四川省成都南开为明学校2021届高三上学期期中考试数学（理）试卷 扫描版含答案.pdf

1、青白江区“零点五诊”数学（理科）答案第 1 页（共 6页）数学（理科）参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分123456789101112ADDDAABCCCDC二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.714.acb 15.3616.5三、解答题：共 70 分，第 1721 题为必考题，第 22、23 题为选考题17（12 分）解：（1）A,B 一个包裹，C 一个包裹时，需花费 15+15=30(元)1 分A,B 一个包裹，B 一个包裹时，需花费 20+15=35(元)2 分B,C 一个包裹，A 一个包裹时，需花费 25+10=35(元)3

2、 分综上，A,B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为 30 元.4 分（2）由题意知，每日揽包裹数超过 200 件的概率为 13.5 分X 可取10,1,2,3,4,4,3XB.6 分则 X 的分布列为11 分14433E X 这 4 天中日揽收包裹数超过 200 件的天数期望为 43.12 分18（12 分）解：（1）coscos2bCcB，222222222abcacbbcabac 2分X01234P16813281827881181青白江区“零点五诊”数学（理科）答案第 2 页（共 6页）解得：2a 3 分又3sin32bCa11sin23322ABCSabC 5 分（2）由（1

3、）和余弦定理可得:2232cos41sin32bcbcbcAbcA7 分化简得：22sin223 cos2cAcA消去c，可得sin3 cos2AA9 分即sin13A10 分0,A32A解得：6A12 分19.（12 分）（1）证明：在图甲中，直角梯形 ABCD 中，/AB CD，ABBC BCCD1 分 AECD/BC AE2 分在图乙中，AECE，AEDE，又CEDEE AE 平面 DCE3 分/BC AE BC 平面 DCE；4 分（2）解：224CDABBC=ABCEDE BC 25 分又 ABCE，ABBC四边形 ABCE 是正方形6 分建立如图所示的空间坐标系 E-xyz.则 C

4、(0，2，0)，B(2，2，0)，D(0，0，2)，A(2，0，0)，F(1，0，1).7 分青白江区“零点五诊”数学（理科）答案第 3 页（共 6页）(1EF,0,1)uur，(2EB,2,0)uur，(1,2,)CF-1uur，(2CB,0,0)uur8 分设平面 EFB 的法向量1111(,)nx y zur，则有11110+0 xzxy取11x，得平面 EFB 的一个法向量1(1,-1,-1)nur9 分设平面 BCF 的法向量为2222(,)nxyz，则有2222020 xxyz取21y ，得平面 BCF 的一个法向量2(0,1,2)n 10 分1212121 215cos553n

5、nn nnn ，ur uurur uururuur11 分由题意二面角 C-BF-E 为锐角二面角 C-BF-E 的余弦值为15512 分20.（12 分）解：（1）由题知，fx 的定义域为（0，），11axfxaxx.1 分当0a 时，0fx在（0，）上恒成立.函数 fx 在（0，）上单调递减.fx 在（0，）上没有极值点.3 分当0a 时，由 0fx，得10 xa；由 0fx，得1xa.fx 在（0，1a）上递减，在（1a，）上递增即 fx 在1xa处有极小值.5分综上，当0a 时，fx 在（0，）上没有极值点；当0a 时，fx 在（0，）上有一个极值点.6 分（2）函数 fx 在1x 处

6、取得极值，110fa，则1a ，从而 1 lnf xxx.7 分青白江区“零点五诊”数学（理科）答案第 4 页（共 6页）2fxbx恒成立1ln1xbxx 恒成立.8 分令 1ln1xg xxx，则 2ln2xgxx9 分令 0gx，得2xe.则 g x 在（0，2e）上递减，在（2e，）上递增.10 分 22min1e1eg xg 11 分即211eb .故实数b 的最大值是211e.12 分21.（12 分）（1）证明：由题意得,点 F 的坐标为（1，0），设 P（x0,y0).由2212xyykxt，得222214220kxktxt1 分直线 m 与椭圆 C 相切2 222164 212

7、20k tkt 即2221tk2分02222221ktktkxktt ，2022212121k ttytkkt .即点 P 的坐标为21,ktt.3 分当2x 时，可求得点 Q 的坐标为(2,2)kt，2121FP1,kkttttt ，FQ(1,2)kt.4 分22FP FQ0ktkttt 故 PFQF.5 分（2）解：点 P 在 x 轴上方，2221tk1t 由（1）知2(2)1|FP|ktt；2|FQ|(2)1kt6 分青白江区“零点五诊”数学（理科）答案第 5 页（共 6页）PFQF2PQF1(2)1|22ktSFPFQt2341312222tkttktt7分当0k 时，由（1）知212

8、tk，2PQF312122tStt函数231()21(1)22tf tttt单调递增PQF(1)1Sf.8 分当 k0时，由（1）知22PQF131,21222ttkStt 令231()21(1)22tg tttt则22222321312()22211tttg ttttt9 分由222222622224442313122351241411ttttttttttttt44222224221(25)(25)1414(1)41tttttttttt 10 分当25t 时，()0g t，此时函数()g t 单调递增；当125t 时，()0g t，此时函数g()t 单调递减.函数()g t 即PQFS的最小

9、值(25)g(1)1g.11 分此时，222521tk，解得2512k.综上，当 PQF的面积最小时，直线 m 的斜率的平方为512.12 分22【选修 44：坐标系与参数方程】（10 分）解:（1）由题意知，曲线 C 的普通方程为22110 xyy.2 分C 的极坐标方程为 2cos(0,)23 分青白江区“零点五诊”数学（理科）答案第 6 页（共 6页）又点 P 的普通方程为20 xy，点P 轨迹的极坐标方程为cos2,)(0 2.5分（2）设点 M10,，点 P20(,)，则102022coscos，由 PM3可得213，即0022cos3cos.7 分00,2001cos,239 分224cos 3，故点 P 的极坐标为 4,3.10 分23【选修 45：不等式选讲】（10 分）（1）解:由题意知，2,1,2,11,2,1,xf xxxx 2 分即当1x 时，fx=2；当 11x 时，22f x；4 分当1x 时，fx=2当1x 时，fx 有最大值 M2.5 分（2）证明:02abc，24abc，6 分22224abcabacbc7 分又由柯西不等式知222abcabacbc8 分 34,abacbc43abacbc.10 分