2020年12月联考理科数学参考答案.pdf

1、第 1 页 共 5 页数学参考答案（理科）题号12345678910 11 12答案BCABADBACADD1.【解析】根据复数模的性质.435|5125izi。2.【解析】集合(2,1)B ，所以 2,1,2UAB （），有 3 个元素。3.【解析】开区间上最小值一定是极小值，导数等于 0，反过来不成立。4.【解析】3927=3.14161250，355=3.141592113，22=3.1428577，9.8684=3.14140096，故选 B。5.【解析】(1)1(1)1)ff ，所以(1)3f 。6.【解析】11=1nnkanknk，由 k 是正数及反比例函数的单调性知 50k且 6

2、0k，故选 D。7.【解析】12 11 10 9 895040sum ，判断框在12,11,10,9,8i 都满足条件，7i 不满足，故选 B8.【解析】()1()322ff，故选 A。9.【解析】球心是 AC 的中点，25R，6125812534343RV，选 C10.【解析】设1910abxxab，于是199(10)()()10102 916abxxab abba所以210+16028xxx，所以 ab的最小值是 2（当13,22ab时取得）11.【解析】设点001(,)P xx，切线 l 方程为20012yxxx，所以002(2,0),(0,)AxBx，点001(,)P xx是 AB 中

3、点，S2AOB,命题（1）（2）都正确。过原点作倾斜角等于15 和75 的 2 条射线与曲线的交点为,M N,由对称性知 OMN是等边三角形,命题（3）正确。过原点作 2 条夹角等于 45 的射线与曲线的交点为,M N,当直线 OM 的倾斜角从 90 减少到 45 的过程中，OMON 的值从+变化到 0,在这个过程中必然存在 OMON 的值为2 和22的时刻,此时 OMN是等腰直角三角形,命题（4）正确.12.【解析】解 1：222|2132ababa ba b ，由题设=()1|1=|1a bab cab cab ，所以22221|2132a bababa ba b （），得212a b（）

4、，所以 2 32 3a b，因此，|=132134 3=2 31aba b，易见等号可以取得，故选 D。解 2：由题设()()0acbc，在矩形 ABCD 中，3,2,1PAPBPC,根据矩形性质第 2 页 共 5 页2222PAPBPCPD,可得2 3PD,所以|2 31abABCD，当 P 点在 CD 上等号成立。13.【答案】725【解析】，为锐角243sin155，234sin()15522437sinsinsincoscossin552514.【答案】730【解析】由题设奇函数()f x 关于直线1x 对称，所以函数是周期函数，且最小正周期4T，所以1032121117()()()(

5、)31031031031030ffff 。15.【答案】512【解析】设正方体棱长为 1，易知截面 ACEK 是等腰梯形，延长两腰相交于 F 点，设1KBx，可得1111,11xKBB Ex B FBFxx，三棱台1ABCKB E的 体 积221111(1 1)(1)61163xVxxxxx，所 以251102xxx，所以15135122A K,1135251=2251A KKB（也可以由黄金分割性质直接得到）解析 2.由三棱台体积公式计算也行。设法同解析 1，三棱台上底面积是212 x，下底面积为 12，高等于1，所以221 11111()13 22223Vxx，解得512x。后同解法 1.

6、16.【答案】3【解析】211sinsin222SAB ACAABA，所以2241,sinsinABADAA,根据余弦定理222254cos2cos(54cos)sinABDABADAB ADAA ADA所以24sin4cos16 sin()5BDAABDA，可得4165BD，解得3BD。17.【解析】（1）由题设1n 时，2211(1)nnnnnaSSn ana，所以111nnnaan2 分累乘或者迭代可得112312=113(1)nnnnaannnn n，4 分当1n 时也符合，所以222(1)1nnSnn nn。6 分（2）2112()!(1)!(1)!nnSnbnnnnn，所以1111

7、112(1)()()2(1)22!2!3!(1)!(1)!nTnnn8 分注意到0,na 所以11nTT，因此12nT。10 分第 3 页 共 5 页18.【解析】（1）连接 BD，由题设1111/,BBDD BBDD,所以四边形11BB D D 是平行四边形，所以11/BDB D.由题设，四边形 ABCD 是等腰梯形，取 AD 中点 E,连接,BE CE,因为2,/BCDEBCDE,所以四边形 BCDE 是平行四边形，2BECD,所以 AEDEBE,得到2ABD,因此 ABBD.又由题设，11BBABCBBBD平面,又1ABBBB所以11BDABB A 平面,又11/BDB D（已证）所以1

8、111B DABB A 平面，而11111B DB C D 平面,因此11111B C DABB A平面平面。6 分（2）以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，得各点坐标1111(0,0,0),(3,1,0),(3,3,0),(0,4,0),(0,0,4),(3,1,2),(3,3,1),(0,4,2),ABCDABCD8 分所以1(0,2,2)B C,11(0,2,1),B C 11(3,3,0)B D ,设平面111B C D 的法向量为(,)nx y z，则111120n330n B CyzB Dxy，令12,3yzx，(3,1,2)n 10 分所以直线1B C 和平面111B

9、C D 所成角的正弦值10241sin|cos,|488n B C.12 分19.【解析】（1）根据正弦定理222sinsin 22cossinsinaABacbBbBBac所以2222()a cb acb，整理得22abbc。4 分（2）由（1）得226445cc，根据角平分线定理 CACBADBD,可得2,3ADBD;6 分设 CDx，由ADCBDC,得22416936coscos046xxADCBDCxx，10 分解得3 2x，所以角平分线 CD 的长等于 3 2。12 分说明：第（1）小题用相似三角形证明给分，第（2）题也可以用面积比得到，过程正确均给满分。20.【解析】（1）令2(1

10、)2(1)()()11xxh xf xlnxxx，22(1)()0(1)xh xx x，2 分故()h x 在1x 时是增函数，()(1)h xh0，即2(1)1xlnxx；4 分（2）不妨设1212,1xxxx则，由题设1122ln,lnxkxxkx，所以12121212lnlnlnlnxxxxkxxxx，第 4 页 共 5 页由（1）的结论1121212121222(1)2()lnlnln1xxxxxxxxxxxx，8 分所以12121212121212122()ln+ln(lnln)2xxxxxxxxxxxxxxxx，因此212x xe12 分21.【解析】（1）由题意，侧面 PAB是等

11、腰直角三角形，3 22 2PBPM，作/MNBC 交 PC 于 N,连接 DN.因为2 233 2PMMNMNPBBC,所以2MN,又/,/,2MNBC ADBC AD,所以/,MNADMNAD且,四边形 AMND 是平行四边形，/AMDN，又 DNPCD 平面,所以/AMPCD平面。4 分（2）由 PAABCD 底面，可得,PAAB PAAD,又 ABAD,所以,AB AD AP 两两互相垂直，以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，得各点坐标如下：(0,0,0),(3,3,0),(0,2,0),(0,0,3),(2,0,1)ACDPM6 分所以(2,0,1),(3,3,0)AMAC，

12、设平面 AMC 的法向量为(,)mx y z，则20330m AMxzm ACxy，令1,1,2xyz 得，所以(1,1,2)m ；8 分向量(3,3,3),(0,2,3),PDPC设平面 PCD 的法向量为111(,)nx y z，则111113330230m AMxyzm ACyz，令13y 得112,1zx ，所以(1,3,2)n 10 分设平面 AMC 与平面 PCD 所成锐二面角为，则1 344cos2121614 所以平面 AMC 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值等于 42121。12 分22.【解析】（1）记11()()()1ln(1)22xh xf xg xexxx，则(0

13、)0h；求导得11113()1ln(1)ln(1)2122(1)2xxh xexxexxx，且(0)0h；2 分再求导2111()()21(1)xhxexx，4 分注意0 x 时，1,xe 且2111()121(1)xx，所以()0hx，因此()(0)0h xh，函数()h x 在(0,)上单调递增，()(0)0h xh所以1()()2f xg x在(0,)恒成立，等号当且仅当0 x 时成立。6 分（2）当0 x 时，()ln(1)0g xxx，所以12k 时，1()()()2f xg xk g x 恒成立。第 5 页 共 5 页下面证明当12k 时，()()f xk g x 不能在(0,)恒

14、成立。记()()()1ln(1)xp xf xk g xexk xx，(0)0p，()e1ln(1)1xxp xkxx，(0)0p再求导211()e1(1)xpxk xx，当12k 且0 x 时，()px 单调递增，(0)120pk，令ln 20 xk则211(ln 2)2220ln 21(ln 21)pkkkkkkk，所以在(0,ln 2)k 上存在0 x，使得0()0px，因为()px 单调递增，所以在区间0(0,)x上()0px，因此()p x 在区间0(0,)x上单调递减，()(0)0p xp，所以()p x 在区间0(0,)x上单调递减，()(0)0p xp，即()()f xk g x 区间0(0,)x上不成立，所以12k 时不合题意。综上所述，当0 x 时，()()f xk g x 恒成立，实数 k 的取值范围是1(,2。12 分