2022-2023学年高考数学一轮复习 解题技巧方法 第一章 第13节 指对共生式同构技法（教师版）.docx

1、指对共生式同构技法知识与方法在诸多函数不等式问题中，可以通过对不等式等价变形，将不等式变成左右两端结构一致的情形，进而构造函数，运用函数的单调性来解决问题.用好同构，需要较强的观察能力和一定的解题经验.1.指对共生式同构常用的恒等式：，这两个等式常用于指、对之间的调整.2.指对共生式基础同构模型（1）与的同构：，所以这两个结构可以相互转化.注：除了上述同构方法外，也可以通过取对数来同构.例如，也达到了同构的效果.（2）与的同构：，所以这两个结构可以相互转化.注：除了上述同构方法外，也可以通过取对数来同构.例如，也达到了同构的效果.（3）与的同构：，所以这两个结构可以相互转化.3.在一些复杂的问

2、题中，需要配凑才能同构.例如，.4.本节在同构过程中，会反复用到和这两个函数，此处统一研究这两个函数的图象性质，后面的题目解析中直接给出图象，不再重复研究.易求得，所以，故在上，在上，又，所以的大致图象如图1所示，易求得，所以，故在上，在上，又，设，则当时，所以，所以的大致图象如图2所示.提醒：在小题中遇到含参不等式问题，当参变分离、半分离等方法不太好处理时，往往可以考虑用同构.典型例题【例题】设，若对任意的，不等式0恒成立，则的最小值为_.【解析】解法1：，设，则的大致图象如图1，不等式即为，因为，从而，所以，故的最小值为.解法2：，临界状态如图2，两曲线有唯一的一个交点，设该交点的横坐标为

3、，则，将代入可得，所以，代入消去得：，观察可得方程的解为，故，由图可知当且仅当时，原不等式恒成立，所以的最小值为.【答案】变式1 若对任意的，恒成立，则实数a的最小值为_.【解析】解法1：，设，则的大致图象如图1所示，不等式即为，注意到当时，所以，设，则，且，从而，故，即实数的最小值为.解法2：，此不等式恒成立的临界状态如图2所示，此时曲线和曲线临界相切，设切点的横坐标为，则，由可得，代入化简得：，解得：，所以，由图可知当且仅当时，不等式恒成立，即，故a的最小值为【答案】【反思】函数的图象上有两条重要的切线需要熟悉，一条是，切点是，另一条是，切点是.变式2 已知且，若不等式恒成立，则a的取值范

4、围为_.【解析】解法1：显然当时，不能恒成立，所以只需考虑的情形，设，则不等式即为，而，所以，从而在上，在上，又，所以的大致图象如图1，因为，所以等价于，故，即，从而，所以.解法2：显然当时，不能恒成立，所以只需考虑的情形，临界状态如图2所示，函数和的图象相切，设切点横坐标为，则，由可得，所以，代入可得，所以，由两端取自然对数可得，将式代入化简得：，解得：，代入进一步可求得，由图可知当时，恒成立.解法3：显然当时，不能恒成立，所以只需考虑的情形，注意到和互为反函数，所以他们的图象关于直线对称，临界状态如图3所示，在此临界状态下，与都与直线相切，考虑和相切，设切点的横坐标为，则，将代入可得，由两

5、端取自然对数可得，从而，故，所以，由图可知当时，恒成立.【答案】变式3 若对任意的，恒有，则实数a的取值范围为_.【解析】，设，则不等式即为，因为，所以，从而在上，在上，故，所以在上，从而不等式等价于，两边取对数得：，即，所以，故.【答案】变式4 已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值（ ）A.B.C.D.【解析】，设，则的大致图象如图所示，不等式即为，因为，所以等价于，即，也即，所以，故，即实数a的最小值为.【答案】D强化训练1.（）若不等式对任意的都成立，则正实数m的取值范围为_.【解析】，设，则，所以，故在上，在上，又，所以的大致图象如图所示，不等式等价于，因为，所以，故，从而

6、，所以.【答案】2.（）若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围为_.【解析】，令，则不等式即为，而，所以，又，所以的大致图象如图，当时，从而等价于，所以，显然当时，的最小值为，故.【答案】3.（）若不等式在上恒成立，则正实数m的最大值为_.【解析】，设，则即为，因为，所以在上，因为，所以，从而等价于，即，注意到曲线在处的切线为，如图，所以当且仅当时，在恒成立，故正实数m的最大值为1【答案】14.（）设a、b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（ ）A.B.C.D.【解析】，设，则，所以，从而在上，在上，注意到当时，可作出的草图如图，显然即为，注意到，所以，由图可知要使成立，只能，所以.【

7、答案】B5.（）设，且不等式对任意的恒成立，则m的最大值是（ ）A.B.C.D.【解析】，设，则的大致图象如图1所示，不等式即为，因为，所以，故等价于，即设曲线过点的切线为，并设切点横坐标为，则，解得：，如图2，由图2可知当且仅当时，恒成立，所以，即m的最大值为.【答案】D6.（）已知函数，若存在，使得，则的最大值为（ ）A.B.C.D.【解析】解析：，所以，故在上，在上，当时，；，当时，据此可作出的大致图象如图，由题意，因为，所以，由图可知只能，所以，故，设，则，故，从而在上，在上，所以，故的最大值为.【答案】C7.（）已知函数，若，则的最小值为_.【解析】解析：由题意，从而即为，显然当时，

8、而，所以，易证在上，从而，故，设，则所以，从而在上，在上，故，即的最小值为e.【答案】e8.（）已知函数，其中.（1）若，讨论的单调性；（2）若恒成立，求a的取值范围.【解析】（1）若，则，所以，而，所以在上单调递增，又，所以在上有1个零点，设为，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，因为，所以，两边取自然对数得，所以，从而，故恒成立，所以在上单调递增.（2）若，则，不合题意，所以，设，则即为，所以，故在上单调递减，在上单调递增，且当时，显然，当时，因为，所以，从而等价于，即，也即，设，则，所以，故在上单调递增，在上单调递减，从而，因为恒成立，所以，即实数a的取值范围为.【答案】（1）见解析（2）