2022-2023学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理综合测评试题（详解版）.docx

1、北师大版八年级数学上册第一章勾股定理综合测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且ADBE，垂足为点F，设BCa，ACb，ABc，则下列

2、关系式中成立的是（）Aa2+b25c2Ba2+b24c2Ca2+b23c2Da2+b22c22、我国古代数学名著算法统宗有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（）ABCD3、如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（）A160B1

3、50C140D1304、如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为()A9B8C27D455、如图，正方形ABCD中，AB12，将ADE沿AE对折至AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（）A2B3C4D56、在ABC中，A，B，C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A如果AB=C，那么ABC是直角三角形B如果a2=b2c2，那么ABC是直角三角形，且C=90C如果ABC=132，那么ABC是直角三角形D如果a2b2c2=91625，那么ABC是直角三角形7、如图，在由边长为1

4、的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上若再选择一个格点C，使ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（）A2B4C5D68、如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的 东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则 水管AB的长为（）A40mB45mC30mD35m9、如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两直角边分别是a、b，且，大正方形的面积是9，则小正方形的面积是（）A3B4C5D610、九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一

5、丈（一丈10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，将一个长方形纸片沿折叠，使C点与A点重合，若，则线段的长是_2、公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角的正切为，那么大正方形的面积是_3、如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A

6、的连线折叠，点B是点B的对应点，延长EB交DC于点G，BGcm，则ECG的面积为_cm24、如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了_米5、在RtABC中，C=90，且ACBC=17，AB=100米，则AC=_米三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？2、如图，烟台市正政府决定在相距50km的A、B两村之间的公路旁E点，修建

7、一个大樱桃批发市场，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DAAB于A，CBAB于B，DA30km，CB20km，那么大樱桃批发市场E应建什么位置才能符合要求？3、阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：（a+b）2c2+4ab，化简证得勾股定理：a2+b2c2【初步运用】（1）如图1，若b2a，则小正方形面积：大正方形面积 ；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a4，b6，此时空白部分的面积为 ；（3）如图3，将这

8、四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC3，求该风车状图案的面积（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S340，则S2 【迁移运用】如果用三张含60的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程4、有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m当它听到巢中幼鸟的叫声

9、，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？5、如图，将RtABC纸片沿AD折叠，使直角顶点C与AB边上的点E重合，若AB10cm，AC6cm，求线段BD的长-参考答案-一、单选题1、A【解析】【详解】设EFx，DFy，根据三角形重心的性质得AF2y，BF2EF2x，利用勾股定理得到4x2+4y2c2，4x2+y2b2，x2+4y2a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系【解答】解：设EFx，DFy，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，点F为ABC的重心，AFACb，BDa，AF2DF2y，BF2EF2x，ADBE，AFBAFEBFD90，在Rt

10、AFB中，4x2+4y2c2，在RtAEF中，4x2+y2b2，在RtBFD中，x2+4y2a2，+得5x2+5y2（a2+b2），4x2+4y2（a2+b2），得c2（a2+b2）0，即a2+b25c2故选：A【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 也考查了勾股定理2、C【解析】【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论【详解】解：由题意知：OC=x-（5-1），PC=10，OP=x，在RtOCP中，由勾股定理得：x-（5-1）2+102=x2即故选：C【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意是解题的关键3、A【解析】【分析】作点A关于直线MN的

11、对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在中，根据勾股定理得，即PA+PB的最小值是；如图所示，延长AB交MN于点，当点P运动到点时，最大，过点B作，则， ，在中，根据勾股定理得，即，故选A【考点】本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系4、A【解析】【

12、分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4=x-3，求出即可【详解】正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，根据图形得：2+4=x3解得：x=9故选A【考点】本题考查了勾股定理，根据图形推出四个正方形的关系是解决问题的关键5、C【解析】【分析】连接AG，证明ABGAFG，得到FGBG，ADE沿AE对折至AEF，则EFDE，设DEx，则EFx，EC12x，则RtEGC中根据勾股定理列方程可求出DE的值【详解】如图，连接AG，四边形ABCD是正方形，ABCD90，ABBCCDAD12ADE沿AE对折至AEF，EFDE，AFAD，AFAD，ABAD，AFAB，又AG是公共边，ABGAFG（H

13、L），G刚好是BC边的中点，BGFG， 设DEx，则EFx，EC12x，在RtEGC中，根据勾股定理列方程：62（12x）2(x6)2解得：x4所以ED的长是4，答案选C【考点】本题考查了正方形和全等三角形的综合知识，根据勾股定理列方程是本题的解题关键6、B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形定义即可【详解】解：A、A-B=C，ABC，ABC=180，A=90，ABC是直角三角形，此选项正确；B、如果a2=b2-c2，a2+c2=b2，ABC是直角三角形且B=90，此选项不正确；C、如果A：B：C=1：3：2，设A=x，则B=3x，C=2x，则x+3x+2x=18

14、0，解得：x=30，则3x=90，ABC是直角三角形，此选项正确；D、如果a2：b2：c2=9：16：25，则a2+b2=c2，ABC是直角三角形，此选项正确；故选：B【考点】本题考查了三角形内角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形7、D【解析】【分析】分三种情况讨论，当A=90，或B=90，或C=90时，分别画出符合条件的图形，即可解答【详解】解：分三种情况讨论，当A=90，或B=90，或C=90如图 符合条件的格点C的个数是6个故选：D【考点】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90等知识，是

15、基础考点，掌握相关知识是解题关键8、C【解析】【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可【详解】解：OA是东北方向，OB是东南方向，AOB=90，又OA=24m，OB=18m，30m故选：C【考点】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键9、A【解析】【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积4个直角三角形的面积，利用已知(a+b)2=15，大正方形的面积为9，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案【详解】解：(a+b)2=15，a2+2ab+b2=15，大正方形的面积为：a2+b2=

16、9，2ab=159=6，即ab=3，直角三角形的面积为：，小正方形的面积为：，故选：A【考点】此题主要考查了完全平方公式及勾股定理的应用，熟练应用完全平方公式及勾股定理是解题关键10、D【解析】【分析】先画出三角形，根据勾股定理和题目设好的未知数列出方程【详解】解：如图，根据题意，设折断处离地面的高度是x尺，即，根据勾股定理，即故选：D【考点】本题考查勾股定理的方程思想，解题的关键是根据题意利用勾股定理列出方程二、填空题1、【解析】【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可求得【详解】解：长方形纸片，根据折叠的性质可得，设，根据勾股定理，即，解得，故答案为：【考点】本题考查折叠与勾股定理能正确表示直

17、角三角形的三边是解题关键2、169【解析】【分析】由题意知小正方形的边长为7设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，运用正切函数定义求解【详解】解：由题意知，小正方形的边长为7，设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，则tan短边：长边a：b5：12所以ba，又以为ba+7，联立，得a5，b12所以大正方形的面积是：a2+b225+144169故答案是：169【考点】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积是解题的关键.3、【解析】【分析】根据翻折的性质可知ABE和ABE全等，则BEBE，连接AG，可证ABGADG，则DG B

18、G cm，CG10DG cm，在RtECG中，设BEx cm，根据勾股定理列出方程，可求出BE的值，从而求出CE，最后由三角形面积公式求出ECG的面积.【详解】根据翻折的性质可知ABE和ABE全等，BEBE，连接AG，如图，A BAD，AGAG，RtABGRtADG，DGBG cm，CG10DG cm，在RtECG中，设BEx cm，则CE(10x)cm，EG BE BG(x)cm,根据勾股定理列出方程，CE2CG2EG2,即,解得：x2,所以BE2 cm，CE1028 (cm)， ECG的面积(cm2) 故答案为：.【考点】本题考查了勾股定理的应用，结合全等的知识找出题中的线段之间的关系是本

19、题的解题关键.4、9【解析】【分析】在RtABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长【详解】在RtABC中：CAB90，BC17米，AC8米，AB15（米），CD10（米），AD6（米），BDABAD1569（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9【考点】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用5、【解析】【分析】首先根据BC，AC的比设出BC，AC，然后利用勾股定理列式计算求得a，即可求解【详解】解：ACBC=17，设AC=a，则BC=7

20、a，C=90，AB2=AC2+BC2，1002=a2+(7a)2，解得：a=10，AC=10米故答案为：10【考点】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键三、解答题1、（1）12米；（2）7米【解析】【分析】（1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解；（2）由题意得CO= 5米，然后根据勾股定理可得求解【详解】解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，在Rt，由勾股定理得：AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，解得AO=12米，答：这个梯子的顶端距地面有12米高；（2）由题意得，AC=7米，由（1）得AO=12米，CO=

21、AO-AC=12-7=5米，在Rt，由勾股定理得：OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，解得OD=12米BD=OD-OB=12-5=7米，答：梯子的底端在水平方向滑动了7米【考点】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键2、大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方【解析】【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方分别求出和，列等式求解即可【详解】解：设大樱桃批发市场E应建在离A站x千米的地方，则千米在直角中，根据勾股定理得：，在直角中，根据勾股定理得：，又C、D两村到E点的距离相等，所以，解得大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方【考点】本题考查勾股

22、定理的实际应用，掌握两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键3、【初步运用】（1）5：9；（2）28；（3）24；（4）；【迁移运用】a2+b2abc2，证明见解析【解析】【分析】初步运用：（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可；（2）根据空白部分的面积=小正方形的面积2个直角三角形的面积计算即可；（3）可设AC=x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可迁移运用：根据大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形

23、面积，构建关系式即可【详解】解：【初步运用】（1）由题意：b=2a，c=，小正方形面积：大正方形面积=5a2：9a2=5：9，故答案为：5：9；（2）空白部分的面积为=52246=28，故答案为：28；（3）244=6，设AC=x，依题意有：（x+3）2+32=（6x）2，解得x=1，面积为：（3+1）34=434=24，故该飞镖状图案的面积是24；（4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=40，S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，S1+S2+S3=3x+12y=

24、40，x+4y=，S2=x+4y=，故答案为：；迁移运用结论：a2+b2ab=c2理由：由题意：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，可得：（a+b）k（a+b）=3bka+cck，（a+b）2=3ab+c2，a2+b2ab=c2【考点】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键4、它至少需要5.2s才能赶回巢中【解析】【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答【详解】解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24过A作AECD于E则CE=13-3=10，AE=24，在RtAEC中，5、5【解析】【分析】利用勾股定理先求出的值，根据折叠的性质可得出， ，设，列方程求解即可【详解】解：由题意可知：，则，设，则，解方程得：因此，的长为所以，【考点】本题考查的知识点是勾股定理的应用，根据题意构造直角三角形是解此题的关键