2022届高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形作业试题2含解析新人教版202106302131.docx

1、第四讲 正、余弦定理及解三角形 1.2021 湖北省四地七校联考在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一座塔吊顶的仰角为 60,塔基的俯角为 45,如图4-4-1,那么这座塔吊的高是()A.20(1+)m B.20(1+)m C.10(+)m D.20(+)m 图 4-4-1 2.2021 南京市学情调研在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 2bcos C2a-c,则角 B 的取值范围是()A.(0,B.(0,C.,)D.,)3.多选题在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,C 为钝角,且 c-b=2bcos A,则下列结论中正确的是()A.a2=b(b+c)

2、B.A=2B C.0cos A D.0sin Bb.(1)求证:ABC 是直角三角形.(2)若 c=10,求ABC 的周长的取值范围.8.2020 惠州市模拟已知ABC 的内角 A,B,C 满足 -=-.(1)求角 A;(2)若ABC 的外接圆的半径为 1,求ABC 的面积 S 的最大值.9.2021 江西重点中学第二次联考在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin Bsin C=sin A,ABC 的面积为 ,a+b=3,则 c=()A.B.C.或 D.或 3 10.2021 晋南高中联考平面四边形 ABCD 为凸四边形,且A=60,ADDC,AB=,BD=2,则

3、BC 的取值范围为()A.,2)B.(,2)C.(2,)D.,)11.2021 福建五校第二次联考锐角ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 a=1,bcos A-cos B=1,若 A,B 变化时,sin B-2sin2A 存在最大值,则正数 的取值范围是()A.(0,)B.(0,)C.(,)D.(,1)12.2020 四川五校联考在ABC 中,角 A 的平分线交 BC 于点 D,BD=2CD=2,则ABC 面积的最大值为()A.3 B.2 C.3 D.4 13.2020 陕西省百校联考在ABC 中,D 为 AC 的中点,若 AB=,BC=2,BD=,则 cosABC=,s

4、in C=.14.2020 福建宁德模拟海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图 4-4-2 所示的海洋蓝洞的口径(即 A,B 两点间的距离),现取两点C,D,测得 CD=80 m,ADB=135,BDC=DCA=15,ACB=120,则图 4-4-2 中海洋蓝洞的口径为 m.图 4-4-2 15.2021 陕西百校联考已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.(1)若 A ,且 csin 2A=4cos Asin C,求 a 的值;(2)若 sin A,sinB,sin C 成等差数列,求 B

5、 的最大值.16.在ABC 中,角 A 与角 B 的内角平分线交于点 I,且 5+4cos(A+B)=4sin2C.(1)求角 C 的大小;(2)若ABC 的外接圆半径为 4,求ABI 周长的最大值.17.在ABC 中,AB=4,BC=3,则当函数 f(B)=cos 2B-cos(B+)-sin(B+)+5 取得最小值时,AC=()A.B.2 C.4 D.2 18.在ABC 中,若 sin(-B)=cos 2A,则 -的取值范围为()A.(-1,)B.(,)C.(,)D.(,)19.2020 洛阳市联考已知 a,b,c 分别是ABC 的内角 A,B,C 的对边,且满足(a+b+c)(sin B

6、+sin C-sin A)=bsin C.(1)求角 A 的大小;(2)设 a=,S 为ABC 的面积,求 S+cos Bcos C 的最大值.答 案第四讲 变换正、余弦定理及解三角形 1.B 由题图知 BE 的长度即所求塔吊的高.易知四边形 ABCD 为正方形,CD=BC=AD=20 m.在 RtDCE 中,EDC=60,EC=CDtanEDC=20(m),这座塔吊的高 BE=BC+CE=(20+20)=20(1+)(m).故选 B.2.A 由 2bcos C2a-c 及余弦定理,得 2b -2a-c,整理,得 -1,即 2cos B1,所以 cos B ,所以B(0,故选 A.3.ABD

7、因为 c-b=2bcos A,所以由余弦定理得 c-b=2b -,因此 c(c-b)=b2+c2-a2,整理得 a2=b(b+c),故 A 选项正确;因为 c-b=2bcos A,所以由正弦定理得 sin C-sin B=2sin Bcos A,即 sin(A+B)-sin B=2sin Bcos A,所以 sin Acos B-sin Bcos A=sin B,所以 sin(A-B)=sin B,由于 C 是钝角,所以 A-B=B,即 A=2B,故 B 选项正确;由于 A=2B,且 C90,所以 0A60,0Bcos A ,0sin B0),则 CB=2x,cosCDB=-=-=-,得 x=

8、.所以 CD=,CB=2,因为 cosCDB=-,所以sinCDB=-=,由正弦定理得 sinBCD=,故 A 错误;由余弦定理,得cosCBD=-=,sinCBD=-=,故 SABC=CBBAsinCBD=8,故 B 正确;在ABC 中,由余弦定理得 AC=-=2,所以ABC 的周长为 8+4,故 C 正确;在ABC 中,由余弦定理得cosACB=-=-,所以ACB 为钝角,所以ABC 为钝角三角形,故 D 正确.5.解法一 记内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,作 ADBC 交 BC 于点 D,则 AD=a,ABC 的面积S=a a=acsin B,可得 a=c.由余弦定理 b2=

9、a2+c2-2accos B,得 b=c.由正弦定理得 =,所以sinBAC=.解法二 作 ADBC 交 BC 于点 D,则 AD=BC,设 BC=3,则 AD=1.由 B=,可知 BD=1,则 DC=2,AC=.由正弦定理得 =,所以 sinBAC=.6.(1)由题意及正弦定理,原式可化为 sin C-sin B=sin A(sin Ctan A-cos C),即 sin C-sin(A+C)=sin A(sin Ctan A-cos C),所以 sin C-sin Acos C-cos Asin C=sin C -sin Acos C,化简可得 sin C-cos Asin C=sin C

10、 ,因为 sin C0,(此条件不能省略)所以 +cos A=,即 sin2A+cos2A=cos A,所以 cos A=,又 0Ab,知 AB,所以 B+A+=,即 A+B=,所以ABC 是直角三角形.(2)ABC 的周长 L=10+10sin A+10cos A=10+10 sin(A+),由 ab 可知,A ,因此 sin(A+)1,即20L10+10.故ABC 的周长的取值范围为(20,10+10).8.(1)记ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则由正弦定理和已知条件,得-=-,化简得 b2+c2-a2=bc,由余弦定理得 cos A=-=,0A,A=.(2)记AB

11、C 外接圆的半径为 R,由正弦定理得 =2R,得 a=2Rsin A=2sin =,由余弦定理得 a2=3=b2+c2-bc2bc-bc=bc,即 bc3(当且仅当 b=c 时取等号),故 S=bcsin A 3 =(当且仅当 b=c 时取等号).即ABC 的面积 S 的最大值为 .9.D 因为 sin Bsin C=sin A,sin B0,所以 sin C=,又ABC 的面积为 ,所以 absin C=a2=,解得a=.又a+b=3,所以b=2,sin C=,当0C,所以cos C=或cos C=-.当cos C=时,c=-=3,当 cos C=-时,c=-=.故选 D.10.D 在ABD

12、 中,设 AD=x,则由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2ABADcosA,即 x2-x-1=0,得 AD=x=.已知 ADCD,A=60,延长 AB,DC 交于点 E,所以在 RtADE 中,E=30,AE=2AD=+,因为 AB=,所以 BE=,所以当 BCCD 时,BC 最短,此时,在 RtBCE 中,BC=BE=.在BDE 中,BD=2,BE=,所以 BCBE=,所以 BC 的取值范围是 ,).故选 D.11.A a=1,bcos A-acos B=a,由正弦定理得 sin Bcos A-sin Acos B=sin A,即 sin(B-A)=sin A,B-A=A 或 B-A=-

13、A,B=2A 或B=(舍).ABC 为锐角三角形,0A ,0B=2A ,A+B=3A,解得 A .解法一 sin B-2sin2A=sin 2A-(1-cos 2A)=sin 2A+cos 2A-=sin(2A+)-(其中 tan=).2A ,要使 sin B-2sin2A 取得最大值,只需存在,满足 2A+=,0 ,tan 0=tan tan ,即 0 .故选 A.解法二 sin B-2sin2A=sin 2A-2sin2A,令 f(A)=sin 2A-2sin2A(A ),则 f(A)=2cos 2A-2sin 2A=2cos 2A(-tan 2A).当 tan 2A0,f(A)单调递增,

14、当 tan 2A 时,f(A)0,0,所以 cos B=(+)-2 -=,当且仅当 =,即 a=c 时,“=”成立.因为 cos B1,所以 cos B ,1),因为 B(0,),(角 B 的范围要写上)所以 B(0,所以 B 的最大值为 .16.(1)A+B+C=,A+B=-C,cos(A+B)=-cos C.5+4cos(A+B)=4sin2C,5-4cos C=4(1-cos2C),即 4cos2C-4cos C+1=0,解得 cos C=,又 0C,C=.(2)设ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,ABC 的外接圆半径为 4,由正弦定理得 =8.C=,c=4,ABC+

15、BAC=,又角 A 与角 B 的内角平分线交于点 I,ABI+BAI=,AIB=.设ABI=,则 0 ,BAI=-.在ABI 中,由正弦定理 -=8,得 BI=8sin(-),AI=8sin,ABI 的周长为 4+8sin(-)+8sin=8sin(+)+4.0 ,+,当+=,即=时,ABI 的周长取得最大值,为 8+4,ABI 周长的最大值为 8+4.17.A 由题意知函数 f(B)=2cos2B-1-2cos(B+-)+5=2cos2B-2cos B+4=2(cos B-)2+,所以当 cos B=时,函数 f(B)取得最小值,此时,由余弦定理,得 AC=-=-=.18.B 因为 sin(

16、-B)=cos 2A,所以 cos B=cos 2A,又 A,B,C 为ABC 的内角,所以 B=2A,A .由正弦定理得 -=-=-=-=-=-=,由 得 -得0A ,故 cos A1,所以 -的取值范围为(,),故选 B.19.(1)(a+b+c)(sin B+sin C-sin A)=bsin C,由正弦定理,得(a+b+c)(b+c-a)=bc,即 b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得 cos A=-=-.又 A(0,),A=.(2)根据 a=,A=及正弦定理可得 =2,b=2sin B,c=2sin C,S=bcsin A=2sin B2sin C =sin Bsin C,S+cos Bcos C=sin Bsin C+cos Bcos C=cos(B-C).故当 即 B=C=时,S+cos Bcos C 取得最大值.