2023 届南宁市第二中学考前模拟大演练（理数答案）(4).pdf

1、2023 届南宁市第二中学考前模拟大演练理科数学试卷答案123456789101112DADCCCADCBAA9【详解】将该多面体放入正方体中,如图所示.由于多面体的棱长为1,所以正方体的棱长为2因为该多面体是由棱长为2 的正方体连接各棱中点所得,所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即222R 所以1R 244SR答案 C10【答案】B【详解】如图，设21F MPF于 M，则由题意得233F Ma，1260F PF，13PMa，223PFa，由椭圆定义可得12122PFPFPMMFPFa，1MFa，在12RtMF F中，由勾股定理得222433a

2、ca，可得33cea.故选：B12 原方程可以化成2lnxexyaey，取 2,1,4xexf xxe，ln,1,xg xaxex.22,1,4xexxfxxe，当1,0 x 时，0fx，故 f x 在1,0上为减函数；当0,2x时，0fx，故 f x 在0,2 上为增函数；当2,4x时，0fx，故 f x 在2,4 上为增函数；00f xf极小值，42f xfe极大值，23161,4fefe，21 ln,1,xgxxex，故 0gx，g x 在1,e 上为增函数.因为关于 x 的方程2lnxexyaey在1,4有三个不同的实数根，故 142gfg ef，故31614aeaee，解答3163a

3、ee，故选 A.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 在等差数列na中，若12345120aaaaa，则692aa _答案 2414 已知向量 a，b 夹角为 60，且|a|1，|2ab|2 3，则|b|解析：a，b 的夹角为 60，|a|1，ab|a|b|cos 60 12|b|，|2ab|244 12|b|b|212.|b|4.答案：415 在正方体1 111ABCDA B C D中，O 为底面 ABCD 的中心，M 为线段1CC 上的动点（不与两个端点重合），P 为线段 BM 的中点，则以下正确的是_(1).直线 DP 与 OM 是异面直线(2).三棱锥1BD

4、BM的体积是定值(3).存在点 M，使1AC 平面 BDM(4)存在点 M，使1AC 平面 BDM答案（2）（3）16已知点 4,0A，点 P 在抛物线2:8yx上运动，F 是抛物线 的焦点，连接 PF 并延长与圆22:(2)1Cxy 交于点 B，则2PAPB 的最小值是_.【答案】4【分析】求出焦点2,0F，设,P x y.表示出22|16|3PAxPBx，令3xt，换元根据基本不等式即可求出答案.【详解】由题意可知，抛物线28yx的焦点为2,0F.设点,P x y，则由抛物线的定义得2PFx，22222(4)816816PAxyxxxx.要使2PAPB 最小，则应有13PBPFx，此时有2

5、2|16|3PAxPBx.令3xt，则3xt ，22|(3)16|PAtPBt262525 6ttttt ，因为2|0|PAPB，显然有0t，则由基本不等式知2525210tttt，当且仅当25tt，即5t 时等号成立.故2|PAPB 的最小值为1064.故答案为：4.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 在等差数列 na中，44a，nS 为 na的前 n 项和，1055S，数列 nb满足2 12 221logloglog.2nn nbbb（）求数列 na和 nb的通项公式；（）求数列 1nn na b的前 n 项和nT.11131,104

6、555,nadadan212221logloglog2nn nbbb(1)21222112logloglog2nn nnbbb 当时，(2)（1）-(2)得2log,2 nnnbnb得当 n=1 时211log12bb，则满足上述式子 所以2nnb-6 分（2）12nnnnnca bn 122222nnTn 23122222122nnTnn 12132222nnnTn 123129nnnT 12 分18.如图，在多面体111ABCA B C-中，111/AABBCC，1AA 平面111A B C，111A B C为等边三角形，1112A BBB，13AA，11CC ，点 M 是 AC 的中点（

7、1）若点G 是111A B C的重心，证明；点G 在平面1BB M 内；（2）求二面角11BBMC的正切值证明：取 A 11C 中点 N，连接1B N，MN，如图所示，因为点 G 是111A B C的重心，故 G 一定在中线1B N 上，因为点 M 是 AC 的中点，点 N 是11AC 的中点，所以 MN 是梯形11AAC C 的中位线，所以111122MNAACCBB，且11MNAACC，又111AABBCC，所以1MNBB，所以四边形1BB NM 是平行四边形，因为点1GB N，1B N 平面1BB NM，所以点G平面1BB NM，即点G 在平面1BB M 内-5 分（2）以1A 为原点，

8、11A B 所在直线为 x 轴，垂直于11A B 的直线为 y 轴，1A A所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则11132,0,0,2,0,2,1,3,0,222BBCM，13333,2,02222MBMB，113,222MC，设平面1BMB 与平面1BMC 的法向量分别为111222,mx y znxy z，则1111133202233022xyzxy，不妨取11x .则1,3,0m，2222233022132022xyxyz，不妨取21,1,3,1xn，所以2 5cos,5m nm nm n ，故二面角11BBMC的正切值为 12-12 分19 为响应党中央“扶贫攻坚”的号

9、召，某企业指导一贫困村通过种植紫甘薯并通过网络直播来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据科学种植经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了一号实验田紫甘薯在温度升高时 6 组死亡的株数.温度 x/212324272930死亡数 y/株61120275777经计算，611266iixx，611336iiyy，61588iiixxyy，62184iixx，6213930iiyy，621393iiiyy，8.071e3200，其中ix，iy 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i.(1)若用一元线性回归模型，求 y 关于 x 的经验回归方程ybxa；(2)若

10、用非线性回归模型求得 y 关于 x 的非线性经验回归方程0.23060.06exy，且相关指数为20.9432R.（）试与（1）中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好；（ii）用拟合效果好的模型预测温度为 35时该批紫甘薯的死亡株数（结果取整数）.附：对于一组数据1122(,),(,),.,(,)nnx yxyxy其回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为：61621()()()iiiiixxyybxx，aybx；相关指数为：6221621()1()iiiiiyyRyy.【解析】(1)由题意可知611621588784iiiixxyybxx，33726149aybx ，y

11、 关于 x 的线性回归方程是 7149yx；-5 分(2)用指数回归模型拟合 y 与 x 的关系，相关指数20.9432R，线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，相关指数6221621110.93930393iiiiiyyRyy ，则0.90.9432，用 0.23060.06exy 比 7149yx拟合效果更好；-9 分 0.23060.06exy 中，令35x，则 0.2306 358.0710.06e0.06e0.06 3200192y，故预测温度为35 C 时该紫甘薯死亡株数约为 192 株.-12 分20.抛物线 C：220ypx p上的点01,My到抛物线 C 的焦点 F 的距离为

12、 2，AB（不与 O 重合）是抛物线 C 上两个动点，且OAOB.(1)求抛物线 C 的标准方程；(2)x 轴上是否存在点 P 使得2APBAPO？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由.【详解】（1）由抛物线的定义得122pMF ，解得2p，则抛物线C 的标准方程为24yx.-4 分（2）依题意知直线 OA 与直线 OB 的斜率存在，设直线 OA 方程为0ykx k，由OAOB得直线OB 方程为：1 yxk，由24ykxyx，解得244,A kk，由214yxkyx，解得 24,4Bkk由2APBAPO 得OPAOPB，假定在 x 轴上存在点 P 使得OPAOPB，设点 0,0P x

13、，则由（1）得直线 PA 斜率20024444PAkkkk xxk，直线 PB 斜率2044PBkkkx，由OPAOPB 得0PAPBkk，则有22004444kkk xkx，即220044k xkx，整理得20140kx，显然当04x 时，对任意不为 0 的实数k，20140kx恒成立，即当04x 时，0PAPBkk 恒成立，OPAOPB 恒成立，所以 x 轴上存在点 4,0P 使得2APBAPO.-12 分21设函数 2,1(xf xeg xkxk R）.（1）若直线 yg x和函数 yfx的图象相切，求k 的值；（2）当0k 时，若存在正实数m，使对任意0,xm都有 2f xg xx恒成

14、立，求k 的取值范围.【答案】（）2k；（）(4,).（1）设切点的坐标为2,tt e，由 2xf xe，得 22xfxe，所以切线方程为222ttyeex t ，即 y 2e2tx 1 2t e2t，由已知 y 2e2xx 1 2t e2x 和 y kx 1为同一条直线，所以2e2t k,1 2t e2t 1，令 hx 1 xe x，则hx xe x，当 x,0 时，hx 0,hx单调递增，当 x0,时，hx 0,hx 单调递减，所以hx h0 1，当且仅当 x 0 时等号成立，所以t 0,k 2.5 分（2）当2k 时，有（1）结合函数的图象知：存在00 x，使得对于任意00,xx，都有

15、f xg x，则不等式 2f xg xx等价 2g xf xx，即2210 xkxe，设2221,22xxtkxetke，由0t 得12ln22kx，由0t 得12ln22kx，若1224,ln022kk，因为0120,ln22kx，所以 t x 在120,ln22k 上单调递减，因为 00t，所以任意 120,ln,022kxt x，与题意不符，若1212124,ln0,0,ln,ln222222kkkk，所以 t x 在120,ln22k 上单调递增，因为 00t，所以对任意 120,ln,022kxt x符合题意，此时取120min 0,ln22km，可得对任意0,xm，都有 2f xg

16、 xx.当02k时，有（1）结合函数的图象知2210(0)xexx，所以 22121220 xxf xg xekxexk xk x 对任意0 x 都成立，所以 2f xg xx等价于2210 xekx，设 221xxekx，则 222xxek，由 0 x得 12ln,022kxx得，12ln22kx，所以 x在120,ln22k 上单调递减，注意到 00，所以对任意 120,ln,022kxx，不符合题设，总数所述，k 的取值范围为4,.-12 分22 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2221141txttyt，（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标

17、系，直线 l 的极坐标方程为 2cos3 sin110（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值（1）因为221111tt，且且22222222141211yttxtt，所以 C 的直角坐标方程为221(1)4yxx.cos,sinxyl 的直角坐标方程为23110 xy.-5 分（2）由（1）可设 C 的参数方程为cos,2sinxy（为参数，）.C 上的点到l 的距离为4cos11|2cos2 3sin11|377.当23 时，4cos113取得最小值 7，故 C 上的点到l 距离的最小值为 7.-10 分23 已知函数()|2|1|f xxm x.（1

18、）若2m ，求不等式()8f x 的解集；（2）若关于 x 的不等式()|3|f xm x 对于任意实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围.解：（1）当2m 时，34,2,(),21,34,1,xxf xxxxx 当2x时，34 8x ，解得4x；当 21x 时，不等式无解；当1x时，34 8x ，解得43x.综上，不等式的解集为4(,4,3.-5 分（2）由题意知，|2|(|1|3|)xm xx，所以|2|1|3|xmxx.记|2|()|1|3|xg xxx，则1,(,3 1,),2()2,(3,1),2xg xxx ，当 31x 时，22122322xxg xxx ，则 12g x，又当2x 时，min0g x，所以1()0,2g x，所以12m，所以实数 m 的取值范围为 1,2.-10 分