2020-2021学年高中数学 第六章 导数及其应用 6.1.3 基本初等函数的导数 6.1.4 求导法则及其应用课后习题（含解析）新人教B版选择性必修第三册.docx

1、第六章导数及其应用6.1导数6.1.3基本初等函数的导数6.1.4求导法则及其应用课后篇巩固提升基础达标练1.(2020辽宁庄河高中高三月考)若f(x)=cos x,则f2=()A.-1B.1C.0D.2解析f(x)=cosx,f(x)=-sinx,f2=-1.故选A.答案A2.(多选)下列求导运算不正确的是()A.x+1x=1+1x2B.(log2x)=1xln2C.(3x)=3elog3eD.(x2cos x)=-2xsin x解析x+1x=1-1x2,故A错;(log2x)=1xln2,故B正确;(3x)=3xln3,故C错;(x2cosx)=2xcosx-x2sinx,故D错.答案AC

2、D3.(2020全国,理6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1解析对函数f(x)求导可得f(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1)处的切线的斜率为k=f(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.答案B4.(2020黑山黑山中学高二月考)直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+9相切于点(3,0),则b的值为()A.-15B.-45C.15D.45解析因为曲线y=x3+ax+9过点(3,0),所以0=33+3a+9,所

3、以a=-12,所以y=x3-12x+9,所以y=3x2-12,所以曲线在点(3,0)处的切线斜率k=332-12=15.因此,曲线在点(3,0)处的切线方程为y-0=15(x-3),即y=15x-45,所以b=-45.答案B5.某质点的运动方程为s(t)=1t4(其中s的单位为米,t的单位为秒),则质点在t=3秒时的速度为()A.-43-4米/秒B.-33-4米/秒C.-53-5米/秒D.-43-5米/秒解析由s(t)=1t4得s(t)=1t4=(t-4)=-4t-5,得s(3)=-43-5,故选D.答案D6.已知f(x)=x2,g(x)=ln x,若f(x)-g(x)=1,则x=.解析因为f

4、(x)=x2,g(x)=lnx,所以f(x)=2x,g(x)=1x,且x0,f(x)-g(x)=2x-1x=1,即2x2-x-1=0,解得x=1或x=-12(舍去负值).故x=1.答案17.(2019重庆八中高二期末)已知函数f(x)=(-3x+1)ex(其中e为自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为.解析点(0,1)在曲线上,所以f(x)=-3ex+(-3x+1)ex=ex(-3x-2),所以f(0)=-2,故在点(0,1)处的切线方程为y-1=-2(x-0),即2x+y-1=0.答案2x+y-1=08.已知函数f(x)=f2sin x+cos x,则f4=.解析f(

5、x)=f2cosx-sinx,f2=f2cos2-sin2=-1,f(x)=-cosx-sinx,f4=-cos4-sin4=-2.答案-29.设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f(x)满足f(1)=2a,f(2)=-b,其中常数a,bR.求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.解因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以f(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f(1)=3+2a+b,又f(1)=2a,所以3+2a+b=2a,解得b=-3.令x=2,得f(2)=12+4a+b,又f(2)=-b,所以12+4a+b=-b,解得a=-32.则f(x)=x3-32x2-3x+1,从

6、而f(1)=-52.又f(1)=2-32=-3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-52=-3(x-1),即6x+2y-1=0.10.已知函数f(x)=esin x,曲线y=f(x)在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为2,求直线l的方程.解f(x)=esinxcosx,f(0)=1.曲线y=f(x)在(0,1)处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.又直线l与x-y+1=0平行,故可设为x-y+m=0.由|m-1|1+(-1)2=2,得m=-1或m=3.直线l的方程为x-y-1=0或x-y+3=0.能力提升练1.(2020全国)若直线l与曲线y=x和圆x2+

7、y2=15都相切,则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12解析由y=x得y=12x,设直线l与曲线y=x的切点为(x0,x0),则直线l的方程为y-x0=12x0(x-x0),即12x0x-y+12x0=0,由直线l与圆x2+y2=15相切,得圆心(0,0)到直线l的距离等于圆的半径r=55,即|12x0|14x0+1=55,解得x0=1(负值舍去),所以直线l的方程为y=12x+12.答案D2.已知函数f(x)=e-2x+1,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D.1解析依题

8、意,得f(x)=e-2x(-2)=-2e-2x,f(0)=-2e-20=-2.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图像,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是23,23,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),结合图像可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于12123=13.答案A3.已知函数f(x)=4ex+1.点P在曲线y=f(x)上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是()A.0,4B.4,2C.2,34D.34,解析因为f(x)=4ex+1,所以f(x)=-4ex(ex+1)

9、2=-4exe2x+2ex+1=-4ex+1ex+2.因为ex0,所以ex+1ex2,所以f(x)-1,0),所以tan-1,0).又因为0,),所以34,.答案D4.(2020百校联盟TOP300八月尖子生联考)已知f(x)=(x+a)ln|x|-1x2是奇函数,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为()A.2x-y+3=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.x+y+2=0解析由f(x)=(x+a)ln|x|-1x2是奇函数,可得a=0,f(-1)=1.当x0时,f(x)=xln(-x)-1x,f(x)=ln(-x)+1+1x2,f(-1)=2,所以曲线f(x)在x=-1处的切线

10、方程为y-1=2(x+1),即2x-y+3=0.答案A5.函数f(x)=ln ex1+ex在x=0处的导数为.解析f(x)=lnex1+ex=lnex-ln(1+ex)=x-ln(1+ex),则f(x)=1-ex1+ex.当x=0时,f(0)=1-11+1=12.答案126.(2020湖北孝感七校联考)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图像在点(1,f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为.解析函数f(x)=ax-lnx,可得f(x)=a-1x,切线的斜率为k=f(1)=a-1,切点坐标为(1,a),切线方程l为y-a=(a-1)(x-1),l在y轴上的截距为a+(a-1)(-1)=

11、1.答案17.已知f(x)为偶函数,当x0,则-x0,f(-x)=lnx-3x,又f(x)为偶函数,f(x)=lnx-3x,f(x)=1x-3,f(1)=-2,切线方程为y=-2x-1.答案y=-2x-18.已知函数f(x)=x2,P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=f(x)上的两点.(1)求点P,Q处的曲线y=f(x)的切线方程;(2)求与直线PQ平行的曲线y=f(x)的切线方程.解(1)因为f(x)=2x.P(-1,1),Q(2,4)都是曲线y=f(x)上的点,P点处的切线的斜率k1=f(-1)=-2,Q点处的切线的斜率k2=f(2)=4,P点处的切线方程为y-1=-2(x+1),即2x

12、+y+1=0.Q点处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)因为f(x)=2x,直线PQ的斜率k=4-12+1=1,设切点为M(x0,y0),则切线的斜率k=f(x0)=2x0=1,所以x0=12,所以切点M12,14,与PQ平行的切线方程为y-14=x-12,即4x-4y-1=0.素养培优练(1)已知f(x)=exsin x,求f(x)及f12;(2)设函数f(x)=11+x2,在曲线y=f(x)上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.解(1)f(x)=exsinx,f(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx).f12=e2sin2+cos2=e2.(2)设切点的坐标为P(x0,y0),由题意可知f(x0)=0.又f(x)=-2x(1+x2)2,f(x0)=-2x0(1+x02)2=0.解得x0=0,此时y0=1.即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.