2021-2022学年新教材高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第1课时 余弦定理训练（含解析）新人教A版必修第二册.docx

1、6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理课后训练提升基础巩固1.在ABC中,已知a=2,则bcosC+ccosB等于()A.1B.2C.2D.4解析bcosC+ccosB=ba2+b2-c22ab+cc2+a2-b22ca=2a22a=a=2.答案C2.在ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角A等于()A.30B.60C.120D.150解析(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc,b2+c2-a2=bc,cosA=b2+c2-a22bc=12,又0A0,则ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形解析由c2-

2、a2-b22ab0得-cosC0,所以cosC0,从而C为钝角,因此ABC一定是钝角三角形.答案C5.若ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60,则ab的值为()A.43B.8-43C.1D.23解析由(a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC=2abcos60=ab,则ab+2ab=4,故ab=43.答案A6.在锐角ABC中,若b=1,c=2,则a的取值范围是()A.1a3B.1a5C.3a0,即a25,2ac2,即a23,3a2.故3abc,A=120,a2=b2+c2-2bccos120,即(

3、b+4)2=b2+(b-4)2-2b(b-4)-12,即b2-10b=0,解得b=0(舍去)或b=10.当b=10时,a=14,c=6.能力提升1.在ABC中,若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的值为()A.6B.3C.6或56D.3或23解析(a2+c2-b2)tanB=3ac,a2+c2-b22actanB=32,即cosBtanB=sinB=32.0BbB.a0,a2b2,ab.答案A4.在ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,则ABBC的值为()A.79B.69C.5D.-5解析由余弦定理,得cosABC=AB2+BC2-AC22ABBC=52+72-82257=17.

4、因为向量AB与BC的夹角为180-ABC,所以ABBC=|AB|BC|cos(180-ABC)=57-17=-5.答案D5.在ABC中,已知CB=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为.解析由条件知cosA=AB2+AC2-BC22ABAC=92+82-72298=23,设中线长为x,由余弦定理知x2=AC22+AB2-2AC2ABcosA=42+92-24923=49,所以x=7.所以AC边上的中线长为7.答案76.设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边,则a的取值范围是.解析由题意可知,2a-10,a2+(2a-1)22a+1,解得2a8.答案(2,8)7.在ABC中,a,b,c

5、分别为角A,B,C的对边,4sin2B+C2-cos 2A=72.(1)求角A的度数;(2)若a=3,b+c=3,求b和c的值.解(1)由4sin2B+C2-cos2A=72及A+B+C=180,得21-cos(B+C)-2cos2A+1=72,整理得4(1+cosA)-4cos2A=5,即4cos2A-4cosA+1=0,故(2cosA-1)2=0,解得cosA=12.0A180,A=60.(2)由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc.cosA=12,b2+c2-a22bc=12,化简并整理,得(b+c)2-a2=3bc,32-(3)2=3bc,即bc=2.由b+c=3,bc=2,解得b=1,c=2或b=2,c=1.8.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2=a2+c2-ac.(1)求角B的大小;(2)求sin A+sinC的取值范围.解(1)b2=a2+c2-ac,a2+c2-b2=ac,cosB=a2+c2-b22ac=12.0B,B=3.(2)sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+sin(A+3)=32sinA+32cosA=3sin(A+6).A(0,23),A+6(6,56),sin(A+6)(12,1,3sin(A+6)(32,3.sinA+sinC的取值范围是(32,3.