2022届高中数学（理科）《统考版》一轮复习学案：6-2 等差数列及其前N项和 WORD版含解析.docx

1、第二节等差数列及其前n项和【知识重温】一、必记5个知识点1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，一般用字母d表示；定义的表达式为：_(nN*)2等差数列的通项公式设等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an_.等差数列的通项公式是关于n的一次函数形的函数3等差中项若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A_.4等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn_，或等差数列an的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn_.等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数形的函数且

2、无常数项5等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)aman(mn)d或d.(m、nN*)(2)在等差数列中，若pqmn，则有apaqaman；若2mpq，则有apaq_，(p，q，m，nN*)(3)d0an是递增数列，Sn有最小值；d0an是递减数列，Sn有最大值；d0an是常数数列(4)数列anb仍为等差数列，公差为d.(5)若bn，an都是等差数列，则anbn仍为等差数列(6)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.(7)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(8)S2n1(2n1)an.(9)若n为偶数，则S偶S奇d.若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)二、

3、必明2个易误点1要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(4)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()(5)等差数列的

4、前n项和公式是常数项为0的二次函数()二、教材改编2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A31B32C33 D343在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.三、易错易混4一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()Ad BdC.d D.d5若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大四、走进高考62019全国卷记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n等差数列的基本运算自主练透型12020

5、全国卷记Sn为等差数列an的前n项和若a12，a2a62则S10_.22020六校联盟联考设等差数列an的前n项和为Sn，若a4S52，S714，则a10()A18B16C14D1232021河南部分重点高中联考记等差数列an的前n项和为Sn.若3S55S3135，则数列an的公差d_.考点二等差数列的判定与证明互动讲练型例12021湖北检测已知数列an满足a12，n(an1n1)(n1)(ann)(nN*)(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；(2)设bn15，求数列bn的前n项和Sn.悟技法等差数列的判定方法(1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是定义法，anan1d(常数)(n

6、2)；第二种是利用等差中项法，即2anan1an1(n2)(2)解答选择题和填空题时也可以用通项公式与前n项和公式直接判定(3)若判定一个数列不是等差数列，则只需要说明某连续3项(如前三项)不是等差数列即可.变式练(着眼于举一反三)1已知a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)求证：数列bn是等差数列考点三等差数列的性质分层深化型考向一：等差数列通项性质的应用例2(1)已知等差数列an的前n项和为Sn，且2a5a210，则S15()A20 B75 C300 D150(2)设公差为3的等差数列an的前n项和为Sn，若S2 0192 019，则 a3a6a9a2 019()A673

7、 B1 346 C673 D1 346考向二：等差数列前n项和性质的应用例3(1)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，6，则S2 020_.(2)2021太原模拟一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32：27，求该数列的公差d.悟技法应用等差数列的性质解题的三个注意点(1)如果an为等差数列，mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)因此，若出现amn，am，amn等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am(amnamn)转化为求amn，amn或amnamn的值(2)要注意等差数列通项公

8、式及前n项和公式的灵活应用，如anam(nm)d，d，S2n1(2n1)an，Sn(n，mN*)等(3)当项数为偶数2n时，S偶S奇 nd；项数为奇数2n1时，S奇S偶a中，S奇：S偶n：(n1). 变式练(着眼于举一反三)2设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63B45C36D273设等差数列an的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn324(n6)，则数列an的项数为_考点四等差数列前n项和的最值问题互动讲练型例4(1)2021湖北襄阳四中联考已知数列an为等差数列，a1a2a3165，a2a3a4156，an的前n项和为Sn

9、，则使Sn达到最大值的n的值是()A19 B20 C21 D22(2)2021西安八校联考设等差数列an的前n项和为Sn，若S6S7S5, 则满足SnSn10的正整数n的值为()A10 B11 C12 D13悟技法求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：等差数列前n项和的函数表达式Snan2bna2，求“二次函数”最值(2)邻项变号法当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.变式练(着眼于举一反三)42019北京高考设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a5_，Sn的最小值为_52021南昌模拟已知

10、等差数列an的公差d0，前n项和为Sn，若S510a6，则当Sn最大时，n()A8 B9 C7或8 D8或9第二节等差数列及其前n项和【知识重温】同一个常数公差an1anda1(n1)dna1d2am【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解析：由已知可得解得S88a1d32.答案：B3解析：由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.答案：1804解析：由题意可得即所以d.故选D.答案：D5解析：因为数列an是等差数列，且a7a8a93a80.所以a80.又a7a10a8a90，所以a90.故当n8时，其前n项和最大答案：86解析：设an

11、的公差为d，依题意得，4a1d0，a14d5，联立，解得a13，d2.所以an2n5，Snn24n.故选A.答案：A课堂考点突破考点一1解析：通解设等差数列an的公差为d，则由a2a62，得a1da15d2，即46d2，解得d1，所以S1010(2)125.优解设等差数列an的公差为d，因为a2a62a42, 所以a41，所以d1，所以S1010(2)125.答案：252解析：设an的公差为d，由，可得，解得，所以a1049214.选C.答案：C3解析：因为3S55S3135，所以35135，所以15d135，解得d9.答案：9考点二例1解析：(1)证明：n(an1n1)(n1)(ann)(n

12、N*)，nan1(n1)an2n(n1)，2，数列是等差数列，其公差为2，首项为2，22(n1)2n.(2)由(1)知an2n2，bn152n15，则数列bn前n项和Snn214n.变式练1解析：证明：因为an2(n2，nN*)，bn(nN*)，所以bn1bn1.又b1.所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列考点三例2解法一设数列an的公差为d，由2a5a210，得2(a14d)(a1d)10，整理得a17d10，S1515a1d15(a17d)1510150.故选D.解法二由题意知，a2a82a5，所以2a5a2a810，S15150.故选D.(2)解析：(1)解法一设等差数列an的首项

13、为a1，则S2 0192 019a12 0192 018(3)2 019，解得a13 028，所以a33 022，则a3a6a9a2 0193 022673673672(9)1 346.故选B.解法二S2 019(a1a4a7a2 017)(a2a5a8a2 018)(a3a6a9a2 019)(a3a6a9a2 019)673(6)(a3a6a9a2 019)673(3)(a3a6a9a2 019)3(a3a6a9a2 019)673(9)2 019，解得a3a6a9a2 0191 346.故选B.答案：(1)D(2)B例3解析：(1)由等差数列的性质可得也为等差数列设其公差为d，则6d6，

14、d1.故2 019d2 0142 0195，S2 02052 02010 100.(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得，解得又S偶S奇6d，所以d5.答案：(1)10 100(2)见解析变式练2解析：由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故选B.答案：B3解析：由题意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又Sn324，18n324，n18.答案：18考点四例4解析

15、：(1)设等差数列an的公差为d，则(a2a3a4)(a1a2a3)3d1561659，所以d3.因为a1a2a33a13d3a19165，所以a158.所以ana1(n1)d58(n1)(3)613n.令an613n0，得n.因为nN*，所以当n20时，Sn达到最大值故选B.(2)由S6S7S5，得S7S6a7S6，S7S5a6a7S5，所以a70，a6a70，所以an为递减数列，又S1313a70，S126(a6a7)0，所以S12S130，即满足 SnSn10的正整数n的值为12，故选C.答案：(1)B(2)C变式练4解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d.由S5(a1a5)2a310，得a32，da3a22(3)1，a1314，a5a14d440.解法一a14，d1，Sn4n1(n29n)2.nN*，当n4或5时，Sn取最小值，为S4S510.解法二a14，d1，an4(n1)1n5.由an0得n5，且n5时，a50，故当n4或5时，Sn取最小值，为S4S510.答案：0105解析：解法一由S510a6，可得10(a15d)，解得a18d，所以Snna1n(n1)d.因为d0，所以当n8或9时，Sn最大故选D.解法二因为S55a3，所以5a310a6，所以5(a12d)10(a15d)，化简可得a18d0，即a90.因为d0，所以当n8或9时，Sn最大故选D.答案：D