2021-2022学年高中人教A版数学选修2-1课后巩固提升：2-2-2　椭圆的简单几何性质 WORD版含解析.docx

1、第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若椭圆=1(a)的长轴长为6,则它的焦距为()A.4B.3C.2D.1解析椭圆=1(a)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,则它的焦距为2c=4,故选A.答案A2.椭圆=1与=1(0k9)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析椭圆=1与=1(0k1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为()A.B.2C.D.3解析由题意可得:e2=,据此可得:a2=5,椭圆方程为+x2=1,设椭圆上点的坐标为P(x

2、0,y0),则=5(1-),故|PB|=,当x0=时,|PB|max=.答案C5.已知椭圆C:=1(ab0)的右顶点、上顶点分别为A,B,坐标原点到直线AB的距离为,且a2=2b2,则椭圆C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析椭圆右顶点坐标为A(a,0),上顶点坐标为B(0,b),故直线AB的方程为y=-x+b,即bx+ay-ab=0,依题意原点到直线的距离为,且a2=2b2,由此解得a2=16,b2=8,故椭圆的方程为=1,故选D.答案D6.椭圆的一个焦点将长轴长分成32两部分,则这个椭圆的离心率为.解析依题意有(a+c)(a-c)=32,所以a=5c,故离心率为e=.答案7.以

3、椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为.解析由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积有最大值,即bc=2.a2=b2+c22bc=4,a2,当且仅当b=c=时等号成立.2a4,即椭圆长轴长的最小值为4,故答案为4.答案48.椭圆=1(ab0)的四个顶点顺次连接构成一个菱形,该菱形的面积为2,又椭圆的离心率为,则椭圆的标准方程是.解析由题意,得2ab=2,即ab=.又e2=,即2a2=5b2.解得a2=5,b2=2,所以所求椭圆方程为=1.答案=19.(1)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,右焦点为(,0),求椭圆C的方程;(2)已知椭圆C:=1(

4、ab0)经过1,一个焦点为(,0),求椭圆C的方程.解(1)由右焦点为(,0),则c=,又e=,所以a=,b2=a2-c2=1,椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意得解得a=2,b=1,所以椭圆C的方程是+y2=1.10.已知椭圆=1,在该椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等,设M(x,y)(-2x2),则=|x-4|,两边平方得y2=-6x+15.又由=1,得y2=3,代入y2=-6x+

5、15,得x2-8x+16=0,解得x=4.因为-2x2,所以符合条件的点M不存在.能力提升1.若点A(1,m)在椭圆C:=1的内部,则实数m的取值范围是()A.(-)B.-C.-,-,+D.-解析由题意知,b0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.-1解析连接AF1(图略),由圆的性质知,F1AF2=90.因为F2AB是等边三角形,所以AF2F1=30.故AF1=c,AF2=c,因此e=-1.答案D3.17世纪法国数学家费马在平面与立体轨迹引论中证明方程a2-x2=ky2(k0,k1,a0)表

6、示椭圆,费马所依据的是椭圆的重要性质:若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A,B两点)引垂线,垂足为Q,则为常数.据此推断,此常数的值为()A.椭圆的离心率B.椭圆离心率的平方C.短轴长与长轴长的比D.短轴长与长轴长比的平方解析设椭圆方程为=1(ab0),取P为椭圆的上顶点,则Q为原点.PQ=b,AQ=BQ=a,则.故选D.答案D4.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m km,远地点B距离地面n km,地球半径为k km,则飞船运行轨道的短轴长为()A.2B.C.mnD.2mn解析由题意可得a-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c)(a+c)=(m+k)(n+k

7、),即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=.所以椭圆的短轴长为2.答案A5.已知点P(2,1)在椭圆=1(ab0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析点P(2,1)在椭圆=1(ab0)上,可得=1,M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则|OM|=3,当且仅当a2=2b2时,等号成立,此时由解得a2=6,b2=3.所以e=.故选C.答案C6.已知椭圆的短半轴长为1,离心率00,所以a21,故1a2,长轴长2b0),半焦距为c,则所以所以b2=a2-c2=36-27=9,故椭圆G的方程为=1.答案=18.已知F

8、1(-c,0),F2(c,0)为椭圆=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且=c2,求椭圆离心率的取值范围.解设P(x0,y0),则=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),所以=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=-c2+.因为P(x0,y0)在椭圆上,所以=1.所以=b2,所以-c2+b2=c2,解得.因为x0-a,a,所以0,a2,即0a2,所以2c2a23c2.即,所以,即椭圆离心率的取值范围是.9.已知椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过点(1,0)作直线与椭圆相交于A,B两点,连接AF1,BF1,且ABF1的周长为4.(1)求椭圆C的标

9、准方程;(2)若|AB|=4|F2A|,求直线AB的方程.解(1)焦距为2,ABF1的周长为4,c=1,4a=4,a2=b2+c2.解得c=1=b,a=.椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设直线AB的方程为x=my+1,点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).联立得(m2+2)y2+2my-1=0,y1+y2=-,y1y2=-,|AB|=4|F2A|,|BF2|=3|F2A|,y2=-3y1.联立解得m=1.直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.10.(选做题)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,P是C上一点,F1,F2是C的两个焦点,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线y=x+n交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,求OAB面积的最大值.解(1)|PF1|+|PF2|=4,2a=4,即a=2.e=,c=,b2=a2-c2=2,即椭圆方程为=1.(2)设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2),将y=x+n代入椭圆C的方程,整理得5x2+4nx+2n2-4=0,=32n2-20(2n2-4)0,n210,x1+x2=-,x1x2=,|AB|=,点O到直线AB的距离d=,SOAB=|AB|d=(10-n2+n2)=,当且仅当10-n2=n2,即n2=5时取等号,OAB面积的最大值为.