2021-2022学年新教材高中数学 第3章 指数运算与指数函数测评（含解析）北师大版必修第一册.docx

1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.计算425-12=()A.25B.52C.-52D.52解析:425-12=25412=52.答案:B2.函数y=2x+2+1的图象过定点()A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,2)D.(-1,1)解析:令x+2=0,得x=-2,当x=-2时,y=20+1=1+1=2,故函数图象过定点(-2,2).答案:C3.化简-3a23b12(a12b13)13a16b56的结果为()A.-9aB.-aC.6aD.9a解析:原式=-3a23+12b12

2、+1313a16b56=-9a23+12-16b12+13-56=-9a.答案:A4.设a=20.3,b=32,c=2-0.3,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cbaC.cabD.bca解析:c=2-0.31a=20.32b=32,ca0,已知f(a)1,则实数a的取值范围是()A.(-2,2)B.(-,-2)(2,+)C.(2,+)D.(-,-2)(0,+)解析:由已知可得,当a0时,有a2-a-11,解得a2或a2;当a0时,有12a-31,解得a-2,所以ab,则f(x)=2x2-x的图象大致是()解析:x0时,2x12-x0;x0时,02x12-x.所以f(x)=2x2-x=

3、2-x,x0,2x,x0,-2x,x0,可得函数在区间(0,+)上单调递增,此时函数值大于1;在区间(-,0)上单调递减,且此时函数的值大于-1且小于0.结合所给的选项,只有B满足条件,故选B.答案:B9.已知f(x)=(2a-1)x+3a,x1,ax,x1满足对任意x1x2都有(x1-x2)(f(x1)-f(x2)0成立,那么实数a的取值范围是()A.(0,1)B.0,12C.14,1D.14,12解析:若对任意x1x2都有(x1-x2)(f(x1)-f(x2)0成立,则函数f(x)为减函数,则2a-10,0a1,2a-1+3aa,解得14a0,且a1),经过点E,B,则a=()A.2B.3

4、C.2D.3解析:因为点E在函数y=ax(a0,且a1)的图象上,所以可设点E(t,at),则点B的坐标为(2t,2at).又因为点B在函数y=ax(a0,且a1)的图象上,所以2at=a2t,所以at=2,所以平行四边形OABC的面积=OCAC=at2t=4t=8,解得t=2,所以a2=2,a=2.答案:A11.已知函数f(x)=-12x,ax0,-x2+2x,0x4的值域是-8,1,则实数a的取值范围是()A.(-,-3B.-3,0)C.-3,-1D.-3解析:当0x4时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,图象为开口向下的抛物线,对称轴为直线x=1,故函数在区间0,1上单调递增,

5、在区间1,4上单调递减,当x=1时,函数取最大值1,当x=4时,函数取最小值-8.又函数f(x)的值域为-8,1,y=-12x,ax0的值域为-8,1的子集.函数y=-12x在区间a,0)上单调递增,只需-12a-8,-1201,解得-3a0.答案:B12.已知函数f(x)=3x-1,0xb0,若f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围是()A.23,2B.-112,+C.-112,-13D.-13,23解析:由函数f(x)=3x-1,0xb0时,f(a)=f(b),必有b0,1),a1,+),由图可知,使f(a)=f(b)的b23,1,f(a)1,2).所以bf(a)23,2.答案:A二、

6、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.已知函数f(x)=x-4,x0,3x,x0,且a1)的图象经过定点(2,3),则b的值是.解析:函数y=2ax经过定点(0,2),而函数f(x)=2ax-b+1(a0,且a1)的图象是把函数y=2ax的图象向右平移b个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的,又函数f(x)=2ax-b+1的图象经过定点(2,3),b=2.答案:215.将甲桶中的a升水缓慢注入与甲桶大小一样的空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶中的水只有a8升,则m=.解析:

7、根据题意,得12=e5n,令18a=aent,即18=ent,因为12=e5n,所以18=123=e5n3.即18=e15n,所以t=15,故m=15-5=10.答案:1016.关于函数y=2x2-2x-3有以下4个结论:定义域为(-,-1)(3,+);单调递增区间为1,+);是非奇非偶函数;值域是116,+.其中正确的结论是.(填序号)解析:不正确,因为y=2x2-2x-3的定义域为R;不正确,因为x2-2x-3=(x-1)2-4-4,2x2-2x-32-4=116,即值域为116,+;正确,因为y=2u为增函数,u=x2-2x-3在区间(-,1上单调递减,在区间1,+)上单调递增,所以y=

8、2x2-2x-3的单调递增区间为1,+);正确,因为f(-x)f(x),且f(-x)-f(x).答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(1)计算:0.064-13-(0.125)0+1634+0.2512;(2)若a0,b0,化简(2a23b12)(-6a12b-13)-36ab-(4a-1).解:(1)原式=(0.43)-13-1+(24)34+(0.52)12=0.4-1-1+8+0.5=2.5+7+0.5=10.(2)原式=2(-6)a23+12b12-13-3a16b16-(4a-1)=4a-4a+1=1.18.(12分)已

9、知函数f(x)=12ax,a为常数,且函数的图象过点(-1,2).(1)求a的值;(2)若g(x)=4-x-2,且g(x)=f(x),求满足条件的x的值.解:(1)由已知得12-a=2,解得a=1.(2)由(1)知f(x)=12x,又g(x)=f(x),则4-x-2=12x,即12x2-12x-2=0,令12x=t,则t2-t-2=0,即(t-2)(t+1)=0.又t0,故t=2,即12x=2,解得x=-1,故满足条件的x的值为-1.19.(12分)已知函数f(x)=2x的定义域是0,3,设g(x)=f(2x)-f(x+2).(1)求g(x)的解析式及定义域;(2)求函数g(x)的最大值和最小

10、值.解:(1)f(x)=2x,g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x+2.f(x)的定义域是0,3,02x3,0x+23,解得0x1.g(x)的定义域是0,1.(2)由(1)知,g(x)=(2x)2-42x=(2x-2)2-4.x0,1,2x1,2.当2x=1,即x=0时,g(x)取得最大值-3;当2x=2,即x=1时,g(x)取得最小值-4.20.(12分)若函数f(x)=(k+3)ax+3-b(a0,且a1)是指数函数,(1)求k,b的值;(2)解不等式f(2x-7)f(4x-3).解:(1)f(x)=(k+3)ax+3-b(a0,且a1)是指数函数,k+3=1且3-b=0,解得

11、k=-2,且b=3.(2)由(1)得f(x)=ax(a0,且a1),则f(2x-7)f(4x-3),即a2x-7a4x-3.当a1时,函数f(x)=ax为增函数,则不等式等价于2x-74x-3,解得x-2,当0a1时,函数f(x)为减函数,则不等式等价于2x-7-2.综上,当a1时,不等式解集为x|x-2;当0a-2.21.(12分)已知函数f(x)=2a-13x+1(aR).(1)若函数f(x)为奇函数,求a的值;(2)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明.解:(1)函数f(x)为定义在R上的奇函数,f(0)=0,即2a-12=0,得a=14.(2)f(x)在R上是增函数,证明如下:任取x

12、1,x2R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2a-13x1+1-2a-13x2+1=13x2+1-13x1+1=3x1-3x2(3x1+1)(3x2+1).函数y=3x在R上是增函数,且x1x2,3x13x2,即3x1-3x20,3x1+10,3x2+10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在R上是增函数.22.(12分)已知指数函数y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为R的函数f(x)=n-g(x)m+2g(x)满足f(-x)+f(x)=0.(1)确定函数y=g(x),y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的值域;(3)若对任意的t(-1,4),不等

13、式f(2t-3)+f(t2-k)0,且a1).g(3)=8,a3=8,解得a=2,g(x)=2x.f(x)=n-2xm+2x+1.由已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(0)=0,即n-12+m=0,得n=1,f(x)=1-2xm+2x+1.又f(-1)=-f(1),1-12m+1=-1-24+m,解得m=2,f(x)=1-2x2+2x+1.(2)由(1)知y=f(x)=1-2x2+2x+1,化简得2x=1-2y1+2y.2x0,1-2y1+2y0,即2y-12y+10,等价于(2y-1)(2y+1)0,解得-12y12,故函数y=f(x)的值域为-12,12.(3)由(1)知f(x)=1-2x2+2x+1=-12+12x+1,易知f(x)在R上为减函数.又f(x)是奇函数,f(2t-3)+f(t2-k)0,即f(2t-3)k-t2,即对一切t(-1,4),有t2+2t-3k恒成立,令m(t)=t2+2t-3,t(-1,4),易知m(t)-4,k-4,即实数k的取值范围是(-,-4.