2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版专题突破练7　函数的单调性、极值点、极值、最值 WORD版含解析.docx

1、专题突破练7函数的单调性、极值点、极值、最值1.(2019河北衡水同卷联考,理21)已知函数f(x)=x2eax-1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)略.2.(2019湖北八校联考二,文21)已知函数f(x)=ln x+ax2+bx.(1)函数f(x)在(1,f(1)点的切线l方程为2x+y=0,求a,b的值,并求函数f(x)的最大值;(2)略.3.(2019山东淄博一模,文21)已知函数f(x)=ax2+x-1ex+1.(1)求f(x)的单调区间;(2)略.4.(2019新疆乌鲁木齐二模,理21)已知函数f(x)=ex+xtx-1(其中e是自然对数的底数).(1)当t=0时,求f(x)

2、的最值;(2)若t0时,f(x)在1t,+上的最小值为1,求实数t的取值范围.5.(2019湖北八校联考一,文21)已知函数f(x)=x3+32x2-4ax+1(aR).(1)若函数f(x)有两个极值点,且都小于0,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=a(a-1)ln x-x3+3x+f(x),求函数h(x)的单调区间.6.已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x0时,g(x)0,求b的最大值;(3)已知1.414 221.414 3,估计ln 2的近似值(精确到0.001).7.(2019安徽江淮十校联考一,文21)

3、已知函数f(x)=ax2+xln x(a为常数,aR,e为自然对数的底数,e=2.718 28).(1)若函数f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y=(2e+2)x-e2-e,kZ且k1都成立,求k的最大值.参考答案专题突破练7函数的单调性、极值点、极值、最值1.(1)解 函数f(x)的定义域为R.f(x)=2xeax+x2aeax=x(ax+2)eax.当a=0时,f(x)=x2-1,则f(x)在区间(0,+)内为增函数,在区间(-,0)内为减函数;当a0时,f(x)=axx+2aeax,令f(x)0得x0,令f(x)0得-2ax0,

4、所以f(x)在区间-,-2a内为增函数,在区间-2a,0内为减函数,在区间(0,+)内为增函数;当a0得0x-2a,令f(x)-2a或x0,所以f(x)在区间(-,0)内为减函数,在区间0,-2a内为增函数,在区间-2a,+内为减函数.2.解 (1)函数f(x)=ln x+ax2+bx的导数为f(x)=1x+2ax+b,在(1,f(1)点的切线斜率为k=1+2a+b,由题意可得1+2a+b=-2,且a+b=-2,可得a=b=-1,f(x)=ln x-x2-x的导数为f(x)=1x-2x-1=-2x2-x+1x=-2x2+x-1x.由f(x)=0,可得x=12(-1舍去),当0x0,f(x)递增

5、;当x12时,f(x)0时,f(x)=-a(x+1a)(x-2)ex.令f(x)=0,解得x1=-1a,x2=2,且x1x2.当x-,-1a(2,+)时,f(x)0.所以f(x)的单调递增区间是-1a,2,单调递减区间是-,-1a和(2,+).当a=0时,f(x)=-x-2ex,所以f(x)的单调递增区间是(-,2),单调递减区间是(2,+).当-12a0时,令f(x)=0,解得x1=2,x2=-1a,并且x10;当x2,-1a时,f(x)0.所以f(x)的单调递增区间是(-,2)和-1a,+,单调递减区间是2,-1a.当a=-12时,f(x)=(x-2)22ex0,所以f(x)的单调递增区间

6、是(-,+).当a-12时,令f(x)=0,解得x1=-1a,x2=2,且x10;当x-1a,2时,f(x)0,解得x0,函数f(x)在(0,+)是增函数;令f(x)0,解得x0时,由x1t,所以tx-10,f(x)=ex+xtx-1=ex+1t+1t(tx-1)ex+1t1+1t1,不符合题意;当t1t,易知y=(tx-1)2,y=-e-x在1t,+上均为增函数,所以g(x)=(tx-1)2-e-xx1t在1t,+上也为增函数,且g(0)=0,当1tx0时,f(x)0时,f(x)0,所以f(x)min=f(0)=1,符合题意.故实数t的取值范围为(-,0).5.解 (1)由f(x)有两个极值

7、点且都小于0,得f(x)=3x2+3x-4a=0有两个不相等的负实根,=9+48a0,x1+x2=-10,解得-316a0,则h(x)=a(a-1)x+3x-(4a-3)=1x(3x-a)x-(a-1).令(3x-a)x-(a-1)=0,得x=a3或x=a-1,令a3=a-1,得a=32.当a30,a-10,即a0时,在(0,+)上h(x)0恒成立;当0a3,a-10,即0a3时,h(x)0,当0xa3时,h(x)a-10,即1a32,当0xa3时,h(x)0,当a-1xa3时,h(x)0,即a=32时,h(x)0恒成立;当a-1a30,即a32,当0xa-1时,h(x)0,当a3xa-1时,

8、h(x)0.综上所述:当a0或a=32时,h(x)在(0,+)上单调递增;当0a1时,h(x)在a3,+上单调递增,在0,a3上单调递减;当1a32时,h(x)在0,a3,(a-1,+)上单调递增,在a3,a-1上单调递减.6.解 (1)f(x)=ex+e-x-20,等号仅当x=0时成立,所以f(x)在(-,+)单调递增.(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,g(x)=2e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).当b2时,g(x)0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-

9、,+)单调递增.而g(0)=0,所以对任意x0,g(x)0;当b2时,若x满足2ex+e-x2b-2,即0xln(b-1+b2-2b)时,g(x)0.而g(0)=0,因此当0xln(b-1+b2-2b)时,g(x)0,ln 282-3120.692 8;当b=324+1时,ln(b-1+b2-2b)=ln 2,g(ln2)=-32-22+(32+2)ln 20,ln 218+2280.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.7.解 (1)函数f(x)0恒成立,即ax2+xln x0恒成立,可得a-lnxx恒成立.设g(x)=-lnxx,g(x)=lnx-1x2.当0xe时,g(x)e时,

10、g(x)0,g(x)递增,可得当x=e时g(x)取得最小值,且g(e)=-ln ee=-1e,所以a-1e.(2)f(x)的导数为f(x)=2ax+1+ln x,曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线斜率为2ae+2=2e+2,可得a=1,即f(x)=x2+xln x.又由k1都成立,可得k1恒成立.设h(x)=x2+xlnxx-1,x1,h(x)=x2-x-lnx-1(x-1)2.设k(x)=x2-x-ln x-1,x1,k(x)=2x-1-1x=(x-1)(2x+1)x0,可得k(x)在(1,+)内递增,由k(1.8)=0.44-ln 1.8.由1.8e可得ln 1.812,即有k(1.8)0,则存在m(1.8,2),使得k(m)=0,则1xm,k(x)0,h(x)m时,k(x)0,h(x)0,h(x)在xm递增,可得h(x)min=h(m)=m2+mlnmm-1.又k(m)=m2-m-ln m-1=0,即有m2-1=m+ln m,可得h(x)min=m2+m在(1.8.2)递增,可得h(x)min(5.04,6),由kh(x)min,kZ,故k的最大值为5.