数学参考答案（详解版）.pdf

1、高 2023 级高三上第四次月考（数学）（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1设集合01Axx，21xBx，则 AB（）A0,1B0,1C0,1D 0,【答案】A【详解】因为 210 xBxx x，因此，0,1AB.故选：A.2已知2(1)32izi，则 z （）A312 i B312 i C32iD32i【答案】B【详解】2(1)232izizi，32(32)23312222iiiiziii i .故选：B.3已知平面向量 a，b 满足4a，2b，20aab，则向量 a

2、与b 的夹角为（）A 6B 3C 23D 56【答案】C【详解】220aabaa b，所以24204a b ，41cos,4 22a ba ba b ，而,0,a b，所以2,3a b 故选：C4南宋数学家在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第 19 项为（）A290B325C362D399【答案】B【详解】设该数列为 na，则由212 1 1aa，32523aa，431055aa，

3、5417 107aa，可知该数列逐项差数之差 nb成等差数列，首项为 1，公差为 2，故12121nbnn ，故121nnnaabn ，则211aa，323aa，435aa，123nnaan，上式相加，得211 1231 352312nnnaann ，即221111nanan，故219181325a.故选：B.5甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有A12 种B24 种C36 种D48 种【答案】C【解析】由题意，把甲乙看成一个元素，甲乙、丁，戊的排列共有323212AA种不同的排法，又由丙不能排最左端，利用“插空法”可得丙只有 3

4、种方式，由分步计数原理可得，不同的排法共有12 336 种，故选 C6设函数()2sin()f xx，xR，其中0，|.若5()28f，()08f ，且()f x 的最小正周期大于2，则A13，24 B13，724 C23，12 D23，12【答案】D【详解】由题意125282118kk，其中12,k kZ，所以2142(2)33kk，又22T，所以01，所以23，11212k ，由 得12，故选 D7已知函数e1,0,()(),0,xxxf xfx x 则使不等式1(ln)efx 成立的实数 x 的取值范围为（）A10,eB(0,e)C 1,eD(e,)【答案】B【解析】因为(0)0f，0

5、x 时，()()f xfx，因此0 x 时也有()()f xfx，即函数()f x 是奇函数，0 x 时，()e1xf xx，()e1xfx0，所以()f x 是减函数，所以奇函数()f x 在 R 上是减函数，又1(1)ef，所以1(1)(1)eff ，不等式1(ln)efx 为(ln)(1)fxf，所以 ln1x ，0ex，故选：B8已知13ln 3,e,ln(e1)1abc，则（）AcabBabcC acbDbca【答案】A【详解】13ln3ln 3,1lneee3eab，令ln()xf xx（0 x），则21ln()xfxx，当ex 时，()0fx，所以()f x 在(e,)上递减，因

6、为3e，所以(3)(e)ff，所以 ln3lne3e，所以 ab，因为33111.42.7443e，所以3113e，因为lnyx在(0,)上递增，所以31ln 1ln 3e，所以3e 1lnln(e 1)1ln 3e ，所以ca，所以 cab，故选：A二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.92022 年 2 月 28 日，国家统计局发布了我国 2021 年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构

7、建新发展格局，实现了“十四五”良好开局2021 年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中正确的是（）A20172021 年全国居民人均可支配收入逐年递减B2020 年全国居民人均可支配收入较前一年下降C2021 年全国居民人均可消费支出 24100 元D2021 年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过 50【答案】CD【详解】由图可知，20172021 年全国居民人均可支配收入分别为 25974 元，28228 元，30733 元，32189元，35128 元，故为逐年递增，A 错误；2019 年全国居民人均可支配收入为，30733 元，

8、2020 年全国居民人均可支配收入为 32189 元，较前一年有所增长，故 B 错；由图 2 得：5697178 14195641 142331562599211524100，C 正确；由图 2 得：29.8%23.4%53.2%，D 正确故选：CD.10已知函数ln()xf xx，下列说法正确的有（）A曲线()yf x在1x 处的切线方程为1yx B()f x 的单调递减区间为(e)，C()f x 的极大值为 1eD方程()1f x 有两个不同的解【答案】ABC【详解】因为ln()xf xx，0 x，所以221ln1 ln()xxxxfxxx，对于 A，(1)0,(1)1ff ，则()f x

9、 在1x 处的切线方程为1yx，所以 A 正确；对于 B，令()0fx，解得ex，所以()f x 的单调递减区间为(e)，所以 B 正确；对于 C，令()0fx，得 0ex，令()0fx，得ex，所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e)，上单调递减，所以()f x 的极大值为1(e)ef，所以 C 正确；对于 D，由 D 的解析知()f x 在(0,e)上单调递增，在(e)，上单调递减，且1(e)ef，当1x 时，()0f x，当 01x 时，()0f x，所以画出()f x 的图象，如图，方程()1f x 解的个数，即()f x 的图象与1y 的交点个数，由图知()1f x 只有一个

10、解，所以 D 错误故选：ABC11已知正数,a b满足 421ab，则（）A144aa的最小值为 2B ab 的最大值为 132C 112ab的最小值为8D22164ab的最小值为 12【答案】BCD【解析】对于 A，0a，所以，1424aa，当且仅当1=4a时等号成立，但此时，=0b，与题意不符，故 A 错误；对于 B，4214 2abab，解得 132ab，当且仅当4=24+2=1abab，即1=41=8ba时，等号成立，故 B 正确；对于 C，11114()(42)4822baabababab，当且仅当22=44+2=1baab，即1=41=8ba时，等号成立，故 C 正确；对于 D，由

11、 421ab，可得2241 168baa，所以，2223281164aaab，当18a 时，此时，14b，所以，22164ab的最小值为 12，故 D 正确.故选：BCD12在正四棱台1111ABCDA B C D中，1124A BAB，12AA，则（）A该棱台的高为2B该棱台的表面积为20 12 3C该棱台的体积为 28 2D该棱台外接球的表面积为 40【答案】ABD【详解】由题可知2 2AC，11A C4 2，所以正四棱台的高224 22 2222h，故 A 正确，正四棱台的斜高2242232h，所以正四棱台的侧面积为1424312 32，上、下底面的面积分别为 4，16，即正四棱台的表面

12、积4 16 12 320 12 3S，故 B 正确，正四棱台的体积128 244 1616233V，故 C 错误，设该棱台外接球的球心为O，半径为 R，点O到上底面的距离为 x，所以222222(2)(2 2)(2)RxRx，解得10R，所以该棱台外接球的表面积为2440R，故 D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13在62xa的展开式中，3x 的系数为 20，则a_【答案】12【详解】62xa的展开式中，含3x 的项为 3333333366C28C160 xaaxa x ，所以3116020,2aa.故答案为：1214已知3sin2cos()s

13、in2，则2sinsincos _.【答案】35【详解】由已知得：cos2cos3cossin，则 tan3 222222sinsincostantan933sinsincossincostan1915故答案为：3515正方体1111ABCDA B C D的棱长为 2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为.【答案】2 6【详解】如图所示，设 F 为1BB 的中点，连接1,AF FC，设G 为1CC 的中点，连接,EG GB，由/EG AB 且 EGAB，得 ABGE 是平行四边形，则/AEBG且 AEBG，又1/BG C F 且1BGC F，得1/AE C F

14、且1AEC F，则1,A E C F 共面，故平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E.又正方体1111ABCDA B C D的棱长为 2，11AFFCECEA，12 3AC，2 2EF，1EFAC，故1AFC E 的面积为12 22 32 62S.16如图所示,已知双曲线C:222210,0 xyabab的右焦点为 F,双曲线C 的右支上一点 A,它关于原点O 的对称点为 B,满足120AFB,且3BFAF,则双曲线C 的离心率是_.【答案】72【解析】设双曲线的左焦点为 F,连接 AF,BF,根据双曲线的对称性可知，四边形 AFBF 为平行四边形，由题意以及双曲线定义，可得32B

15、FAFAFAFAFAFa,则AFa,3BFa,60F AF,所以2222cosFFAFAFAFAFF AF,即222214962caaa,即2247ca,所以双曲线C 的离心率为:72cea.故答案为：72.四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）记nS 是公差不为 0 的等差数列 na的前 n 项和，若35244,aS a aS（1）求数列 na的通项公式na；（2）求使nnSa成立的 n 的最小值【答案】(1)26nan；(2)7.【详解】(1)由等差数列的性质可得：535Sa，则：3335,0aaa，设等差数列的公差为d，从

16、而有：22433a aadadd，41234333322Saaaaadadaadd，从而：22dd，由于公差不为零，故：2d，数列的通项公式为：3326naandn.(2)由数列的通项公式可得：1264a ，则：214252nn nSnnn，则不等式nnSa即：2526nnn，整理可得：160nn，解得：1n 或6n，又 n为正整数，故n的最小值为 7.18.（12 分）某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考.查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取 60 名学生作为样本进行耐力跑测试，这 60 名学生的测试成绩等级及

17、频数如下表成绩等级优良合格不合格频数711411(1)从这 60 名学生中随机抽取 2 名学生，这 2 名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为 X，求1P X；(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取 3 名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得 100 分，不能完成活动的每名学生得 0 分这 3 名学生所得总分记为 Y，求 Y 的数学期望【答案】(1)126295；(2)90.【详解】（1）解：由题意得111842260C C1261C295P X；（2）解：能完成活动的概率为1836010，

18、不能完成活动的概率为4276010，由题得 Y 可以取 0，100，200，300，则0303373430C10001001P Y ，1213371441100C1001000P Y ，2123371189200C1001000P Y ，303337127300C1000010P Y ，所以 Y 的分布列为：Y0100200300P343100044110001891000271000则 Y 的数学期望为 343441189270+100+200+300901000100010001000E Y 19（12 分）记 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2 cossinco

19、stanaABBcC(1)求角 A 的大小；(2)若点 D 在边 BC 上，3AD ，且3BDDC，求 ABC面积的最大值【答案】(1)3A；(2)4 3【解析】（1）由已知，得sin2 coscostancBaAcBC，根据正弦定理，得sinsin2sincossincossincoscossintanCBAACBCBCBC，即2sincossinsinAABCA，由于0A，sin0A，所以1cos02A，A 为锐角，所以3A（2）由3BDDC，得3BDDC，则3ADABACAD，所以1344ADABAC，所以，22221316944161616ADABACABAB ACAC，则222222

20、9 166cos93929393cbcbcbcbcbbcbc，所以16bc，当且仅当22916cbbc，即433b，4 3c 时等号成立，所以113sin164 32322ABCSbc即 ABC面积的最大值为 4 3 20.（12 分）如图，多面体 ABCDEF 中，ABCD是菱形，60ABC，FA 平面 ABCD，EDFA，且22ABFAED(1)求证：平面 BDE 平面 FAC；(2)求二面角 BFCE的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)77【详解】（1）证明：如图所示，设 AC 与 BD 的交点为O，因为 FA 平面 ABCD且 BD 平面 ABCD，所以 FABD，又因为 ABCD

21、是菱形，所以 ACBD，又因为 FAACA，AC 平面 FAC，FA 平面 FAC，所以 BD 平面 FAC又因为 BD 平面 BDE，所以平面 BDE 平面 FAC（2）取 BC 的中点G，连接 AG，60ABCoQ,ABBC，ABC为等边三角形，AGBC，以 A 为原点，AG 为 x 轴，AD 为 y 轴，AF 为 z 轴建立空间直角坐标系，则由题意得0,0,2F，1,3BGAG,1DE,又/DE FA,则 3,1,0B，3,1,0C，0,2,1E，3,1,2FC，0,2,0BC，3,1,1CE ，设平面 BFC 的法向量为,mx y z，则00m FCm BC，即32020 xyzy取2

22、,0,3m，设平面 EFC 的法向量为111,xny z，则00n FCn CE，即11111132030 xyzxyz取3,1,2n，设二面角 BFCE的平面角为，则4 36cos72 27m nmn，所以二面角 BFCE的正弦值为26717721（12 分）已知1F，2F 为椭圆C 的左、右焦点，点31,2M 为其上一点，且124MFMF.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，点 P 关于坐标原点O 的对称点 R，试问 PQR的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22143xy；(2)存在，3【解

23、析】（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，因为点31,2M 为椭圆上一点，且124MFMF，所以22241914aab，解得2243ab所以椭圆的标准方程为22143xy.（2）设直线:1l xmy，1122(,),(,)P x yQ xy，由2213412xmyxy，得22(34)690mymy，223636(34)0 mm，则12122269,3434myyy ymm，设 PQR的面积为S，则1121222POQSSOF yy12yy21212()4yyy y2226943434mmm2212134mm，令21(1)mt t，则21212(1)1313tStttt，令

24、1()3f ttt（1t ），则21()30f tt，所以()f t 在1 ，）上为增函数，所以min()(1)4f tf，所以S的最大值为 1234 ，此时0m，所以存在当0m 时，即直线l 的方程为=1x ，PQR的面积有最大值，其最大值为 3.22.（12 分）已知实数0a，函数 2lnlnefxxaaxx，e是自然对数的底数.(1)当ea 时，求函数 fx 的单调区间；(2)求证：fx 存在极值点0 x，并求0 x 的最小值.【答案】(1)单调增区间为(e,)，单调减区间为(0,e)(2)证明见解析，0 x 的最小值是 e【详解】（1）当ea 时，2()eln(e)f xxxx，则2e

25、2(1 2e)e(21)(e)()12(e),(0)xxxxfxxxxxx 令()0fx，得ex；令()0fx，得ex；所以，函数()yg x的单调增区间为(e,)，单调减区间为(0,e)（2）22(ln2e)()ln2(e)axaxafxaxxx令2()2(ln2e)0t xxaxa，因为2(ln2e)80aa，所以方程22(ln2e)0 xaxa，有两个不相等的实根1212,x xxx，又因为1202ax x ，所以120 xx，令02xx，列表如下:x00,x0 x0,x fx-0+fx减极小值增所以()f x 存在极值点0 x.所以存在0 x 使得2002(ln2e)0 xaxa成立，

26、所以存在0 x 使得200022elnxxxaxa，所以存在0 x 使得2000ln22eaxaxxx对任意的0a 有解，因此需要讨论等式左边的关于 a 的函数，记0()lnu ttxt，所以0()1xu tt，当00tx 时，()0,()u tu t单调递减；当0tx时，()0,()u tu t单调递增所以当0tx时，0()lnu ttxt 的最小值为 0000lnu xxxx所以需要200000022elnlnxxaxaxxx，即需要200002(2e1)ln0 xxxx，即需要002(2e 1)ln0 xx，即需要002ln(2e 1)0 xx 因为()2ln(2e1)v ttt在(0,)上单调递增，且 0()0v xv e，所以需要0ex ，故0 x 的最小值是 e