛物线方程为x28y，准线方程为y2.由m28(3)24，得m2.方法二设所求抛物线方程为x22p

14、y(p0)，则焦点为F.M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，故解得抛物线方程为x28y，m2，准线方程为y2.10花坛水池中央有一喷泉，水管OP1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，点P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)解如图所示，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)依题意有P(1，1)在抛物线上，代入得p.故得抛物线方程为x2y.又点B在抛物线上，将B(x，2)代入抛物线方程得x，即|AB| m，则|OB|OA|AB|(1) m，因此所求水池的直径为2(1) m，约为5 m，即水池的直径至少应设计为

15、5 m.11已知抛物线y24x上一点P到焦点F的距离为5，则PFO的面积为()A1 B2 C3 D4答案B解析由题意，知抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x1.因为抛物线y24x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线的定义可知，点P到准线x1的距离是5，则点P到y轴的距离是4，所以P(4，4)，所以PFO的面积为142.12设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|_.答案6解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)由0知(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，|x1x2x3p6.13已知抛物线y22px(p0)上一点M

16、(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_.答案解析根据抛物线的定义得15，p8，则m4，不妨取M(1,4)，又A(1,0)，则直线AM的斜率为2，由已知得21，故a.14已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_答案2解析如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F(1,0)到直线l1的距离d2.15对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线

17、作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为y210x的是_(要求填写适合条件的序号)答案解析抛物线y210x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210x上一点，则|MF|116，所以不满足；由于抛物线y210x的焦点为，过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k2，此时存在，所以满足16设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点(1)若点P到直线x1的距离为d，A(1,1)，求|PA|d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值解(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线的定义，知|PF|d，于是问题转化为求|PA|PF|的最小值如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为.(2)把点B的横坐标代入y24x中，得y，因为2，所以点B在抛物线内部自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)由抛物线的定义，知|P1Q|P1F|，则|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314.即|PB|PF|的最小值为4.