2020-2021学年高中数学 第五章 数列 习题课—等差数列习题课课后习题（含解析）新人教B版选择性必修第三册.docx

1、第五章数列习题课等差数列习题课课后篇巩固提升基础达标练1.在等差数列an中,已知a1=13,a1+a6=4,an=37,则n等于()A.50B.49C.56D.51解析设公差为d,因为a1+a6=2a1+5d=4,a1=13,所以d=23,所以an=13+(n-1)23=37,所以n=56.答案C2.在数列xn中,x1=8,x4=2,且满足xn+2+xn=2xn+1,nN+.则x10=()A.-10B.10C.-20D.20解析由xn+2+xn=2xn+1,nN+,可知数列xn是等差数列.又x1=8,x4=2,公差d=x4-x14-1=2-83=-2.x10=x1+9d=8+9(-2)=-10

2、.答案A3.已知数列an满足a1=33,an+1-ann=2,则ann的最小值为()A.10B.10.5C.9D.8答案B4.在等差数列an中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列an前9项的和为()A.297B.144C.99D.66解析a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,即a4=13,a6=9.d=-2,a1=19.S9=199+982(-2)=99.答案C5.(2020黑龙江铁人中学高三)九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上两人所得与下三人等.问各得几何?”其意

3、思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中,戊所得为()A.34钱B.23钱C.12钱D.43钱解析依题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,即a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,得a=-6d.又五人分五钱,则a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,a=1,则a+2d=a+2-a6=2a3=23.故选B.答案B6.已知f(n+1)=f(n)-14(

4、nN+),且f(2)=2,则f(101)=.解析令an=f(n),则an+1-an=-14,an为等差数列,且a2=2.an=a2-14(n-2)=10-n4.f(101)=a101=-914.答案-9147.在等差数列an中,若a10,Sn为其前n项之和,且S7=S17,则当Sn为最小时,n的值为.解析由S7=S17,知a8+a9+a17=0,根据等差数列的性质,a8+a17=a9+a16=a12+a13,因此a12+a13=0,从而a120,故n为12.答案128.(2020江苏淮阴中学高一期中)等差数列an的前n项和为Sn,公差为d(d0),首项为a1,若Sn也是等差数列,则a1d=.解

5、析依题意,知Sn=na1+n(n-1)2d,由于Sn是等差数列,所以S1+S3=2S2,即a1+3a1+3d=22a1+d,d0,两边平方并化简,得23a12+3a1d=4a1+d,两边平方并化简,得4a12-4a1d+d2=0,即(2a1-d)2=0,2a1-d=0,a1d=12.答案129.已知在等差数列an中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n项和为Sn,(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;(2)求Tn=|a1|+|a2|+|an|.解(1)a16+a17+a18=a9=-18,a17=-6.又a9=-18,d=a17-a917-9=32.首项a1=a9-8d=-

6、30.an=32n-632.设前n项和为Sk最小,则ak0,ak+10,即3k2-6320,32(k+1)-6320,k=20或21.故当n=20或21时,Sn取最小值.最小值为S20=S21=-315.(2)由an=32n-6320,得n21.当n21时,Tn=-Sn=34(41n-n2).当n21时,Tn=-a1-a2-a21+a22+an=Sn-2S21=34(n2-41n)+630.10.已知各项都不相等的等差数列an的前6项和为60,且满足a62=a1a21.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn+1-bn=an(nN+),且b1=3,求数列1bn的前n项和Tn.解(1

7、)设等差数列an的公差为d(d0),则6a1+15d=60,a1(a1+20d)=(a1+5d)2,解得d=2,a1=5.则an=2n+3.(2)由bn+1-bn=an,得bn-bn-1=an-1(n2,nN+),bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+a1+b1=(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2),bn=n(n+2),nN+.1bn=1n(n+2)=121n-1n+2.Tn=121-13+12-14+1n-1n+2=1232-1n+1-1n+2=3n2+5n4(n+1)(n+2).能力提升练1.(多选)(2019山东莱州一中高三月考

8、)已知数列an是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有()A.a10=0B.S7=S12C.S10最小D.S20=0解析因为an是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确;又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确;当d0时,则S9或S10最小,当d0),则有17(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=100,故a=20,d=556,则最小的一份为a-2d=20-553=53.答案A3.“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每

9、一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列an是等和数列,且a1=2,公和为5,则a18的值为.解析由题意可得an+an+1=5,an+1+an+2=5.an+2-an=0.a1=2,a2=5-a1=3.当n为偶数时,an=3;当n为奇数时,an=2.a18=3.答案34.在等差数列an中,a1=2,S10=15,记Bn=a2+a4+a8+a2n,则当n=时,Bn取得最大值.解析S10=10a1+1092d=15,a1=2,d=-1919时,an0;当n0.在a2,a4,a8,a2n中,当n4时,a2n0,当n5时,a2n0,故Bn取最大

10、值时,n=4.答案45.(2020江苏泰州中学高三)等差数列an的公差为2,Sn是数列an的前n项的和,若S20=40,则a1+a3+a5+a7+a19=.解析等差数列an的公差为2,S20=40,则S20=a1+a2+a3+a19+a20=a1+a3+a5+a17+a19+a2+a4+a18+a20=a1+a3+a5+a17+a19+a1+d+a3+d+a17+d+a19+d=2(a1+a3+a5+a17+a19)+10d=40,解得a1+a3+a5+a7+a19=10.答案106.设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=Snn+2(n-1),nN+.(1)求数列an的通项公式an.(2

11、)是否存在正整数n,使得S11+S22+Snn-(n-1)2=2 021?若存在,求出n值;若不存在,请说明理由.解(1)由an=Snn+2(n-1),得Sn=nan-2(n-1)n.当n2时,an=Sn-Sn-1=nan-2(n-1)n-(n-1)an-1+2(n-2)(n-1),整理,得an-an-1=4,则an为a1=1,d=4的等差数列,所以an=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得Sn=n4n-3-2(n-1)=(2n-1)n,得Snn=2n-1,得S11+S22+Snn=n2.令n2-(n-1)2=2021,解得n=1011.因此存在n=1011满足题意.7.一支车队有1

12、5辆车,某天依次出发执行任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,依此类推.假设所有的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息.(1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间?(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h,这支车队当天总共行驶了多少路程?解由题意,知第1辆车在休息之前行驶了240min,各辆车行驶的时间构成一个等差数列an,其中a1=240,公差d=-10,则an=240-10(n-1)=-10n+250.(1)a15=-1015+250=100,到下午6时,最后一辆车行驶了100min.(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为240+1

13、00215=2550(min)=852(h),这支车队当天总共行驶的路程为85260=2550(km).素养培优练(2020山东实验中学高三一模)已知an是各项都为正数的数列,其前n项和为Sn,且Sn为an与1an的等差中项.(1)求证:数列Sn2为等差数列;(2)设bn=(-1)nan,求bn的前100项和T100.解(1)由题意,知2Sn=an+1an,即2Snan-an2=1,当n=1时,由式可得S1=1;又n2时,有an=Sn-Sn-1,代入式得2Sn(Sn-Sn-1)-(Sn-Sn-1)2=1,整理得Sn2-Sn-12=1(n2),Sn2是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)可得Sn2=1+n-1=n.an各项都为正数,Sn=n.an=Sn-Sn-1=n-n-1(n2),又a1=S1=1,an=n-n-1,则bn=(-1)nan=(-1)nn-n-1=(-1)n(n+n-1),T100=-1+(2+1)-(3+2)+-(100-1+100-2)+(100+100-1)=100=10,即T100=10.bn的前100项和T100=10.