2022年高中数学 第三章 不等式 3.2 简单的线性规划问题练习（含解析）新人教A版必修5 (2).docx

1、课时训练18简单的线性规划问题一、求线性目标函数的最值1.(2015广东湛江高二期末,10)若实数x,y满足x-y+10,x+y0,x0,若z=x+2y,则z的最大值为()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:作出不等式组对应的平面区域,由z=x+2y,得y=-12x+z2,平移直线y=-12x+z2,由图象可知当直线经过点A(0,1)时,直线y=-12x+z2的截距最大,此时z最大,代入目标函数得z=2.故选B.2.(2015河南郑州高二期末,7)设变量x,y满足约束条件x+y3,x-y-1,2x-y3,则目标函数z=2x+3y的最小值为()A.6B.7C.8D.23答案:B解析:画出不等式

2、x+y3,x-y-1,2x-y3表示的可行域,如图,让目标函数表示直线y=-2x3+z3在可行域上平移,知在点B处目标函数取到最小值,解方程组x+y=3,2x-y=3,得(2,1).所以zmin=4+3=7.故选B.3.设变量x,y满足约束条件yx,x+2y2,x-2,则z=x-3y的最小值为.答案:-8解析:作出可行域如图阴影部分所示.可知当x-3y=z经过点A(-2,2)时,z有最小值,此时z的最小值为-2-32=-8.二、求非线性目标函数的最值4.若实数x,y满足x-y+10,x0,则yx的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1C.(1,+)D.1,+)答案:C解析:实数x,y满足x-

3、y+10,x0的相关区域如图中的阴影部分所示.yx表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知,yx的取值范围为(1,+).5.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组2x+3y-60,x+y-20,y0所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.答案:2解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=|-2|2=2.三、求线性规划中的参数6.x,y满足约束条件x+y-20,x-2y-20,2x-y+20,若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A.12或1B.2或12C.2或1D.2或-1答

4、案:D解析:作出可行域,如图中阴影部分所示.由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2,当a0,x,y满足x1,x+y3,ya(x-3),若z=2x+y的最小值为1,则a=.答案:12解析:因为a0,作出不等式组x1,x+y3,ya(x-3)表示的平面区域,得到如图的ABC及其内部,其中A(1,2),B(1,-2a),C(3,0).由z=2x+y得y=-2x+z,将直线y=-2x进行平移,可得当经过点B时,目标函数z达到最小值,此时z=1,即2-2a=1,解得a=12.8.当实数x,y满足x+2y-40,x-y-10,x1时

5、,1ax+y4恒成立,则实数a的取值范围是.答案:1,32解析:画出可行域,如图中阴影部分所示,设目标函数z=ax+y,则y=-ax+z,要使1z4恒成立,则a0,数形结合知满足12a+14,1a4,1a+324即可,解得1a32,所以a的取值范围是1,32.四、线性规划中的实际应用9.(2015河南南阳高二期中,20)某人上午7:00乘汽车以v1 km/h(30v1100)匀速从A地出发到相距300 km的B地,在B地不作停留,然后骑摩托车以v2 km/h(4v220)匀速从B地出发到相距50 km的C地,计划在当天16:00至21:00到达C地,设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x,y小时.如

6、果已知所需的经费p=100+3(5-x)+2(8-y)元,那么v1,v2分别是多少时走的最经济,此时花费多少元?解:由题意得,x=300v1,y=50v2,30v1100,4v220,3x10,52y252.由题设中的限制条件得9x+y14,于是得约束条件9x+y14,3x10,52y252,目标函数p=100+3(5-x)+2(8-y)=131-3x-2y,作出可行域(如图),设z=3x+2y,当y=-32x+z2平移到过(10,4)点时在y轴上的截距最大,此时p最小.所以当x=10,y=4,即v1=30,v2=12.5时,pmin=93元.(建议用时:30分钟)1.已知点(x,y)构成的平

7、面区域如图所示,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为()A.-720B.720C.12D.720或12答案:B解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z与直线AC重合,则225=-m+z,3=-5m+z,解得m=720.2.设变量x,y满足约束条件3x+y-60,x-y-20,y-30,则目标函数z=y-2x的最小值为()A.-7B.-4C.1D.2答案:A解析:作约束条件3x+y-60,x-y-20,y-30所表示的可行域,如图所示,z=y-2x可化为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l0,当l0过点A(5

8、,3)时,z取最小值,且为-7,选A.3.若A为不等式组x0,y0,y-x2表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为()A.34B.1C.74D.2答案:C解析:如图所示,区域A表示的平面区域为OBC内部及其边界组成的图形,当a从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域.S四边形ODEC=SOBC-SBDE=2-14=74.4.如果点P在平面区域2x-y+20,x-2y+10,x+y-20上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为()A.5-1B.45-1C.22-1D.2-1答案:A解析:由图可知不等式组确定

9、的区域为阴影部分(包括边界),点P到点Q的最小距离为点(-1,0)到点(0,-2)的距离减去半径1,|PQ|min=12+22-1=5-1.5.已知x,y满足条件x0,yx,2x+y+k0(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k=()A.-16B.-6C.-83D.6答案:B解析:由z=x+3y得y=-13x+z3.先作出x0,yx的图象,因为目标函数z=x+3y的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x的交点为C,解得C(2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6,选B.6.若变量x,y满足约束条件y1,x+y0,x-y-20,则z=x-2y的最大值为.答案:3解析:线性约

10、束条件对应的平面区域如图所示,由z=x-2y,得y=x2-z2,当直线y=x2-z2在y轴上的截距最小时,z取得最大值.由图知,当直线通过点A时,在y轴上的截距最小,由x+y=0,x-y-2=0,解得A(1,-1).所以zmax=1-2(-1)=3.7.记不等式组x0,x+3y4,3x+y4所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是.答案:12,4解析:作出如图所示的可行域,且A(0,4),B(1,1).又直线y=a(x+1)过点C(-1,0),而kBC=12,kAC=4.从而直线y=a(x+1)与D有公共点时,a12,4.8.已知变量x,y满足2x-y0,x-

11、3y+50,则z=x+y-2的最大值为.答案:1解析:作出可行域,如图所示的阴影部分,由图知,目标函数z=x+y-2在点A处取最大值.又A(1,2),zmax=1+2-2=1.9.设z=2y-2x+4,式中x,y满足0x1,0y2,2y-x1,求z的最大值和最小值.解:作出满足条件0x1,0y2,2y-x1的可行域如图:作直线l:2y-2x=t,当l过点A(0,2)时,zmax=22-20+4=8.当l过点B(1,1)时,zmin=21-21+4=4.所以,z的最大值为8,最小值为4.10.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广

12、告收费标准分别为500元/min和200元/min,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别是0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是xmin,ymin,总收益为z万元,由题意得:x+y300,500x+200y90000,x0,y0,目标函数为z=3000x+2000y.作出二元一次不等式组x+y300,5x+2y900,x0,y0所表示的区域,即可行域,如图:作直线l,即3000x+2000y=0,即3x+2y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.由x+y=300,5x+2y=900,解得x=100,y=200,即M(100,200).则zmax=3000x+2000y=700000(元),即该公司在甲电视台做100min广告,在乙电视台做200min广告,公司收益最大,最大收益是70万元.