2021-2022学年新教材人教A版数学必修第一册学案：2-2-1 基本不等式 WORD版含答案.docx

1、22基本不等式最新课程标准1.掌握基本不等式aba+b2(a0，b0)2结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题学科核心素养1.理解基本不等式的几何意义及其推导过程(直观想象、逻辑推理)2会用基本不等式解决最值问题(逻辑推理、数学运算)第1课时基本不等式教材要点要点一基本不等式如果a，bR，那么ab_a+b2，当且仅当_时，等号成立其中a+b2叫做正数a，b的_，ab叫做正数a，b的_所以两个正数的_平均数不小于它们的_平均数状元随笔基本不等式与不等式a2b22ab的异同a2b22ababa+b2适用范围a，bRa0，b0文字叙述两数的平方和不小于它们积的2倍两个正数的算术平均

2、值不小于它们的几何平均值“”成立的条件abab要点二基本不等式与最值已知x，y都是正数(1)若xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取得_(2)若xyP(积为定值)，则当xy时，和xy取得_状元随笔利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等一正：各项必须为正二定：各项之和或各项之积为定值三相等：必须验证取等号时条件是否具备基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)当a，b同号时，ba+ab2.()(2)函数yx1x的最小值为2.()(3)6和8的几何平均数为23.()(4)不等式a2b22ab与aba+b2有相同的适用范围()2已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成

3、立的是()Aa2b22ab Bab2abC1a+1b2ab Dba+ab23若a1，则a1a-1的最小值是()A2 BaC2aa-1 D34已知x，y都是正数(1)如果xy15，则xy的最小值是_(2)如果xy15，则xy的最大值是_题型1对基本不等式的理解例1(1)(多选)下列条件中能使ba+ab2成立的条件是()Aab0 Bab0Ca0，b0 Da0，b0(2)给出下列命题：若xR，则x1x2；若a0，b0，则ab1ab2；不等式yx+xy2成立的条件是x0且y0.其中正确命题的序号是_方法归纳对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：定理成立的条件是a，b都是正数“当且仅当”的含义：当a

4、b时，aba+b2的等号成立，即aba+b2ab；仅当ab时，a+b2ab的等号成立，即a+b2abab.跟踪训练1(1)下列不等式一定成立的是()Aa+b2ab Ba+b2abCx1x2 Dx21x22(2)下列不等式的推导过程正确的是_若x1，则x1x2 x1x2.若x0，则x4x-x+-4x2 -x-4x4.若a，bR，则ba+ab2 baab2.题型2利用基本不等式比较大小例2若ab0，试比较a, a2+b22，a+b2，ab，21a+1b，b的大小方法归纳一般地，若给出的数(式)涉及两个正数的和、积或两个实数的平方和，则可考虑利用重要不等式a2b22ab(a，bR，a0，b0)和基本

5、不等式a+b2ab(a0，b0)来比较它们的大小，但此时应特别注意能否取到等号跟踪训练2(1)若0a1，0b1，且ab，则ab，2ab，2ab，a2b2中最大的一个是()Aa2b2 B2abC2ab Dab(2)已知abc，则a-bb-c与a-c2的大小关系是_.题型3利用基本不等式求最值角度1无条件求最值例3(1)若0x12，则yx(12x)的最大值是()A14 B18C1 D4(2)已知x1，求y4x2-8x+5x-1的最小值角度2有条件求最值例4(1)若a0，b0，a3b1，则1a+13b的最小值为()A2 B22C4 D32(2)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_方法

6、归纳应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“定积”及保证能取到等号，此时往往需要采用拆项、补项、平方、平衡系数、“1”的整体代入等变形技巧，选择合理的变形技巧可以使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果跟踪训练3(1)已知a0，b0，且1a+2b4，则4a6b的最小值是()A43 B423C823 D433(2)已知x12，则2x12x-1的最大值是_易错辨析多次使用基本不等式求最值时忽略等号同时成立的条件例5已知实数m0，n0，且满足2mn2，则1m+8n的最小值是_解析：m0，n0，2mn2，mn21.1m+8n1m+8nm+n25n2m+8mn52n2m8mn9.当且仅当n2m8mn，即m

7、13，n43时取等号答案：9易错警示易错原因纠错心得错解：m0，n0，22mn22mn，mn12，1mn2，1m+8n28mn2828故1m+8n的最小值为8.上述求解过程中使用了两次基本不等式，但这两次取等号的条件不能同时成立，所以等号取不到连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取到等号的条件成立课堂十分钟1关于命题p：a，bR，aba+b22，下列说法正确的是()Ap：a，bR，aba+b22B不能判断p的真假Cp是假命题Dp是真命题2下列命题中正确的是()A当a，bR时，a

8、b+ba2abba2B当a0，b0时，(ab)1a+1b4C当a4时，a9a2a9a6D当a0，b0时，2aba+bab3若正实数a，b满足ab1，则b3a+3b的最小值为()A193 B. 26C. 5 D. 434若不等式x2+2x2+12恒成立，则当且仅当x_时取“”号5已知t0，求yt2-4t+1t的最小值22基本不等式第1课时 基本不等式 新知初探课前预习要点一ab算术平均数几何平均数算术几何要点二最大值14S2最小值2P基础自测1(1)(2)(3)(4)2答案：D3答案：D4答案：(1)215(2)2254题型探究课堂解透例1解析：(1)要使ba+ab2，只要ba0，且ab0，即a

9、，b不为0且同号即可，故选项A，C，D都符合(2)只有当x0时，才能由基本不等式得到x1x2x1x2，故错误；当a0，b0，由基本不等式可得ab1ab2ab1ab2，故正确；由基本不等式可知，当yx0，xy0时，有yx+xy2yxxy2成立，这时只需x与y同号即可，故错误答案：(1)ACD(2)跟踪训练1解析：(1)当a，b，x都为负数时，A、C选项不正确当a，b为正数时，B选项不正确根据基本不等式，有x21x22x21x22.(当且仅当x21x2时取等号)故选D.(2)中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x1x时，即x1时，x1x2等号成立，因为x1，所以x1x2；中忽视了利用基本不等式时每

10、一项必须为正数这一条件；符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”，故正确答案：(1)D(2)例2解析：ab0， a2+b22 a2+a22a，a2b22ab，2(a2b2)(ab)2，a2+b22a+b22.又a0，b0，则 a2+b22 a+b22a+b2.由a0，b0，得a+b2ab，1a+1b2 1a1b，ab21a+1b，21a+1bbba-ba+b021a+1bbaa2+b22a+b2ab21a+1bb.跟踪训练2解析：(1)0a1，0b2ab，ab2ab，aa2，bb2，aba2b2，故选D.(2)abc，ab0，bc0，a-c2a-b+b-c2a-bb-c，当且仅当

11、abbc，即2bac时等号成立答案：(1)D(2)a-bb-ca-c2例3解析：(1)0x0，yx(12x)122x(12x)122x+1-2x2218，当且仅当2x12x，即x14时取等号(也可用二次函数配方法求解)(2)x1，令tx1(t0)，则xt1，所以y4x2-8x+5x-14t+12-8t+1+5t4t2+1t4t1t2 4t1t4.当且仅当4t1t，即t12，x32时取等号所以y4x2-8x+5x-1的最小值为4.答案：(1)B(2)4例4解析：(1)a0，b0，a3b1，1a+13b1a+13b(a3b)23ba+a3b223baa3b224.当且仅当a3b时等号成立，所以1a

12、+13b的最小值为4.(2)x3y5xy，x0，y0，15y+35x1，3x4y(3x4y)15y+35x135+3x5y+12y5x13523x5y12y5x5当且仅当3x5y12y5x，即x2y1时取等号答案：(1)C(2)5跟踪训练3解析：(1)4a6b(4a6b)14a+12b3b2a+2ab4423，当且仅当a3+14，b3+36时取“”故选B.(2)x0，2x12x-12x112x-111-2x+11-2x112x0，12x11-2x21-2x11-2x2(当且仅当x0时，等号成立)2x12x-1211.答案：(1)B(2)1课堂十分钟1答案：C2答案：B3答案：C4答案：05解析：依题意得yt1t42t1t42，当且仅当t1时等号成立，即函数yt2-4t+1t(t0)的最小值是2.