2022版新教材数学人教A版必修第一册学案：第五章 三角函数 章末总结 WORD版含答案.docx

1、章末总结体系构建题型整合题型1 同角三角函数基本关系式和诱导公式的应用 例1 已知f()=sin2(-)cos(2-)tan(-+)sin(-+)tan(-+3) .（1）化简f() ;（2）若f()=18 ,且42 ,求cos-sin 的值;（3）若=-474 ,求f() 的值.答案： （1）f()=sin2costan(-sin)(-tan)=sincos .（2）由f()=sincos=18 可知,(cos-sin)2=cos2-2sincos+sin2=1-2sincos=1-218=34 ,因为42 ,所以cossin ,即cos-sin0 ,所以cos-sin=-32 .（3）因为

2、=-474=-62+4 ,所以f(-474)=cos(-474)sin(-474)=cos(-62+4)sin(-62+4)=cos4sin4=2222=12 .方法归纳1.牢记两个基本关系式sin2+cos2=1 及sincos=tan ，并能应用这两个关系式进行三角函数的化简、求值、证明2诱导公式可概括为k2(kZ) 的各三角函数值的化简公式.记忆规律是“奇变偶不变,符号看象限”.迁移应用1.（2021湖南长沙雅礼中学高一月考）已知sin(-+)+2cos(3-)=0 ,则sin+cossin-cos= .答案： 13解析： 因为sin(-+)+2cos(3-)=0 ,所以-sin-2co

3、s=0 ,所以tan=-2 ,所以sin+cossin-cos=tan+1tan-1=-2+1-2-1=13 .题型2 三角函数的图象与性质例2（1）函数y=cos(2x+3) 图象的对称轴方程可能是( )A.x=-6 B.x=-12C.x=6 D.x=12（2）函数f(x)=(1-cosx)sinx 在-, 上的图象大致为( )A.B.C.D.（3）若02,g(x)=sin(2x+4+) 是偶函数,则 的值为 .答案：（1）A（2）C（3）4解析： （1）令2x+3=k(kZ) ,得x=k2-6(kZ) ,令k=0 ,得该函数图象的一条对称轴为直线x=-6 .（2）因为函数f(x)=(1-c

4、osx)sinx 为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以排除B.当0x2 时,f(x)0 ,所以排除A .f(2)=(1-cos2)sin2=1 ,所以排除D ,故选C.（3）若g(x)=sin(2x+4+) 为偶函数,则4+=k+2,kZ ,所以=k+4,kZ .因为02 ,所以=4 .方法归纳正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用.迁移应用2.设函数f(x)=2sin(2x-4),xR .（1）求函数f(x) 的最小正周期和单调递增区间;（2）求函数f(x) 在区间8,34 上的最小值和最大

5、值,并求出取得最值时x 的值.答案：（1）函数f(x) 的最小正周期T=22= ,由2k-22x-42k+2(kZ) 得,k-8xk+38(kZ) ,所以函数f(x) 的单调递增区间是k-8,k+38(kZ) .（2）令t=2x-4 ,则由8x34 可得0t54 ,所以当t=54 ,即x=34 时,ymin=2(-22)=-1 ,当t=2, 即x=38 时,ymax=21=2 .题型3 两角和与差的正弦、余弦与正切公式、二倍角公式的应用 例3 （2021辽宁沈阳铁路实验中学高一月考）若tan(-)=13,tan=14 ,则tan2= .答案： 7736解析： 由已知得tan=tan(-)+=t

6、an(-)+tan1-tan(-)tan=13+141-1314=711 ,所以tan2=2tan1-tan2=27111-(711)2=7736 .例4 求证：cos21tan2-tan2=14sin2 .答案：证明 左边=cos2tan21-tan22=12cos22tan21-tan22=12cos2tan=12cossin=14sin2= 右边,所以原等式成立.方法归纳1.对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变成“已知角”2.三角恒等式证明的常用方法：（1）执因索果法：证明的形式一般为化繁为简;（2）左右归一法：证明左

7、、右两边都等于同一个式子;（3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,即化异求同;（4）比较法：设法证明“左边 右边0 ”或“左边/右边1 ”;（5）分析法：从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到得到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.迁移应用3.已知sin(4+)sin(4-)=16,(2,) ,则sin41+cos2 的值为 .答案： -4215解析：因为sin(4+)sin(4-)=16 ,所以sin(4+)cos(4+)=16 ,因为2sin(4+)cos(4+)=sin(2+2) ,所以sin(2+2)=13 ,即cos2=

8、13 .又(2,) ,所以2(,2) ,所以sin2=-1-cos22=-1-(13)2=-223 ,所以sin41+cos2=2sin2cos21+1+cos22=2(-223)131+1+132=-4215 .4.(sin2+cos2-1)(sin2-cos2+1)sin4= .答案： tan解析： 原式=sin22-(cos2-1)22sin2cos2=sin22-cos22+2cos2-12sin2cos2=-2cos22+2cos22sin2cos2=1-cos2sin2=2sin22sincos=sincos=tan .题型4 三角恒等变换的综合应用例5 （2021吉林辽源高一月考

9、）已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1 .（1）求函数f(x) 的单调递增区间;（2）当x0,2 时,求函数f(x) 的最大值及相应的x 的值.答案： （1）f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+6) ,令2k-22x+62k+2(kZ) ,得k-3xk+6(kZ) ,所以f(x) 的单调递增区间为k-3,k+6(kZ) .（2）由x0,2 可得62x+676 ,所以当2x+6=2 ,即x=6 时,f(x) 取得最大值,最大值为2.方法归纳利用二倍角公式降幂,利用两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为f（x）=Asin（x

10、+）+B(f(x)=Acos(x+)+B) 的形式,然后把x+ 看作一个整体,利用正弦（余弦）函数的性质求解.迁移应用5.（2021贵州铜仁高一月考）已知函数f(x)=sin2x+23sinxcosx-12cos2x,xR .（1）求f(x) 的最小正周期和单调递减区间;（2）若x0(0x02) 为f(x) 的一个零点,求sin2x0 的值.答案： （1）f(x)=sin2x+23sinxcosx-12cos2x=12(1-cos2x)+3sin2x-12cos2x=3sin2x-cos2x+12=2sin(2x-6)+12则f(x) 的最小正周期T=22= .令2+2k2x-632+2k,k

11、Z 得,3+kx56+k,kZ ,所以函数f(x) 的单调递减区间为3+k,56+k,kZ .（2）若f(x0)=0 ,则2sin(2x0-6)+12=0, 即sin(2x0-6)=-14 ,因为0x02 ,所以2x0-6-6,56 ,所以cos(2x0-6)=154 ,所以sin2x0=sin(2x0-6)+6=sin(2x0-6)cos6+cos(2x0-6)sin6=-1432+15412=15-38题型5 函数y=Asin（ x+）性质的应用 例6 （2021四川泸县第四中学高一月考）函数f(x)=2sin(x+)(0,|2) 的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.函数f(x

12、) 在区间(-2,0) 上单调递增B.函数f(x) 的最小正周期为2C.函数f(x) 的图象关于点(6,0) 对称D.函数f(x) 的图象可以由y=2sinx 的图象向右平移56 个单位长度得到答案： D解析：由题图可得T4=712-3=4 ,所以T= ,由2T= ,得=2 ,因为f(x) 的图象过(3,0),(712,-2) 两点,所以2sin(32+)=0sin(32+)=032+=k(kZ),=k-23(kZ) ,又|2 ,所以当k=1 时,=3 ,所以函数f(x)=2sin(2x+3) .由-2+2k2x+32+2k(kZ) ,解得k-512xk+12(kZ) ,当k=0 时,f(x)

13、 的单调递增区间为(-512,12) ,所以A中说法错误;函数f(x) 的最小正周期T= ,所以B中说法错误;由2x+3=k(kZ) 得,x=k2-6(kZ) ,当k=1 时,x=3 ,所以f(x) 图象的一个对称中心为(3,0) ,所以C中说法错误;因为f(x)=2sin(2x+3)=2sin2(x+6) ,所以函数f(x) 的图象可以由y=2sin2x 的图象向右平移56 个单位长度得到,所以D中说法正确.故选D.方法归纳根据函数的图象求解析式,先由图象的最高点、最低点确定A 的值,根据函数的周期确定 的值,再根据函数图象上的一个特殊点确定 的值进行函数图象平移变换时,应注意“左加右减”.

14、迁移应用6.（多选）（2021江苏苏州星海中学高一调研）把函数y=sin2x 的图象沿x 轴向左平移6 个单位长度,纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f(x) 的图象,对于函数y=f(x) 有以下四个判断,其中正确的有( )A.f(x)=2sin(2x+6)B.函数f(x) 的图象关于点(3,0) 对称C.函数f(x) 在0,6 上是增函数D.若函数y=f(x)+a 在0,2 上的最小值为3 ,则a=23答案：B ; D解析：将函数y=sin2x 的图象向左平移6 个单位长度得到y=sin2(x+6)=sin(2x+3) 的图象,再将纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin(2x

15、+3) 的图象,所以A不正确;y=f(3)=2sin(23+3)=2sin=0 ,所以函数f(x) 的图象关于点(3,0) 对称,所以B正确;由-2+2k2x+32+2k,kZ ,得-512+kx12+k,kZ ,即函数f(x) 的单调增区间为-512+k,12+k,kZ ,当k=0 时,f(x) 的增区间为-512,12 ,所以C不正确;y=f(x)+a=2sin(2x+3)+a, 当0x2 时,32x+343 ,故-32sin(2x+3)1 ,所以当2x+3=43 ,即x=2 时,函数f(x) 取得最小值-3 ,所以ymin=-3+a=3 ,所以a=23 ,所以D正确.故选BD.题型6 三

16、角函数的实际应用 例7 如图所示,一条直角走廊宽2米.现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形ABEF ,它的宽为1米.直线EF 分别交直线AC、BC 于M、N 两点,过墙角D 作DPAC 于点P,DQBC 于点Q ,且CAB= .（1）若平板车卡在直角走廊内,试求平板面EF 的长（用 表示）;（2）若平板车想顺利通过直角走廊,其长度（设为l ）不能超过多少米?答案： （1）由直角三角形中三角函数的定义得,DM=2sin,DN=2cos,MF=1tan,EN=tan ,所以EF=DM+DN-MF-EN=2sin+2cos-1tan-tan=2(sin+cos)-1sincos(02) .（2）若

17、平板车想顺利通过直角走廊,则对任意角(02) ,平板车的长度不能超过l 的最小值.设sin+cos=t,1t2 ,则sincos=t2-12 ,所以l=2(sin+cos)-1sincos=4t-2t2-1=4(t-1)+2t2-1=4t+1+2t2-1 ,因为y=4t+1,y=2t2-1 都是减函数,所以当t=2 时,l 取得最小值42-2 .故若平板车想顺利通过直角走廊,则其长度不能超过(42-2) 米.方法归纳在三角函数的实际应用中,要根据题干信息构造三角函数式,在一个三角函数式中同时含有sin+cos、sincos 时,需要用换元法求解,应注意新元的取值范围迁移应用7.如图,某动物种群

18、数量在某年1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间呈正弦型曲线变化（1）求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式;（其中t 以年初以来的月为计量单位）（2）估计当年3月1日该动物种群数量.答案： （1）设种群数量y 关于时间t 的解析式为y=Asin(t+)+B(A0,0,|2) ,则-A+B=700,A+B=900, 解得A=100,B=800 .又T=2(6-0)=12 ,所以=2T=6 ,所以y=100sin(6t+)+800 .又当t=6 时,y=900 ,所以900=100sin(66+)+800 ,即sin(+)=1 ,解得sin=-1 ,因为|2 ,所以=-2

19、,所以y=100sin(6t-2)+800 .（2）当t=2 时,y=100sin(62-2)+800=750 ,即当年3月1日该动物种群数量约是750.高考链接1.（2020课标,2,5分）若 为第四象限角,则( )A.cos20 B.cos20C.sin20 D.sin20答案： D解析：由 为第四象限角可得,32+2k2+2k,kZ ,所以3+4k24+4k,kZ ,此时2 的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上,所以sin20,cos2 的值可正、可负、可为零,故选D.2.（2020课标,7,5分）设函数f(x)=cos(x+6) 在-, 的图象大致如图,则f(x) 的最小正周期为

20、( )A.109 B.76 C.43 D.32答案： C解析：由题图可得,函数f(x) 的图象过点(-49,0) ,代入函数f(x) 的解析式可得,cos(-49+6)=0 ,又(-49,0) 是函数f(x) 的图象与x 轴负半轴的第一个交点,所以-49+6=-2 ,解得=32 ,所以函数f(x) 的最小正周期T=2=232=43 ,故选C.3.（2020课标,9,5分）已知(0,) ,且3cos2-8cos=5 ,则sin= ( )A.53 B.23 C.13 D.59答案： A解析：由3cos2-8cos=5 得,6cos2-8cos-8=0 ,即3cos2-4cos-4=0 ,解得cos

21、=-23或cos=2 （舍去）,(0,),sin=1-cos2=53. 故选A.4.（多选）（2020新高考,10,5分）如图是函数y=sin(x+) 的部分图象,则sin(x+)= ( )A.sin(x+3) B.sin(3-2x)C.cos(2x+6) D.cos(56-2x)答案： B ; C解析：由题图可知T2=23-6=2 ,所以T= ,则|=2T=2=2 ,所以A错误.不妨取=2 ,则y=sin(2x+) ,当x=23+62=512 时,y=-1 ,所以2512+=32+2k(kZ) ,解得=2k+23(kZ) ,则函数的解析式为y=sin(2x+23+2k)=sin(2x+6+2

22、)=cos(2x+6)=sin(3-2x) ,故B、C正确.又cos(2x+6)=-cos(56-2x) ,故D错误.故选BC.5.（2020天津,8,5分）已知函数f(x)=sin(x+3) .给出下列结论：f(x) 的最小正周期为2 ;f(2) 是f(x) 的最大值;把函数y=sinx 的图象上所有点向左平移3 个单位长度,可得到函数y=f(x) 的图象.其中所有正确结论的序号是( )A.B.C.D.答案： B解析：因为f(x)=sin(x+3) ,所以T=2|=2 ,故中结论正确;f(2)=sin(2+3)=sin56=121 ,故中结论不正确;将函数y=sinx 的图象上所有点向左平移

23、3 个单位长度,得到y=sin(x+3) 的图象,故中结论正确.故选B.6.（2018天津,6,5分）将函数y=sin(2x+5) 的图象向右平移10 个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间34,54 上单调递增B.在区间34, 上单调递减C.在区间54,32 上单调递增D.在区间32,2 上单调递减答案： A解析：将y=sin(2x+5) 的图象向右平移10 个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin2(x-10)+5=sin2x ,当2k-22x2k+2(kZ) ,即k-4xk+4(kZ) 时,y=sin2x 单调递增,令k=1 ,则x34,54 ,所以y=sin2x 在34

24、,54 上单调递增,故选A.7.（2019课标,9,5分）下列函数中,以2 为周期且在区间(4,2) 单调递增的是( )A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|答案： A解析：对于选项A,作出f(x)=|cos2x| 的部分图象,如图1所示,则f(x) 在(4,2) 上单调递增,且最小正周期T=2 ,故A正确.对于选项B,作出f(x)=|sin2x| 的部分图象,如图2所示,则f(x) 在(4,2) 上单调递减,故B不正确.对于选项C,因为f(x)=cos|x|=cosx ,所以其最小正周期T=2 ,故C不正确.对于选项D

25、,作出f(x)=sin|x| 的部分图象,如图3所示,显然f(x) 不是周期函数,故D不正确.故选A.图1图2图38.（2019课标,5,5分）函数f(x)=sinx+xcosx+x2 在-, 的图象大致为( )A. B.C. D.答案： D解析：因为f(-x)=sin(-x)-xcos(-x)+(-x)2=-sinx+xcosx+x2=-f(x) ,所以f(x) 是奇函数.又f()=sin+cos+2=-1+20 ,故选D.9.（2019天津,7,5分）已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|) 是奇函数,将y=f(x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,所得图象

26、对应的函数为g(x) .若g(x) 的最小正周期为2 ,且g(4)=2 ,则f(38)= ( )A.-2B.-2 C.2 D.2答案： C解析：因为f(x)=Asin(x+) 为奇函数,所以=k,kZ ,又| ,所以=0 ,所以f(x)=Asinx ,则g(x)=Asinx2 .由g(x) 的最小正周期T=2 得,2=2T=1 ,所以=2 .又g(4)=Asin4=22A=2 ,所以A=2 ,所以f(x)=2sin2x ,所以f(38)=2sin34=2 ,故选C.10.（2020北京,14,5分）若函数f(x)=sin(x+)+cosx 的最大值为2,则常数 的一个取值为 .答案： 2解析： f(x)=sin(x+)+cosx 的最大值为2,cosx=1 ,解得x=2k,kZ ,且sin(x+)=sin(2k+)=sin=1 ,=2+2n,nZ , 可取2 .