2021年浙江省绍兴市中考数学试卷.docx

1、2021年浙江省绍兴市中考数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分。请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分）1（4分）（2021绍兴）实数2，0，中，最小的数是A2B0CD2（4分）（2021绍兴）第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5270000人，这个数字5270000用科学记数法可表示为ABCD3（4分）（2021绍兴）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是ABCD4（4分）（2021绍兴）在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为ABCD5（4分）（202

2、1绍兴）如图，正方形内接于，点在上，则的度数为ABCD6（4分）（2021绍兴）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是A有最大值4B有最小值4C有最大值6D有最小值67（4分）（2021绍兴）如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是ABCD8（4分）（2021绍兴）如图，菱形中，点从点出发，沿折线方向移动，移动到点停止在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是A直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形B直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形C直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形D等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形9（4分）（202

3、1绍兴）如图，中，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰三角形，使，连结，则的值为ABCD210（4分）（2021绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形下面说法正确的是A用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11（5分）（2021绍兴）分解因式： 12（5分）（2021绍兴）我国明代数学读本算法统宗有一道题，其题意为：客人一起

4、分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两银子共有两13（5分）（2021绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形的对角线上，时钟中心在矩形对角线的交点上若，则长为（结果保留根号）14（5分）（2021绍兴）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则的度数是15（5分）（2021绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点，在第一象限，顶点的坐标，反比例函数（常数，的图象恰好经过正方形的两个顶点，则的值是16（5分）（2021绍兴）已知与在同一平面内，点，不重合，则长为 三、解答题（本大题有8小题，第1720小题每小题8分，第

5、21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程17（8分）（2021绍兴）（1）计算：（2）解不等式：18（8分）（2021绍兴）绍兴莲花落，又称“莲花乐”，“莲花闹”，是绍兴一带的曲艺为了解学生对该曲种的熟悉度，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中的一项，并将抽查结果绘制成不完整的统计图根据图中信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图2中“了解”的扇形圆心角的度数；（2）全校共有1200名学生，请你估计全校学生中“非常了解”、“了

6、解”莲花落的学生共有多少人19（8分）（2021绍兴）号无人机从海拔处出发，以的速度匀速上升，号无人机从海拔处同时出发，以的速度匀速上升，经过两架无人机位于同一海拔高度无人机海拔高度与时间的关系如图两架无人机都上升了（1）求的值及号无人机海拔高度与时间的关系式；（2）问无人机上升了多少时间，号无人机比号无人机高28米20（8分）（2021绍兴）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为，底座固定，高为，连杆长度为，手臂长度为点，是转动点，且，与始终在同一平面内（1）转动连杆，手臂，使，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：，（2）物品在操作台上，距离底座端的点处，转动

7、连杆，手臂，手臂端点能否碰到点？请说明理由21（10分）（2021绍兴）如图，在中，点，分别在边，上，连结，（1）若，求，的度数；（2）写出与之间的关系，并说明理由22（12分）（2021绍兴）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体是抛物线的一部分，抛物线的顶点在轴上，杯口直径，且点，关于轴对称，杯脚高，杯高，杯底在轴上（1）求杯体所在抛物线的函数表达式（不必写出的取值范围）；（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长23（12分）（2021绍兴）问题：如图，在中

8、，的平分线，分别与直线交于点，求的长答案：探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变当点与点重合时，求的长；当点与点重合时，求的长（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点，相邻两点间的距离相等时，求的值24（14分）（2021绍兴）如图，矩形中，点是边的中点，点是对角线上一动点，连结，作点关于直线的对称点（1）若，求的长；（2）若，求的长；（3）直线交于点，若是锐角三角形，求长的取值范围2021年浙江省绍兴市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分。请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分）1（4分）（2021

9、绍兴）实数2，0，中，最小的数是A2B0CD【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，即可判断出最小的数【解答】解：，最小的数是，故选：【点评】本题考查了实数的比较大小，注意负数比较大小，绝对值大的反而小2（4分）（2021绍兴）第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5270000人，这个数字5270000用科学记数法可表示为ABCD【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可【解答】解：故选：【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键3（4分）（2021绍兴）如图的几何体由五个

10、相同的小正方体搭成，它的主视图是ABCD【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边一个小正方形，故选：【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图4（4分）（2021绍兴）在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为ABCD【分析】用白球的数量除以所有球的数量即可求得白球的概率【解答】解：袋子中共有6个小球，其中白球有1个，摸出一个球是白球的概率是，故选：【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结

11、果，那么事件的概率（A）5（4分）（2021绍兴）如图，正方形内接于，点在上，则的度数为ABCD【分析】根据正方形的性质得到弧所对的圆心角为，则，然后根据圆周角定理求解【解答】解：连接、，如图，正方形内接于，弧所对的圆心角为，故选：【点评】本题考查了圆周角定理和正方形的性质，确定弧所对的圆心角为，是本题解题的关键6（4分）（2021绍兴）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是A有最大值4B有最小值4C有最大值6D有最小值6【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的【解答】解：二次函数，该函数图象开口向上，有最小值，当

12、取得最小值6，故选：【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值7（4分）（2021绍兴）如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是ABCD【分析】利用相似三角形的性质求解即可【解答】解：，故选：【点评】本题考查中心投影以及相似三角形的应用测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决8（4分）（2021绍兴）如图，菱形中，点从点出发，沿折线方向移动，移动到点停止在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是A直角三角形等边

13、三角形等腰三角形直角三角形B直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形C直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形D等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形【分析】把点从点出发，沿折线方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可【解答】解：，故菱形由两个等边三角形组合而成，当时，此时为等腰三角形；当点到达点处时，此时为等边三角形；当点在上且位于的中垂线时，则为等腰三角形；当点与点重合时，此时为等腰三角形，故选：【点评】本题主要考查了菱形的性质，涉及到等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，题目有一定的综合性，难度适中9（4分）（2021绍兴）如图，中，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰三角

14、形，使，连结，则的值为ABCD2【分析】设交于，过点作于首先证明，再证明，可得结论【解答】解：设交于，过点作于，故选：【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明，属于中考常考题型10（4分）（2021绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形下面说法正确的是A用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形【分析】根据题意画出图形

15、，从图形中找到出现的菱形的个数即可【解答】解：如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，故选：【点评】本题主要考查菱形在实际生活中的应用，解题的关键是根据题意画出图形并熟练掌握菱形的判定二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11（5分）（2021绍兴）分解因式：【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解【解答】解：故答案为：【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键（1）

16、三项式；（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）12（5分）（2021绍兴）我国明代数学读本算法统宗有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两银子共有46两【分析】通过设两个未知数，可以列出银子总数相等的二元一次方程组，本题得以解决【解答】解：设有人，银子两，由题意得：，解得，故答案为46【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组13（5分）（2021绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形的对角线上，时钟中心在矩形

17、对角线的交点上若，则长为（结果保留根号）【分析】根据题意即可求得，即可求得，由矩形的性质结合平行线的性质可求得，利用含 角的直角三角形的性质可求解【解答】解：过点作，垂足分别为，由题意知，在矩形中，故答案为【点评】本题考查的矩形的性质、钟面角，含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键14（5分）（2021绍兴）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则的度数是或【分析】根据等腰三角形的性质可以得到各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出的度数即可【解答】解：如右图所示，当点在点的左侧时，；当点在点的右侧时，；由上可得，的

18、度数是或，故答案为：或【点评】本题考查等腰三角形的性质、圆的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答15（5分）（2021绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点，在第一象限，顶点的坐标，反比例函数（常数，的图象恰好经过正方形的两个顶点，则的值是5或22.5【分析】作轴于，轴于，过点作轴的平行线，交于，交于，通过证得三角形全等表示出、的坐标，然后根据反比例函数系数即可求得结果【解答】解：作轴于，轴于，过点作轴的平行线，交于，交于，正方形中，在和中，顶点的坐标，同理：，设，当反比例函数（常数，的图象经过点、时，则；当反比例函数（常数，的图象经过点、时，

19、则，解得，故答案为5或22.5【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键16（5分）（2021绍兴）已知与在同一平面内，点，不重合，则长为 或4或【分析】分,在的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形【解答】解：如图，当,同侧时，过点作于在中，,，,，是等腰直角三角形，当,异侧时，过作于，是等边三角形，,，在中，是等边三角形，的长为或4或故答案为：或4或【点评】本题考查直角三角形角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题三、解

20、答题（本大题有8小题，第1720小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程17（8分）（2021绍兴）（1）计算：（2）解不等式：【分析】（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用开平方法则化简，最后一项利用零指数幂的意义化简，计算即可得到结果；（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1可得【解答】解：（1）原式；（2），去括号得：，移项得：，合并同类项得：，解得：【点评】本题主要考查实数的运算与解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质18（8

21、分）（2021绍兴）绍兴莲花落，又称“莲花乐”，“莲花闹”，是绍兴一带的曲艺为了解学生对该曲种的熟悉度，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中的一项，并将抽查结果绘制成不完整的统计图根据图中信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图2中“了解”的扇形圆心角的度数；（2）全校共有1200名学生，请你估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有多少人【分析】（1）从两个统计图中可知，在抽查人数中，“非常了解”的人数为30人，占调查人数的，可求出接受问卷调查的学生数，进而求出“了解”所占比例，即可得出“

22、了解”的扇形圆心角的度数；（2）样本中“非常了解”、“了解”的占调查人数的，进而估计总体中“非常了解”和“了解”的人数【解答】解：（1）接受问卷调查的学生数：（人，“了解”的扇形圆心角度数为；答：本次接受问卷调查的学生有200人，图2中“了解”的扇形圆心角的度数为；（3）（人，答：估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有600人【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图的意义，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法19（8分）（2021绍兴）号无人机从海拔处出发，以的速度匀速上升，号无人机从海拔处同时出发，以的速度匀速上升，经过两架无人机位

23、于同一海拔高度无人机海拔高度与时间的关系如图两架无人机都上升了（1）求的值及号无人机海拔高度与时间的关系式；（2）问无人机上升了多少时间，号无人机比号无人机高28米【分析】（1）由题意得：；再用待定系数法求出函数表达式即可；（2）由题意得：，即可求解【解答】解：（1），设函数的表达式为，将、代入上式得，解得，故函数表达式为；（2）由题意得：，解得，故无人机上升，号无人机比号无人机高28米【点评】本题考查的是一次函数的应用，根据题意确定和的表达式是本题解题的关键20（8分）（2021绍兴）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为，底座固定，高为，连杆长度为，手臂长度为点，是转动点，且，

24、与始终在同一平面内（1）转动连杆，手臂，使，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：，（2）物品在操作台上，距离底座端的点处，转动连杆，手臂，手臂端点能否碰到点？请说明理由【分析】（1）过点作于点，过点作于点，在中，再根据可得答案；（2）当，共线时，根据勾股定理可得的长，进而可进行判断【解答】解：（1）过点作于点，过点作于点，如图：，在中，（2）当，共线时，如图：，在中，手臂端点能碰到点【点评】本题考查解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线构造直角三角形是解题关键21（10分）（2021绍兴）如图，在中，点，分别在边，上，连结，（1）若，求，的度数；（2）写出与之间的关系，并说

25、明理由【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角定理得到，推出是等边三角形，得到，于是得到结论；（2）设，由于，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，于是得到结论【解答】解：（1），是等边三角形，；（2）与之间的关系：，理由：设，在中，在中，【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键22（12分）（2021绍兴）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体是抛物线的一部分，抛物线的顶点在轴上，杯口直径，且点，关于轴对称，杯脚高，杯高，杯底在轴上（1）求杯体所在抛物线的函数表达式

26、（不必写出的取值范围）；（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长【分析】（1）运用待定系数法，由题意设顶点式，进而求得答案；（2）由题意知：，进而求得，再由题意得抛物线过，从而列方程求出和，进而求得的长【解答】解：（1），顶点，设抛物线的函数表达式为，将代入，得：，解得：，该抛物线的函数表达式为；（2）由题意得：，又杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，设，当时，解得：，杯口直径的长为【点评】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键23（

27、12分）（2021绍兴）问题：如图，在中，的平分线，分别与直线交于点，求的长答案：探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变当点与点重合时，求的长；当点与点重合时，求的长（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点，相邻两点间的距离相等时，求的值【分析】（1）证，得，同理，即可求解；由题意得，再由，即可求解；（2）分三种情况，由（1）的结果结合点，相邻两点间的距离相等，分别求解即可【解答】解：（1）如图1所示：四边形是平行四边形，平分，同理：，点与点重合，；如图2所示：点与点重合，点与点重合，；（2）分三种情况：如图3所示：同（1）得：，点，相邻两点间的距离相等，；如图4所

28、示：同（1）得：，；如图5所示：同（1）得：，；综上所述，的值为或或2【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键24（14分）（2021绍兴）如图，矩形中，点是边的中点，点是对角线上一动点，连结，作点关于直线的对称点（1）若，求的长；（2）若，求的长；（3）直线交于点，若是锐角三角形，求长的取值范围【分析】（1）由题意得点在上，根据含直角三角形的性质即可求解；（2）由对称可得是等腰三角形，分两种情况画出图形，根据含直角三角形的性质即可求解；（3）分两种情况画出图形，根据中点的定义以及直角三角形的性质分别求出、的值，即可得出的值，结合（2）中求得的的值即可得出答案【解答】解：（1）点、点关于直线的对称，点在上，四边形是矩形，点是边的中点，；（2）如图2，由对称可得，平分，是等腰三角形，；如图3，由对称可得，平分，是等腰三角形，；的长为2或6；（3）由（2）得，当时，（如图或6（如图，当时，第一种情况，如图4，平分，过点作于点，设，则，；第二种情况，如图5，平分，过点作于点，设，则，最大值为8，综上，长的取值范围为或【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、对称的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题