2022-2023学年高中数学湘教版2019选择性必修第一册同步练习 第3章 直线与椭圆的位置关系 WORD版含解析.docx

1、培优课直线与椭圆的位置关系A级必备知识基础练1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:x225+y236=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1B.1或2C.2D.02.直线y=x+1被椭圆x24+y22=1截得的弦的中点的坐标是()A.23,53B.43,73C.-23,13D.-132,-1723.(2022四川成都蓉城名校联盟高二期中)直线y=x+m与椭圆x22+y2=1交于A,B两点,若弦长|AB|=423,则实数m的值为()A.12B.1C.32D.24.(多选题)已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)截得的弦长为2 023,则下列直线被椭圆C截得

2、的弦长一定为2 023的有()A.y=2x-3B.y=2x+1C.y=-2x-3D.y=-2x+35.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的标准方程为.6.若P,Q是椭圆C:x24+y23=1上的动点,则|PQ|的最大值为.B级关键能力提升练7.已知椭圆x24+y2b2=1(0b0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为.11.(2022云南昆明一中高二期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距是22,长轴长是4.

3、(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F1(-2,0)作斜率为2的直线l交椭圆C于M,N两点,F2(2,0)是椭圆的右焦点,求F2MN的面积.C级学科素养创新练12.(2022四川阆中中学高二期中)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,短轴长为23.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知直线l:x-y+27=0,椭圆C上是否存在一点,它到直线l的距离最大?最大距离是多少?参考答案培优课直线与椭圆的位置关系1.C因为直线过定点(3,-1)且3225+(-1)236b0)关于原点、x轴、y轴对称,直线y=2x+3关于原点、x轴、y轴对称的直线分别为y=2

4、x-3,y=-2x-3,y=-2x+3,选项A,C,D中的直线被椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)截得的弦长一定为2023,故选ACD.5.x24+y23=1设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且|AB|=3,所以b2a=32.又b2=a2-c2,所以a2=4,b2=3,椭圆的标准方程为x24+y23=1.6.4由于椭圆中长轴是最长的弦,所以|PQ|max=4.7.D由题意|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8.|AF2|+|BF2|的最大值为5,|AB|的最小值为3.当且仅当ABx轴时,|AB|取得最小值

5、,此时两交点坐标为-c,32,-c,-32,代入椭圆方程可得c24+94b2=1,利用c2=4-b2,0b2,解得b=3.8.B依题意可得F(-1,0),设P(x,y),则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.因为x22+y2=1,所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,故当x=-1时,|OP|2+|PF|2取最小值,最小值等于2.9.-13依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45(x-1),即y=x-1.将y=x-1代入椭圆方程x22+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=43.所以

6、两个交点坐标为(0,-1),43,13,所以OAOB=(0,-1)43,13=-13.10.-9易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入9x2+y2=m2,得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,得xM=x1+x22=-kbk2+9,yM=kxM+b=9bk2+9,故直线OM的斜率kOM=yMxM=-9k,则kOMk=-9,所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为-9.11.解(1)因为2c=22,2a=4,a2=b2+c2,所以a2=4,b2=2,所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1

7、.(2)由题意可知直线MN的方程为y=2(x+2),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线方程与椭圆方程可得5x2+82x+4=0,所以x1+x2=-825,x1x2=45.所以|MN|=1+(2)2(x1+x2)2-4x1x2=312825-165=125.又因为F2(2,0)到直线MN的距离d=|22-0+2|1+2=433,所以F2MN的面积为S=|MN|d2=12543312=835.12.解(1)由题意可得2b=23,ca=12,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,c=1,所以椭圆的标准方程为x24+y23=1.(2)设平行于直线l的直线l的方程为x-y+m=0.联立x24+y23=1,x-y+m=0,消去y得3x2+4(x+m)2=12,即7x2+8mx+4m2-12=0,由=(8m)2-47(4m2-12)=0,解得m1=-7或m2=7.结合图象(图略)可知当m1=-7时,直线l:x-y-7=0与椭圆的交点是椭圆C上到直线l的距离最远的点,此时直线l与直线l间的距离为d=|27+7|12+(-1)2=3142,所以在椭圆C上存在点到直线l的距离最大,最大距离为3142.