2024年九省联考新情境压轴题精选25题（学生版）.pdf

1、12024 年九省联考新情境压轴题精选 25 题一、填空题1(2024重庆市联考题)已知集合 M=x N|1 x 12，集合 A1,A2,A3满足每个集合都恰有 4 个元素；A1 A2 A3=M.集合 Ai(i=1,2,3)中元素的最大值与最小值之和称为集合 Ai的特征数，记为 Xi(i=1,2,3)，则 X1+X2+X3的最大值与最小值的差为.2(2024湖北省联考题)记maxxa,bf(x)，minxa,bf(x)分别表示函数 f(x)在 a,b 上的最大值和最小值则 minm-3,3 maxn0,9|m+n-2 n|=.3(2024广东省联考题)1643 年法国数学家费马曾提出了一个著名

2、的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于 120时，所求的点为三角形的正等角中心(即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角 120)，该点称为费马点.已知 ABC 中，其中 A=60，BC=1，P 为费马点，则 PB+PC-PA 的取值范围是.4(2024安徽省黄山市模拟题)剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术.其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等

3、多重社会价值.现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为 x23+y23=a23(a 0)的曲线 C(称为星形线)，则曲线 C 的内切圆半径为;以曲线 C 上点(m,n)(mn 0)为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于.2二、解答题5(2024湖北省联考题)记 A=l(x)|l(x)=kx+m,k,m R，若 l0(x)A，满足：对任意 l(x)A，均有maxxa,b|f(x)-l(x)|maxxa,b|f(x)-l0(x)|，则称 l0(x)为函数 f(x)在 x a,b 上“最接近”直线.已知函数g(x)=2lnx-x2+3，x r,s.(1)若 g(r)=g(s)=0，证明：对任意 l(

4、x)A，maxxr,s|g(x)-l(x)|1;(2)若 r=1，s=2，证明：g(x)在 x 1,2 上的“最接近”直线为：l0(x)=(2ln2-3)x-1+x02+2+g(x0)2，其中 x0(1,2)且为二次方程 2x2+(2ln2-3)x-2=0 的根.36(2024浙江省联考题)在微积分中，求极限有一种重要的数学工具-洛必达法则，法则中有一结论：若函数 f(x)，g(x)的导函数分别为 f(x)，g(x)，且limxa f(x)=limxa g(x)=0，则limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x).设 a 0，k 是大于 1 的正整数，若函数 f(x)满足：对任意 x

5、 0,a，均有 f(x)f xk成立，且limx0 f(x)=0，则称函数 f(x)为区间 0,a 上的 k 阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断 f(x)=x3-3x 是否为区间 0,3 上的 2 阶无穷递降函数;(2)计算：limx0(1+x)1x;(3)证明：sinxx-3 b 0)的离心率为63，直线 l 与 相切，与圆 O:x2+y2=3a2相交于 A，B 两点.当 l 垂直于 x 轴时，|AB|=2 6.(1)求 的方程;(2)对于给定的点集 M，N，若 M 中的每个点在 N 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为 d(M,N).(

6、)若 M，N 分别为线段 AB 与圆 O 上任意一点，P 为圆 O 上一点，当 PAB 的面积最大时，求 d(M,N);()若 d(M,N)，d(N,M)均存在，记两者中的较大者为 H(M,N).已知 H(X,Y)，H(Y,Z)，H(X,Z)均存在，证明：H(X,Z)+H(Y,Z)H(X,Y).58(2024全国模拟题)对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.若一个平面图形 K 在 m(旋转变换或反射变换)的作用下仍然与原图形重合，就称 K 具有对称性，并记 m为 K 的一个对称变换.例如，正三角形 R 在 m1(绕中心 O 作 120的旋转)的作用下仍然与 R 重合(如图 1 图2 所示)，

7、所以 m1是 R 的一个对称变换，考虑到变换前后 R 的三个顶点间的对应关系，记 m1=123312；又如，R 在 l1(关于对称轴 r1所在直线的反射)的作用下仍然与 R 重合(如图 1 图 3 所示)，所以 l1也是 R 的一个对称变换，类似地，记 l1=123132.记正三角形 R 的所有对称变换构成集合 S.一个非空集合 G 对于给定的代数运算。来说作成一个群，假如同时满足：.a,b G，ab G；.a,b,c G，abc=a bc；.e G，a G，ae=ea=a；.a G，a-1 G，aa-1=a-1a=e.对于一个群 G，称中的 e 为群 G 的单位元，称中的 a-1为 a 在群

8、 G 中的逆元.一个群 G 的一个非空子集 H 叫做 G 的一个子群，假如 H 对于 G 的代数运算 来说作成一个群.(1)直接写出集合 S(用符号语言表示 S 中的元素)；(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如 m 1=123312=132321=213132=231123=312231=321213.对于集合 S 中的元素，定义一种新运算*，规则如下：a1a2a3b1b2b3*b1b2b3c1c2c3=a1a2a3c1c2c3，a1,a2,a3=b1,b2,b3=c1,c2,c3=1,2,3.证明集合 S 对于给定的代数运算*来说作成一个群；已知 H 是群 G 的一个子群，e，e

9、 分别是 G，H 的单位元，a H，a-1，a 分别是 a 在群 G，群 H 中的逆元.猜想 e，e 之间的关系以及 a-1，a 之间的关系，并给出证明；写出群 S 的所有子群.图 1 图 2 图 369(2024福建省模拟题)对于函数 f(x)，若实数 x0满足 f(x0)=x0，则称 x0为 f(x)的不动点.已知 a 0，且 f(x)=12 lnx+ax2+1-a 的不动点的集合为 A.以 minM 和 maxM 分别表示集合 M 中的最小元素和最大元素.(1)若 a=0，求 A 的元素个数及 maxA;(2)当 A 恰有一个元素时，a 的取值集合记为 B.(i)求 B;(ii)若 a=

10、minB，数列 an 满足 a1=2，an+1=f(an)a，集合 Cn=nk=1|ak-1|,43，n N*.求证：n N*，maxCn=43.710(2024广东省汕头市模拟题)2023 年 11 月，我国教育部发布了中小学实验教学基本目录，内容包括高中数学在内共有 16 个学科 900 多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没

11、摘到.假设小明在果园中一共会遇到 n 颗番石榴(不妨设 n 颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前 k(1 k 100,bn=12203-n,1 n 500,0,n 500,dn=an bn，证明：d200 n-14n+2.1215(2024河南省开封市模拟题)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA 加密算法中的应用.设 p，q 是两个正整数，若 p，q 的最大公约数是 1，则称 p，q 互索.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过 n 且与 n 互素的正整数的

12、个数，记为(n).(1)试求(3)，(9)，(7)，(21)的值;(2)设 n 是一个正整数，p，q 是两个不同的素数，试求(3n)，(pq)与(p)和(q)的关系;(3)RSA 算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体而言：准备两个不同的、足够大的素数 p，q;计算 n=pq，欧拉函数(n);求正整数 k，使得 kq 除以(n)的余数是 1;其中(n,q)称为公钥，(n,k)称为私钥.已知计算机工程师在某 RSA 加密算法中公布的公钥是(187,17).若满足题意的正整数 k 从小到大排列得到一列数记为数列 bn，数列 cn 满足 80cn=bn+47，求数列 ta

13、ncn tancn+1 的前 n 项和 Tn.1316(2024河南省模拟题)若函数 f(x)的定义域、值域都是有限集合 A=a1,a2,，an，n N*，则定义 f(x)为集合 A 上的有限完整函数已知 g(x)是定义在有限集合 M=1,2,3,4,5,6,7 上的有限完整函数(1)求7i=1i g(i)的最大值；(2)当 i=1，2，3，4 时，均有 g(i)g(i+1)，求满足条件的 g(x)的个数；(3)对于集合 M 上的有限完整函数 g(x)，定义“闭环函数”如下：g1(x)=g(x)，对 k N*，且 k 6，gk+1(x)=g(gk(x)(注：g7k+i(x)=gi(x)，k N

14、*，i=1，2，7).若 x M，m N*，g1(x)=g1+m(x)，则称 g(x)为“m 阶闭环函数”证明：存在一个闭环函数 g(x)既是 3 阶闭环函数，也是 4 阶闭环函数(用列表法表示g(x)的函数关系).1417(2024广东省联考题)如图，已知椭圆 的短轴长为 4，焦点与双曲线x24-t-y2t=1 的焦点重合.点 P 4,0，斜率为 12 的直线 l1与椭圆 交于 A,B 两点.(1)求常数 t 的取值范围，并求椭圆 的方程.(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)极点与极线是法国数学家吉拉德 迪沙格于 1639 年在射影几何学的奠基之作圆锥曲

15、线论稿中正式阐述的.对于椭圆:x2a2+y2b2=1，极点 P x0,y0(不是原点)对应的极线为 lP:x0 xa2+y0yb2=1，且若极点 P 在 x 轴上，则过点 P 作椭圆的割线交 于点 A1,B1，则对于 lP上任意一点 Q，均有 kQA1+kQB1=2kPQ(当斜率均存在时).已知点 Q 是直线 l1上的一点，且点 Q 的横坐标为 2.连接 PQ 交 y 轴于点 E.连接 PA,PB 分别交椭圆 于 M,N 两点.设直线 AB、MN 分别交 y 轴于点 D、点 T，证明：点 E 为 D、T 的中点；证明直线：MN 恒过定点，并求出定点的坐标.1518(2024福建省联考题)已知集

16、合 Sn=X X=x1,x2,xn,xi 0,1,i=1,2,n，其中 n 2.对于 A=a1,a2,an，B=b1,b2,bn Sn，定义 A 与 B 之间的距离为 d A,B=ni=1ai-bi.(1)记 I=1,1,1,1 S4，写出所有 A S4使得 d I,A=3；(2)记 I=1,1,1 Sn，A、B Sn，并且 d I,A=d I,B=p n，求 d A,B的最大值；(3)设 P Sn，P 中所有不同元素间的距离的最小值为 k，记满足条件的集合 P 的元素个数的最大值为 m，求证：m 2nC0n+C1n+Ck-1n.1619(2024安徽省黄山市模拟题)取整函数被广泛应用于数论、

17、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设 x R，不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 x，函数 y=x 称为取整函数.另外也称 x 是 x的整数部分，称 x=x-x 为 x 的小数部分.(1)直接写出 ln 和-34的值;(2)设 a，b N*，证明：a=b ab+b ab，且 0 b ab b-1，并求在 b 的倍数中不大于 a 的正整数的个数;(3)对于任意一个大于 1 的整数 a，a 能唯一写为 a=pa11 pa22 pakk，其中 pi为质数，ai为正整数，且对任意的 i j，都有 pi 1,n N*)的指数(Textranslationfailed)1720(2024湖南

18、省联考题)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 x=ty+1 表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线(1)若圆 C1：x2+y2=1 是直线族 mx+ny=1(m,n R)的包络曲线，求 m，n 满足的关系式；(2)若点 P(x0,y0)不在直线族：(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(a R)的任意一条直线上，求 y0的取值范围和直线族 的包络曲线 E；(3)在(2)的条件下，过曲线 E 上 A，B 两点作曲线 E 的切线 l1，l2，其交点为 P.已知点 C(0,1)，若 A

19、，B，C三点不共线，探究 PCA=PCB 是否成立？请说明理由1821(2024山东省日照市模拟题)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 12 经过点 F1且倾斜角为 0 2的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点(其中点 A 在 x 轴上方)，且ABF2的周长为 8.将平面 xOy 沿 x 轴向上折叠，使二面角 A-F1F2-B 为直二面角，如图所示，折叠后 A，B 在新图形中对应点记为 A，B.(1)当 =3 时，求证：AO BF2；求平面 AF1F2和平面 ABF2所成角的余弦值；(2)是否存在 0 an，则称 n 是数列 A 的一个“D

20、 时刻”.记 D(A)是数列 A 的所有“D 时刻”组成的集合，D(A)的元素个数记为 card(D,A).(1)对数列 A:-1，1，-2，2，-3，3，写出 D(A)的所有元素;(2)数列 A:a1，a2，a6满足 a1,a2,a6=1,2,3,4,5,6，若 card(D,A)=4，求数列 A 的种数.(3)证明：若数列 A 满足 an-an-1-1(n=2,3,4,N)，则 card(D,A)a1-aN.2023(2024江苏省徐州市模拟题)对于每项均是正整数的数列 P：a1，a2，an，定义变换 T1，T1将数列P 变换成数列 T1(P)：n，a1-1，a2-1，an-1.对于每项均

21、是非负整数的数列 Q：b1，b2，bm，定义 S(Q)=2 b1+2b2+mbm+b21+b22+b2m，定义变换 T2，T2将数列 Q 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 T2(Q).(1)若数列 P0为 2，4，3，7，求 S(T1(P0)的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列 P0，令 Pk+1=T2(T1(Pk)，k N.()探究 S(T1(P0)与 S(P0)的关系；()证明：S(Pk+1)S(Pk).2124(2024湖南省张家界市模拟题)每个大于 1 的自然数 n 均可写成素数乘积的形式 n=pk11 pk22 pkmm，其中 m N*，k1，k2，km N，p1

22、，p2，pm是互不相同的素因数，若存在 ki 2(1 i m)，则称 n 有素数平方因子.定义在 N*上的莫比乌斯函数(m)=0,若 m 有素数平方因子1,若 m=1(-1)r,若 m 是 r 个不同素数之积，例如(15)=(3 5)=(-1)2=1，(50)=(2 52)=0.d|ng(d)表示 d 取遍 n 的所有正整数因子时对 g(d)求和，例如当 g(n)=n 时，d|6g(d)=d|6d=1+2+3+6=12.(1)求(2025)，(105);(2)当 n N*且 n 2 时，求 d|n(d);(3)假设 f(x)和 g(x)是定义在 N*上的函数，满足 f(n)=d|ng(d)=d|ng nd.求证：g(n)=d|n(d)f nd.2225(2024浙江省联考题)在平面直角坐标系 xOy 中，我们把点(x,y),x,y N*称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点(x,y)进行赋值记为 P(x,y)，例如 P(2,3)=8，P(4,2)=14,P(2,5)=17.(I)求 P(x,1);(II)求证：2P(x,y)=P(x-1,y)+P(x,y+1);(III)如果 P(x,y)满足方程 P(x+1,y-1)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2024，求 P(x,y)的值.