浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）.pdf

1、第1页/共24页 学科网（北京）股份有限公司2022 学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1本试卷分试题卷和答题卷两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟 2请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3考试结束，只需上交答题卡选择题部分（共 60 分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的 1.直线3210 xy+=的一个方向向量是（）A.()2,3 B.()2,3 C.()3,2 D.()3,2【答案】A【解析】【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方

2、向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.【详解】因为直线3210 xy+=的斜率为32，所以直线的一个方向向量为31,2，又因为()2,3与31,2共线，所以3210 xy+=的一个方向向量可以是()2,3，故选：A.2.若,a b c 是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（）A.,bc bbc+B.a，ab+，ab C.ab+，ab，c D.,ab abc c+【答案】C【解析】【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.第2页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【详解】对选项 A：()bcbc=+，因此向量,bc bbc+共面，故不能构成基底，错误；对选项 B：()

3、()12aabab=+，因此向量a，ab+，ab 共面，故不能构成基底，错误；对选项 C：假设()()cabab=+，即()()cab=+，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对于选项 D：()abcabc+=+，因此向量,ab abc c+共面，故不能构成基底，错误；故选：C 3.“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2 而早在 16 世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要

4、贡献若第一个单音的频率为 f，则第四个单音的频率为（）A.5 f B.142 f C.4 f D.132 f【答案】B【解析】【分析】先将所要解决的问题转化为：求首项为 f，公比为 12 2 的等比数列的第 4 项，再利用等比数列的通项公式求得结果即可.【详解】由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为 f，公比为 12 2 的等比数列 na，第四个单音的频率为311244(2)2aff=.故选：B.4.“点(),a b 在圆221xy+=外”是“直线20axby+=与圆221xy+=相交”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析

5、】【分析】求出给定的两个命题的充要条件，再分析即可判断得解.【详解】命题 p：点(),a b 在圆221xy+=外等价于221ab+，命题 q：直线20axby+=与圆221xy+=相交等价于2222214abab+，第3页/共24页 学科网（北京）股份有限公司从而有,pq qp，所以 p 是 q必要不充分条件.故选：B 5.第 19 届亚运会将于 2023 年 9 月 23 日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者甲、乙等 4 人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需 1 名志愿者，每人至多参加一个项目若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的

6、选择方案共有（）A.6 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种【答案】C【解析】【分析】先从除甲外的 3 人中选 1 人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，利用排列、组合知识计算求解【详解】先从除甲外的 3 人中选 1 人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有122332C C A18=种 故选：C.6.A，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息(),iix yA小组根据表中数据，直接对(),x y 作线性回归分析，得到：回归方程 0.46990.235yx=+，决定系数20.873

7、2R=B 小组先将数据按照变换2ux=，2vy=进行整理，再对u，v 作线性回归分析，得到：回归方程 0.50060.4922vu=+，决定系数20.9375R=根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（）A.0.46990.2350 xy+=B.0.50060.49220 xy+=C.220.500610.49220.4922xy+=D.220.500610.49220.4922xy+=【答案】C【解析】【分析】由统计学知识可知，2R 越大，拟合效果越好，由此可得回归方程，整理得结论【详解】由统计学知识可知，2R 越大，拟合效果越好，又 A 小组的决定系数20.8732R

8、=，B 小组的决定系数20.9375R=，B小组的拟合效果好，则回归方程为 0.50060.4922vu=+，的第4页/共24页 学科网（北京）股份有限公司又2222,0.50060.4922ux vyyx=+，即220.500610.49220.4922xy+=故选：C 7.设 A，B，C，D 是半径为 1 的球O 的球面上的四个点设0OAOBOC+=，则ADBDCD+不可能等于（）A.3 B.72 C.4 D.3 2【答案】A【解析】【分析】根据条件，得到3ADBDCD+=，利用ADBD CDADBDCDADBDCD+=+判断等号成立条件，确定 ADBDCD+不可能取的值.【详解】因为()

9、()()3()3ADBD CDOD OAOD OBOD OCODOA OB OCOD+=+=+=，且1OD=，所以3ADBDCD+=，而 ADBD CDADBDCDADBDCD+=+，当且仅当,AD BD CD 同向时，等号成立，而 A，B，C，D 在球面上，不可能共线，即,AD BD CD 不同向，所以3ADBDCDADBDCD+=且,ADBD CD 均小于直径长 2，即6ADBDCD+，综上，36ADBDCD+的左右焦点分别为1F，2F，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记 I 为12PF F的内心直线 PI 交 x 轴于 A 点，14OAc=，且212116PF PFa=，则椭圆C 的离心

10、率为（）第5页/共24页 学科网（北京）股份有限公司A.12 B.22 C.34 D.32【答案】B【解析】【分析】先利用角平分线性质得到112253PFF APFAF=，设15PFt=，则23PFt=，根据椭圆定义得到4at=，然后利用平面向量的数量积和余弦定理即可求解.【详解】不妨设点 P 位于第一象限，如图所示，因为 I 为12PF F的内心，所以 PA 为12F PF的角平分线，所以1122PFF APFAF=，因为14OAc=，所以112253PFF APFAF=，设15PFt=，则23PFt=，由椭圆的定义可知，1282PFPFta+=，可得4at=，所以154aPF=，234aP

11、F=，又因为11221122253cosc41o1s46F PPaF PFPFPFFaFaF P=，所以121cos15F PF=，在12PF F中，由余弦定理可得，222212121221217418cos152158acPFPFF FPF FaPF PF+=，所以222ac=，则2222cea=，故选：B.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分第6页/共24页 学科网（北京）股份有限公司9.若函数()f x 导函数的部分图像如图所示，则（）A.1x 是()f x 的一个

12、极大值点 B.2x 是()f x 的一个极小值点 C.3x 是()f x 的一个极大值点 D.4x 是()f x 的一个极小值点【答案】AB【解析】【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.【详解】对于 A 选项，由图可知，在1x 左右两侧，函数()f x 左增右减，1x 是()f x 的一个极大值点，A正确.对于 B 选项，由图可知，在2x 左右两侧，函数()f x 左减右增，2x 是()f x 的一个极小值点，B 正确.对于 C 选项，由图可知，在3x 左右两侧，函数()f x 单调递增，3x 不是()f x 的一个极值点，C 错误.对于 D 选项，由图可知，在4x

13、 左右两侧，函数()f x 左增右减，4x 是()f x 的一个极大值点，D 错误.故选：AB.10.抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次设事件:A“两次向上的点数之和大于 7”，事件:B“两次向上的点数之积大于 20”，事件:C“两次向上的点数之和小于10”，则（）A.事件 B 与事件C 互斥 B.()572P AB=C.()25P B A=D.事件 A 与事件C 相互独立【答案】AC【解析】【分析】列举出事件 A、B、C 所包含的基本事件，利用互斥事件的定义可判断 A 选项；利用古典概型的概率公式可判断 B 选项；利用条件概率公式可判断 C 选项；利用

14、独立事件的定义可判断 D 选项.第7页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次，设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m、n，以(),m n 为一个基本事件，则基本事件的总数为2636=，事件 A 包含的基本事件有：()2,6、()3,5、()3,6、()4,4、()4,5、()4,6、()5,3、()5,4、()5,5、()5,6、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共15种，事件 B 包含的基本事件有：()4,6、()5,5、()5,6、()6,4、()6,5、()6,6，共6种，

15、事件C 包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()1,6、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、()2,5、()2,6、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、()3,5、()3,6、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、()4,5、()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()6,1、()6,2、()6,3，共30种，对于 A 选项，事件 B 与事件C 互斥，A 对；对于 B 选项，事件 AB 包含的基本事件有：()4,6、()5,5、()5,6、()6,4、()6,5、()6,6，共6种，所以，()61366P AB

16、=，B 错；对于 C 选项，()()()62155n ABP B An A=，C 对；对于 D 选项，()1553612P A=，()305366P C=，事件 AC 包含的基本事件有：()2,6、()3,5、()3,6、()4,4、()4,5、()5,3、()5,4、()6,2、()6,3，共9种，所以，()()()91364P ACP AP C=，D 错.故选：AC.11.设双曲线222:1(0)4xyCaaaa=+，直线l 与双曲线C 的右支交于点 A，B，则下列说法中正确的是（）A.双曲线C 离心率的最小值为 4 B.离心率最小时双曲线C 的渐近线方程为 30 xy=第8页/共24页

17、学科网（北京）股份有限公司C.若直线l 同时与两条渐近线交于点C，D，则 ACBD=D.若1a=，点 A 处的切线与两条渐近线交于点 E，F，则EOFS为定值【答案】BCD【解析】【分析】由离心率公式，结合基本不等式可判断 A；根据2a=可得双曲线方程，然后可得渐近线方程，可判断 B；将问题转化为AB 的中点与 CD 的中点是否重合的问题，设直线方程，联立渐近线方程求 C，D 坐标，再由点差法求 AB 的中点坐标，然后可判断 C；结合图形可知EOFOEPOFQEFQPSSSS=梯形，利用导数求切线方程，联立渐近线方程求 E，F 的横坐标，代入化简可判断 D.【详解】由题知，22444aaaea

18、aa+=+，当且仅当2a=时等号成立，所以2e 的最小值为 4，e的最小值为 2，故 A 错误；当2a=时，双曲线方程为22126xy=，此时渐近线方程为62yx=，即30 xy=，B 正确；若直线l 的斜率不存在，由对称性可知 ACBD=；当斜率存在时，设直线方程为 ykxm=+，1122(,),(,)A x yB xy，AB 的中点为00(,)M xy，CD 的中点为33(,)N x y 则22112222221414xyaaaxyaaa=+=+，由点差法可得2004yaak xa+=，所以2004kxmaakxa+=，所以0224amkxaaak=+，又双曲线渐近线方程为24aayxa+

19、=，联立 ykxm=+分别求解可得22,44CDmmxxaaaakkaa=+，第9页/共24页 学科网（北京）股份有限公司所以30222212444mmamkxxaaakaaaakkaa=+=+，所以 M，N 重合，则 ACMCMAMDMBBD=，或ACMCMAMDMBBD=+=+=，故 C 正确；若1a=，则双曲线方程为2214yx=，渐近线方程为2yx=，不妨设点 A 在第一象限，双曲线在第一象限的方程为221yx=，21xyx=，得切线斜率为1211xx，方程为21112121()1xyxxxx=，设点 E，F 坐标分别为(,),(,)EEFFxyxy，分别作,EP FQ 垂直于 y 轴

20、，垂足分别为 P，Q，E 在第一象限，F 在第四象限，则EOFOEPOFQEFQPSSSS=梯形1111()()()2222EFEFEEFFFEEFxxyyx yx yx yx y=+=又2,2EEFFyxyx=，所以1(22)22EOFFEEFEFSx xx xx x=+=，联立渐近线方程和切线方程可解得211121211121221()1221()1EEFFxxxxxxxxxxxx=，整理得2111221121112211(2)2111(2)2111EFxxxxxxxxxxxx=+=，第10页/共24页 学科网（北京）股份有限公司两式相乘得22112211(4)411EFxxx xxx=，

21、所以1EFx x=，所以22EOFEFSx x=，D 正确 故选：BCD 【点睛】本题考察圆锥曲线的综合运用，C 选项需要灵活处理，将问题转化为 AB 的中点与 CD 的中点是否重合的问题，利用点差法和直接计算可解；D 选项需结合图象将面积灵活转化，在求解EFx x 时，要结合式子的结构特征灵活处理.12.已知曲线()exxf x=，()lnxg xx=，及直线 ya=，下列说法中正确的是（）A.曲线()f x 在0 x=处的切线与曲线()g x 在1x=处的切线平行 B.若直线 ya=与曲线()f x 仅有一个公共点，则1ea=C.曲线()f x 与()g x 有且仅有一个公共点 D.若直线

22、 ya=与曲线()f x 交于点()11,A x y，()22,B xy，与曲线()g x 交于点()22,B xy，()33,C xy，则2132x xx=【答案】ACD【解析】【分析】对与 A 选项，分别求出()f x 在0 x=处的切线与()g x 在1x=处的切线即可判断；对于 B 选项，求出()fx，即可判断出曲线()f x 的单调性，画出草图则可判断；对于 C 选项，画出曲线()f x 与()g x 的草图，即可判断；对于 D 选项，借助图像可知直线 ya=过曲线()f x 与()g x 的交点 B,由此即可得出12312223lnlnxxxxxxeexx=，则可得12lnxx=，

23、23exx=，2222lne=xxx，则可得出2132x xx=.第11页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【详解】对于 A 选项：()0=0f，()()2(ee1e)e=xxxxxxxfx，()01f=，所以曲线()f x 在0 x=处的切线为：yx=；同理()10g=，()21 ln xgxx=，()11g=，曲线()g x 在1x=处的切线为1yx=，即曲线()f x 在0 x=处的切线与曲线()g x 在1x=处的切线平行，正确；对于 B 选项：()1exxfx=，令()0fx=，解得1x=，所以曲线()f x 在(,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，()11=ef，又当 x

24、 时()f x ，当 x +时()0f x，若直线 ya=与曲线()f x 仅有一个公共点，则1ea=或0a，错误；对于 C 选项：曲线()g x 的定义域为：(0,)+，()21 ln xgxx=，令()0gx=，解得ex=，所以()g x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+上单调递减，且()110,(e)e=gg，所以曲线()f x 与曲线()g x 的大致图像为：易知当(0,1)x时，()0f x，()0g x=fg，1 e1(e)e()e=时()0h x恒成立，即()h x 在(e,)+上单调递增，即()(e)e 10=h xh，即ln1xx,第12页/共24页 学科网（北京）股份有

25、限公司又曲线()f x 在(1,)+上单调递减，所以()(ln)f xfx，即lnlnlnee=xxxxxx，即()()f xg x恒成立，即曲线()f x 与曲线()g x 在区间(e,)+上没有交点；所以曲线()f x 与()g x 有且仅有一个公共点，正确;对于 D 选项：当直线 ya=经过曲线()f x 与()g x 的交点时，恰好有 3 个公共点，且12301exxx 的正整数n 的最小值为_【答案】63【解析】【分析】根据对数运算和递推公式可得数列 nb的通项公式，然后对数运算结合累乘法可得nS，解不等式可得答案.【详解】因为()()1*122,nnnan ann=+N，280a=

26、，所以()110,2nnnnaana=+，所以()()222212221loglognnnnnbaaaa+=22212222222212121logloglognnnnnnnnaaaaaaaa+=()()()()2221122log222log22nnnn+=+第14页/共24页 学科网（北京）股份有限公司()()22log24log22nn=+所以()()222222224log 6log 4log 8log 6log24log22log4nnSnn+=+=，因为50nS，所以2224log5log 324n+=，即2322n+，解得62n，因为*nN，所以正整数n 的最小值为 63.故答案

27、为：63 16.设函数()22cos 2xf xx+=+，则使得()()12f xfx+成立的 x 的取值范围是_【答案】5,13【解析】【分析】利用函数的平移变换及偶函数的性质的应用，再利用导函数的正负与函数单调性的关系及绝对值不等式的解法即可求解.【详解】由()22cos 2xf xx+=+向右平移2 个单位，得()2cos2cos22xxg xxx=+=为偶函数，所以()g x 关于 y 轴对称，所以()f x 关于2x=对称，当0 x 时，()nln2si222xgxx+=，当0,2x时，因为sin02 x，所以()0gx，当()2,x+时，()20ln222gx，所以()g x 在上

28、单调)0,+递增，在(),0上单调递减，所以()f x 在(),2 上单调递减，在()2,+上单调递增，由()()12f xfx+得1222xx+，即()()22322xx+，解得531x成立x 的取值范围是5,13.的第15页/共24页 学科网（北京）股份有限公司故答案为：5,13.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用函数的平移变换及偶函数的性质应用，再利用导数法求出函数的单调性及绝对值的解法即可.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.如图，在四面体 ABCD 中，AEAB=，AHAD=，()1CFCB=，()1CGCD=，()0,1 （1

29、）求证：E、F、G、H 四点共面（2）若13=，设 M 是 EG 和 FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA、OB、OC、OD表示OM【答案】（1）证明见解析 （2）42129999OMOAOBOCOD=+【解析】【分析】（1）证明出/EHFG，即可证得结论成立；（2）由（1）可得出12EHFG=，可得出/EH FG，则12EMEHMGFG=，由此可得出12EMMG=，再结合空间向量的线性运算可得出OM 关于OA、OB、OC、OD的表达式.【小问 1 详解】证明：因为 EHAHAEADABBD=，()()()111FGCGCFCDCBBD=，所以1EHFG=，则/EHFG，因此 E、F、G、

30、H 四点共面【小问 2 详解】解：当13=时，13AEAB=，即()13OEOAOBOA=，可得2133OEOAOB=+，因为23CGCD=，即()23OGOCODOC=，可得1233OGOCOD=+，第16页/共24页 学科网（北京）股份有限公司由（1）知，13EHBD=，23FGBD=，因此12EHFG=，又因为 EH、FG 不在同一条直线上，所以，/EH FG，则12EMEHMGFG=，则12EMMG=，即()12OMOEOGOM=，所以，212 211 12333 333 33OMOEOGOAOBOCOD=+=+42129999OAOBOCOD=+.18.已知等差数列 na的前n 项和

31、为nS，且424SS=，()*221Nnnaan=+.（1）求数列 na的通项公式.（2）若 na中的部分项nba 组成的数列1nba+是以11a+为首项，2 为公比的等比数列，求数列 nb的前 n 项和nT.【答案】（1）()*21Nnann=（2）21nnT=【解析】【分析】（1）利用等差数列的前 n 项和及通项公式基本量计算即可；（2）利用等比数列概念及通项公式求出 nb的通项公式，再利用等比数列求和公式求解即可.【小问 1 详解】设差数列 na公差为d，则由424SS=，()*221Nnnaan=+可得()()11114684212211adadandand+=+=+，解得112ad=

32、，因此()*21Nnann=.【小问 2 详解】由21nan=，得21nbnab=，又由1nba+是以11a+为首项，2 为公比的等比数列，得12nnba+=，因此22nnb=，所以12nnb=，所以1 2211 2nnnT=.19.如图，在三棱柱111ABCA B C中，所有棱长均为 2，160A AC=，16A B=的第17页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：平面11A ACC 平面 ABC （2）求平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）2 55【解析】【分析】（1）取 AC 中点 M，证明1A MBM，再利用线面垂直、面

33、面垂直的判定推理作答.（2）利用（1）中信息作出平面11BA B 与平面 ABC 所成二面角的平面角，再借助直角三角形求解作答.【小问 1 详解】三棱柱111ABCA B C的所有棱长均为 2，取 AC 中点 M，连接1A M，BM，则 BMAC，由1AAAC=，160A AC=，得1A AC为等边三角形，则1A MAC，显然13A MBM=，而16A B=，则22211A MBMA B+=，有1A MBM，又 ACBMM=，,AC BM 平面 ABC，于是1A M 平面 ABC，而1A M 平面11A ACC，所以平面11A ACC 平面 ABC 【小问 2 详解】在三棱柱111ABCA B

34、 C中，平面111/A B C平面 ABC，因此平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值与平面11BA B 与平面 ABC 的夹角的正弦值相等，由（1）知1A M 平面 ABC，AB 平面 ABC，则1A MAB，过 M 作 MNAB于点 N，连接1A N，第18页/共24页 学科网（北京）股份有限公司有1A MMN，11,MNA MM MN A M=平面1A MN，于是 AB 平面1A MN，而1A N 平面1A MN，则1A NAB，因此1A NM为平面11BA B 与平面 ABC 所成二面角的平面角，显 然3sin 602MNAM=，而13A M=，则2211315342

35、A NA MMN=+=+=，从 而1112 5sin5A MA NMA N=，所以平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值为 2 55 20.第 19 届亚运会将于 2023 年 9 月 23 日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设至 2023 年地铁运行的里程数达到 516 公里，排位全国第六同时，一张总长464 公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客

36、选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究请完成下列 22 列联表，并根据小概率值0.010=的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到 0.001）单位：人 出行方式 国际大都市 中小型城市 合计 偏好地铁 20 100 偏好其他 60 合计 60 （2）国际友人 David 来杭游玩，每日的行程分成()*M M N段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n 段行程上 David 坐地铁的概率为np，易知11p=，20p=试证明14np为等比数列；设第

37、n 次 David 选择共享单车的概率为nq，比较5p 与5q 的大小 第19页/共24页 学科网（北京）股份有限公司附：()()()()22()n adbcabcdacbd=+，nabcd=+0.050 0.010 0.001 x 3.841 6.635 10.828【答案】（1）表格见解析，有关系 （2）证明见解析；55pq【解析】【分析】（1）根据题意即可完成列联表，再根据公式求出2，再对照临界值表即可得出结论；（2）根据全概率公式结合等比数列的定义即可得出结论；先求出np 的表达式，进而可求出55,p q，即可得解.【小问 1 详解】列联表如下：出行方式 国际大都市 中小型城市 合计

38、首选地铁 80 20 100 首选其他 60 40 100 合计 140 60 200 零假设为0H：城市规模与出行偏好地铁无关，()22200 80 4020 609.5246.635100 100 140 60=，根据小概率值0.010=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于 0.010；【小问 2 详解】证明：第n 段行程上 David 坐地铁的概率为np，则当2n 时，第1n 段行程上 David 坐地铁的概率为1np ，不坐地铁的概率为11np，第20页/共24页 学科网（北京）股份有限公司则()11111101333nnnnp

39、ppp=+=+，从而1111434nnpp=，又11344p=，所以14np是首项为 34，公比为13的等比数列；由可知1311434nnp=+，则4531114344p=+，又()5511134qp=21.设抛物线2:2(0)C ypy p=，过焦点 F 的直线与抛物线C 交于点()11,A x y，()22,B xy.当直线AB 垂直于 x 轴时，2AB=.（1）求抛物线C 的标准方程.（2）已知点()1,0P，直线 AP，BP 分别与抛物线C 交于点C，D.求证：直线CD 过定点；求 PAB与 PCD面积之和的最小值.【答案】（1）2:2C yx=（2）证明见解析；52.【解析】【分析】

40、（1）利用弦长求解 p，即可求解抛物线方程；（2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点；（ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.【小问 1 详解】第21页/共24页 学科网（北京）股份有限公司由题意，当直线 AB 垂直于 x 轴时，12px=，代入抛物线方程得1yp=，则2ABp=，所以22p=，即1p=，所以抛物线2:2C yx=.【小问 2 详解】（i）设()33,C xy，()44,D xy，直线1:2AB xmy=+，与抛物线2:2C yx=联立，得2210ymy=，因此122yym+=，121y y=.

41、设直线:1AC xny=+，与抛物线2:2C yx=联立，得2220yny=，因此132yyn+=，132y y=，则312yy=.同理可得422yy=.所以34341222343434121222122222CDyyyyy ykyyxxyyyymyy=+.因此直线()33:2CD xm yyx=+，由对称性知，定点在 x 轴上，令0y=得，223333211112124222222ymxmyxmym yyyy=+=+=+=+()1221222211111212122222yyyy yyyyyy+=+=+=+=，所以直线CD 过定点()2,0Q.（ii）因为12121124PABSPFyyyy

42、=，12341212121211221122PCDyySPQyyyyyyyyy y=，所以221255554414422PABPCDSSyymm+=+=+，当且仅当0m=时取到最小值 52.22.设函数()2(1)exf xxax=，若曲线()f x 在0 x=处的切线方程为2yxb=+（1）求实数,a b 的值（2）证明：函数()f x 有两个零点 第22页/共24页 学科网（北京）股份有限公司（3）记()fx是函数()f x 的导数，1x，2x 为()f x 的两个零点，证明：122xxfa+【答案】（1）11ab=（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义

43、代入()02f=即可得,a b 的值；（2）根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明结论；（3）利用（1）（2）中的结论，结合()f x 单调性并构造函数并求其单调性，即可实现不等式证明.【小问 1 详解】由题意可得()()21 exfxxa=，由切线方程可知其斜率为 2，所以()()02,0,ffb=，解得11ab=【小问 2 详解】由()0f x=可得2(1)e0 xxx=，所以2(1)0exxx=；函数()f x 有两个零点即函数()2(1)exxg xx=有两个零点()()112exgxx=+，当1x 时，()0gx时，()0gx，()g x 单调递增 又()010g=，(

44、)110eg=，所以()()010gg，()()120gg，由零点存在定理可得()10,1x使得()10g x=，()21,2x使得()20g x=，所以函数()f x 有两个零点 第23页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【小问 3 详解】由（1）（2）知2()(1)exf xxx=，可得()()21 e1xfxx=且12012xx ，即证明1221221 e112xxxx+，即证明122xx+令()()()2(01)h xg xgxx=，则()()()()()()()2221ee11212120eeexxxxxh xgxgxxx=+=+=因此()10h x，即()()112g xgx，又12012xx；即()()212g xgx，又2x，()121,2x，且()g x()1,2 上单调递增，因此212xx，即122xx+命题得证【点睛】关键点点睛：本题第（3）问证明的关键在于将不等式122xxfa+转化成求证122xx+，然后再利用构造函数利用函数单调性证明.在第24页/共24页 学科网（北京）股份有限公司