2020-2021学年高中数学 第五章 数列 5.3.2 等比数列的前n项和课后习题（含解析）新人教B版选择性必修第三册.docx

1、第五章数列5.3等比数列5.3.2等比数列的前n项和课后篇巩固提升基础达标练1.已知等比数列an各项为正,a3,a5,-a4成等差数列,Sn为an的前n项和,则S6S3=()A.2B.78C.98D.54解析设等比数列an的公比为q,则有q0,又a3,a5,-a4成等差数列,a3-a4=2a5,a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q=12,q=12,S6S3=a1(1-q6)1-qa1(1-q3)1-q=1-q61-q3=1+q3=1+123=98.答案C2.设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=3,则S9S6等于()A.2B.73C.83D.3解析设

2、其公比为q,由已知可得S6S3=1-q61-q3=1+q3=3,q3=2,S9S6=1-q91-q6=1-231-22=73.答案B3.在各项均为正数的等比数列an中,若am+1am-1=2am(m2),数列an的前n项积为Tn,若T2m-1=512,则m的值为()A.4B.5C.6D.7解析因为an是正项等比数列,所以am+1am-1=2am=am2,则am=2,又T2m-1=a1a2a2m-1=am2m-1,所以22m-1=512=29,m=5.故选B.答案B4.(2020武威第六中学高三二模)已知等比数列an,a1=1,a4=18,且a1a2+a2a3+anan+1k,则k的取值范围是(

3、)A.12,23B.12,+C.12,23D.23,+解析设等比数列an的公比为q,则q3=a4a1=18,解得q=12,an=12n-1.anan+1=12n-112n=122n-1.数列anan+1是首项为12,公比为14的等比数列.a1a2+a2a3+anan+1=12(1-14n)1-14=231-14n23,k23.故k的取值范围是23,+.答案D5.(多选)(2020山东济南高二期末)若Sn为数列an的前n项和,且Sn=2an+1(nN+),则下列说法正确的是()A.a5=-16B.S5=-63C.数列an是等比数列D.数列Sn+1是等比数列解析因为Sn为数列an的前n项和,且Sn

4、=2an+1(nN+),所以S1=2a1+1,因此a1=-1.当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,所以数列an是以-1为首项,以2为公比的等比数列,故C正确;因此,a5=-124=-16,故A正确;又Sn=2an+1=-2n+1,所以S5=-25+1=-31,故B错误;因为S1+1=0,所以数列Sn+1不是等比数列,故D错误.故选AC.答案AC6.(2020山东潍坊高二月考)等比数列an共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=.解析设an的公比为q,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,S2n=a1(1-q2n)1-q,S奇=a

5、11-(q2)n1-q2.由题意,得a1(1-q2n)1-q=3a1(1-q2n)1-q2.1+q=3,q=2.答案27.等比数列an中,若前n项和Sn=2n-1,则a12+a22+an2=.解析当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,当n=1时,a1=S1=21-1=1适合上式,an的通项公式为an=2n-1.an2=4n-1,即数列an2构成以1为首项,4为公比的等比数列.前n项和Tn=a12+a22+an2=1(4n-1)4-1=13(4n-1).答案13(4n-1)8.已知数列an的前n项和为Sn,且对任意nN+,有2Sn=3an-2,则a1=;Sn=.解

6、析令n=1,则2S1=3a1-2,得a1=2;由2Sn=3an-2,得当n2时,2Sn-1=3an-1-2,-得2an=3an-3an-1,即当n2时,an=3an-1,又a1=2,故数列an是以2为首项,3为公比的等比数列,an=23n-1,Sn=2(1-3n)1-3=3n-1.答案23n-19.(2020湖南长郡中学高三三模)若数列an的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,(Sn+1)(Sn+2+1)=(Sn+1+1)2.(1)求Sn;(2)记数列1an的前n项和为Tn,证明:1Tn1,且Tn=1+12+122+12n-1=1-12n1-12=2-12n-12.所以1Tn0,a1=1,且

7、3an+12+2an+1an-an2=0,则a1+a3+a5+a2n-1的值为()A.981-132n-1B.981-13nC.981-192n-1D.981-19n解析由3an+12+2an+1an-an2=0,得3an+1an2+2an+1an-1=0,解得an+1an=13或an+1an=-1.因为an0,所以an+1an=q=13.数列an为等比数列,且首项为1,公比为13,故a1+a3+a5+a2n-1是其中的奇数项前n项之和,a1+a3+a5+a2n-1=1-19n1-19=981-19n.答案D3.等比数列an共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=-126,末项

8、是192,则首项a1=()A.1B.2C.3D.4解析设等比数列an共有2k+1(kN+)项,则a2k+1=192,则S奇=a1+a3+a2k-1+a2k+1=1q(a2+a4+a2k)+a2k+1=1qS偶+a2k+1=-126q+192=255,解得q=-2,而S奇=a1-a2k+1q21-q2=a1-192(-2)21-(-2)2=255,解得a1=3,故选C.答案C4.(2020湖南长郡中学高三三模)公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1 0

9、00米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米,所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若乌龟恰好领先阿基里斯10-2米时,乌龟爬行的总距离为()A.104-190米B.104-1900米C.105-190米D.105-1900米解析由题意,乌龟每次爬行的距离组成等比数列an,且a1=100,q=110,an=10-2,Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q=100-10-31-110=105-1900(米).故选D.答案D5.已知数列an满足:a1=1,an+1=anan+2(nN+).若

10、bn+1=(n-2)1an+1(nN+),b1=-,且bn是单调递增数列,则实数的取值范围是.解析由an+1=anan+2,得1an+1=2an+1,则1an+1+1=21an+1,所以数列1an+1是等比数列,首项为2,公比为2,于是有1an+1=2n,所以bn=(n-1-2)2n-1(n2).由b2b1得2(1-2)-,解得bn得(n-2)2n(n-1-2)2n-1,解得n+12.综上,23.答案236.(2020天津高三模拟)已知数列an是以1为首项,2为公差的等差数列,bn是以1为首项,2为公比的等比数列,设cn=abn,Tn=c1+c2+cn(nN+),则当Tn2 020时,n的最大

11、值为.解析an是以1为首项,2为公差的等差数列,an=2n-1.bn是以1为首项,2为公比的等比数列,bn=2n-1.Tn=c1+c2+cn=ab1+ab2+abn=a1+a2+a4+a2n-1=(21-1)+(22-1)+(24-1)+(22n-1-1)=2(1+2+4+2n-1)-n=21-2n1-2-n=2n+1-n-2.Tn2020,2n+1-n-22020,解得n9.故当Tn1时,记cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意,有10a1+45d=100,a1d=2,即2a1+9d=20,a1d=2,解得a1=1,d=2,或a1=9,d=29.故an=2n-1,bn=2n

12、-1或an=19(2n+79),bn=9(29)n-1.(2)由d1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=2n-12n-1,于是Tn=1+32+522+723+924+2n-12n-1,12Tn=12+322+523+724+2n-32n-1+2n-12n.-可得12Tn=2+12+122+12n-2-2n-12n=3-2n+32n,故Tn=6-2n+32n-1.素养培优练(2020大连高二月考)若数列an的前n项和Sn满足Sn=2an+n,bn=log2(1-an).(1)求证:数列an-1是等比数列;(2)求数列1bnbn+1的前n项和Tn;(3)设cn=anbn,求数列cn的前n项

13、和Wn.解(1)当n=1时,a1=S1=2a1+1,可得a1=-1;当n2时,根据题意,得Sn-1=2an-1+(n-1),所以Sn-Sn-1=(2an+n)-2an-1+(n-1)=2an-2an-1+1,即an=2an-1-1.an-1=2(an-1-1),即an-1an-1-1=2(n2).数列an-1是首项为-2,公比为2的等比数列.(2)由(1)知,an-1=(-2)2n-1=-2n,an=1-2n.bn=log2(1-an)=log22n=n,1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1,则Tn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.(3)cn=n(1-2n)=n-n2n,令dn=n2n,En=d1+d2+d3+dn-1+dn,则En=121+222+323+(n-1)2n-1+n2n,等式两边同时乘以2可得2En=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1,两式相减可得-En=21+22+23+24+2n-n2n+1.化简可得En=(n-1)2n+1+2.令Fn=1+2+3+n=n(n+1)2,则Wn=Fn-En=n(n+1)2-(n-1)2n+1-2.