立体几何解答题最全归纳总结（九大题型）（学生版）.pdf

1、立体几何解答题最全归纳总结目录题型一：非常规空间几何体为载体题型二：立体几何存在性问题题型三：立体几何折叠问题题型四：立体几何作图问题题型五：立体几何建系繁琐问题题型六：两角相等(构造全等)的立体几何问题题型七：利用传统方法找几何关系建系题型八：空间中的点不好求题型九：创新定义必考题型归纳题型一：非常规空间几何体为载体1(2023全国高三专题练习)已知正四棱台 ABCD-A1B1C1D1的体积为 28 23，其中 AB=2A1B1=4.(1)求侧棱 AA1与底面 ABCD 所成的角；(2)在线段 CC1上是否存在一点 P，使得 BP A1D？若存在请确定点 P 的位置；若不存在，请说明理由.2

2、(2023全国高三专题练习)在三棱台 ABC-DEF 中，G 为 AC 中点，AC=2DF，AB BC，BC CF.1(1)求证：BC 平面 DEG；(2)若 AB=BC=2，CF AB，平面 EFG 与平面 ACFD 所成二面角大小为 3，求三棱锥 E-DFG 的体积.3(2023重庆万州高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)如图，在正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2A1B1，AA1=3，M，N 为棱 B1C1，C1D1 的中点，棱 AB 上存在一点 E，使得 A1E 平面BMND (1)求 AEAB；(2)当正四棱台 ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求 BB1与平

3、面 BMND 所成角的正弦值1.(2023湖北黄冈浠水县第一中学校考模拟预测)如图，在三棱台 A1B1C1-ABC 中，A1B1=2，AB=AC=4，AA1=CC1=5，BB1=3，BAC=2 (1)证明：平面 A1ACC1 平面 ABC；(2)设 D 是 BC 的中点，求平面 A1ACC1与平面 A1AD 夹角的余弦值2.(2023安徽高三安徽省定远中学校考阶段练习)如图，圆锥 PO 的高为 3，AB 是底面圆 O 的直径，四边形 ABCD 是底面圆 O 的内接等腰梯形，且 AB=2CD=2，点 E 是母线 PB 上一动点.2 (1)证明：平面 ACE 平面 POD；(2)若二面角 A-EC

4、-B 的余弦值为130130，求三棱锥 A-ECD 的体积.3.(2023云南云南师大附中校考模拟预测)如图，P 为圆锥的顶点，A，B 为底面圆 O 上两点，AOB=23，E 为 PB 中点，点 F 在线段 AB 上，且 AF=2FB.(1)证明：平面 AOP 平面 OEF；(2)若 OP=AB，求直线 AP 与平面 OEF 所成角的正弦值.4.(2023内蒙古赤峰校联考三模)如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，四边形 ABCD 是圆 O的内接四边形，BD 为底面圆的直径，M 在母线 PB 上，且 AB=BC=BM=2，BD=4，MD=2 3 (1)求证：平面 AMC 平面 ABCD

5、；(2)设点 E 为线段 PO 上动点，求直线 CE 与平面 ADM 所成角的正弦值的最大值35.(2023山东潍坊统考模拟预测)如图，线段 AA1是圆柱 OO1的母线，ABC 是圆柱下底面 O 的内接正三角形，AA1=AB=3(1)劣弧 BC上是否存在点 D，使得 O1D 平面 A1AB？若存在，求出劣弧 BD的长度；若不存在，请说明理由(2)求平面 CBO1和平面 BAA1所成角的正弦值题型二：立体几何存在性问题4(2023全国高三对口高考)如图，如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ABC=DAB=90,CAB=30,BC=2,AD=4把 DAC 沿对角线 AC 折起到 PAC 的位置，如

6、图 2 所示，使得点 P 在平面 ABC上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上，连接 PB，点 E，F 分别为线段 PA，AB 的中点 (1)求证：平面 EFH 平面 PBC；(2)求直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值；(3)在棱 PA 上是否存在一点 M，使得 M 到点 P,H,A,F 四点的距离相等？请说明理由5(2023上海长宁上海市延安中学校考三模)已知 ABC 和 ADE 所在的平面互相垂直，AD AE，AB=2，AC=4，BAC=120，D 是线段 BC 的中点，AD=3.(1)求证：AD BE；(2)设 AE=2，在线段 AE 上是否存在点 F(异于点 A)，使得二面角

7、A-BF-C 的大小为 45.6(2023湖南邵阳邵阳市第二中学校考模拟预测)如图，在 ABC 中，B=90，P 为 AB 边上一动点，PD BC 交 AC 于点 D，现将 PDA 沿 PD 翻折至 PDA.4(1)证明：平面 CBA 平面 PBA；(2)若 PB=CB=2PD=4，且 AP AP，线段 AC 上是否存在一点 E(不包括端点)，使得锐二面角 E-BD-C 的余弦值为 3 1414，若存在求出 AEEC 的值，若不存在请说明理由.6.(2023福建厦门统考模拟预测)筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形如图，四边形ABCD 为筝形，其对角线交点为 O,AB=2,BD=BC=

8、2，将 ABD 沿 BD 折到 ABD 的位置，形成三棱锥 A-BCD (1)求 B 到平面 AOC 的距离；(2)当 AC=1 时，在棱 AD 上是否存在点 P，使得直线 BA 与平面 POC 所成角的正弦值为 14？若存在，求 APAD 的值；若不存在，请说明理由7.(2023湖北襄阳襄阳四中校考模拟预测)斜三棱柱 ABC-A1B1C1的各棱长都为 4,A1AB=60，点A1在下底面 ABC 的投影为 AB 的中点 O.(1)在棱 BB1(含端点)上是否存在一点 D 使 A1D AC1？若存在，求出 BD 的长；若不存在，请说明理由；(2)求点 A1到平面 BCC1B1的距离.58.(20

9、23全国高三专题练习)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，CD 平面 PAD，PAD 为等边三角形，AD BC，AD=CD=2BC=2，平面 PBC 交平面 PAD 直线 l，E、F 分别为棱 PD，PB 的中点 (1)求证：BC l；(2)求平面 AEF 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值；(3)在棱 PC 上是否存在点 G，使得 DG 平面 AEF？若存在，求 PGPC 的值，若不存在，说明理由9.(2023湖北襄阳襄阳四中校考模拟预测)在三棱锥 P-ABC 中，若已知 PA BC，PB AC，点 P在底面 ABC 的射影为点 H，则(1)证明：PC AB(2)设 PH=HA=HB=HC=

10、2，则在线段 PC 上是否存在一点 M，使得 BM 与平面 PAB 所成角的余弦值为 45，若存在，设 CMCP=，求出 的值，若不存在，请说明理由.10.(2023浙江校联考模拟预测)在四棱锥 E-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，AD=2AB=2，EAD为等腰直角三角形，平面 EAD 平面 ABCD，G 为 BC 中点.(1)在线段 AD 上是否存在点 Q，使得点 Q 到平面 EGD 的距离为32.若存在，求出 DQ 的值；若不存在，说明理由；(2)求二面角 D-EC-B 的正弦值.611.(2023全国高三专题练习)如图，在三棱锥 P-ABC 中，侧面 PAC 是边长为 2 的正三角

11、形，BC=4，AB=2 5，E,F 分别为 PC,PB 的中点，平面 AEF 与底面 ABC 的交线为 l.(1)证明：l 平面 PBC.(2)若三棱锥 P-ABC 的体积为 4 33，试问在直线 l 上是否存在点 Q，使得直线 PQ 与平面 AEF 所成角为，异面直线 PQ,EF 所成角为，且满足 +=2？若存在，求出线段 AQ 的长度；若不存在，请说明理由.12.(2023安徽淮北统考二模)如图所示，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC=60,PC BD,PA=AB=22 PB.(1)证明：PA 面 ABCD；(2)线段 PD 上是否存在点 E，使平面 ACE 与平面

12、PAB 夹角的余弦值为3913？若存在，指出点 E 位置；若不存在，请说明理由.题型三：立体几何折叠问题7(2023河南洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)在图 1 中，ABC 为等腰直角三角形，B=90，AB=2 2，ACD 为等边三角形，O 为 AC 边的中点，E 在 BC 边上，且 EC=2BE，沿 AC 将ACD 进行折叠，使点 D 运动到点 F 的位置，如图 2，连接 FO，FB，FE，使得 FB=47 (1)证明：FO 平面 ABC(2)求二面角 E-FA-C 的余弦值8(2023广东深圳校考二模)如图 1 所示，等边 ABC 的边长为 2a，CD 是 AB 边上的高，E，F 分别是

13、 AC，BC 边的中点现将 ABC 沿 CD 折叠，如图 2 所示.(1)证明：CD EF；(2)折叠后若 AB=a，求二面角 A-BD-E 的余弦值.9(2023四川南充高三阆中中学校考阶段练习)如图甲所示的正方形 AAA1A1中，AA1=12,AB=A1B1=3,BC=B1C1=4,对角线 AA1分别交 BB1,CC1于点 P,Q，将正方形 AAA1A1沿 BB1,CC1折叠使得AA1与 AA1重合，构成如图乙所示的三棱柱 ABC-A1B1C1.(1)若点 M 在棱 AC 上，且 AM=157，证明：BM 平面 APQ；(2)求二面角 A1-PQ-A 的余弦值.13.(2023重庆渝中高三

14、重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知如图甲所示，直角三角形 SAB 中，ABS=890，AB=BS=6，C，D 分别为 SB，SA 的中点，现在将 SCD 沿着 CD 进行翻折，使得翻折后 S 点在底面 ABCD 的投影 H 在线段 BC 上，且 SC 与平面 ABCD 所成角为 3，M 为折叠后 SA 的中点，如图乙所示.(1)证明：DM 平面 SBC；(2)求平面 ADS 与平面 SBC 所成锐二面角的余弦值.14.(2023全国高三专题练习)如图 1，在直角梯形 BCDE 中，BC DE，BC CD，A 为 DE 的中点，且DE=2BC=4，BE=2 2，将 ABE 沿 AB 折起，使得点 E

15、 到达 P 处(P 与 D 不重合)，记 PD 的中点为M，如图 2(1)在折叠过程中，PB 是否始终与平面 ACM 平行？请说明理由；(2)当四棱锥 P-ABCD 的体积最大时，求 CD 与平面 ACM 所成角的正弦值15.(2023全国高三专题练习)如图，四边形 ABCD 中，AB AD,AD BC,AD=6,BC=2AB=4，E，F 分别在 BC，AD 上，EF AB，现将四边形 ABCD 沿 EF 折起，使 BE EC(1)若 BE=3，在折叠后的线段 AD 上是否存在一点 P，使得 CP 平面 ABEF？若存在，求出 APPD 的值；若不存在，说明理由9(2)求三棱锥 A-CDF 的

16、体积的最大值，并求出此时点 F 到平面 ACD 的距离16.(2023全国高三专题练习)如图，四边形 MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，ACB=90,MAC是边长为 2 的正三角形，以 AC 为折痕，将 MAC 向一方折叠到 DAC 的位置，使 D 点在平面 ABC 内的射影在 AB 上，再将 MAC 向另一方折叠到 EAC 的位置，使平面 EAC 平面 ABC，形成几何体DABCE.(1)若点 F 为 BC 的中点，求证：DF 平面 EAC；(2)求平面 ACD 与平面 BCE 所成角的正弦值.17.(2023四川泸州泸县五中校考三模)如图 1，在梯形 ABCD 中，AB CD，且 A

17、B=2CD=4，ABC是等腰直角三角形，其中 BC 为斜边.若把 ACD 沿 AC 边折叠到 ACP 的位置，使平面 PAC 平面ABC，如图 2.(1)证明：AB PA；(2)若 E 为棱 BC 的中点，求点 B 到平面 PAE 的距离.18.(2023湖南长沙长沙一中校考一模)如图 1，四边形 ABCD 为直角梯形，AD BC，AD AB，BCD=60，AB=2 3，BC=3，E 为线段 CD 上一点，满足 BC=CE，F 为 BE 的中点，现将梯形沿 BE折叠(如图 2)，使平面 BCE 平面 ABED.10(1)求证：平面 ACE 平面 BCE；(2)能否在线段 AB 上找到一点 P(

18、端点除外)使得直线 AC 与平面 PCF 所成角的正弦值为34？若存在，试确定点 P 的位置；若不存在，请说明理由.题型四：立体几何作图问题10(2023云南昆明高三校考阶段练习)已知正四棱锥 P-ABCD 中，O 为底面 ABCD 的中心，如图所示(1)作出过点 O 与平面 PAD 平行的截面，在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，写出简要作图过程及理由；(2)设 PD 的中点为 G，PA=AB，求 AG 与平面 PAB 所成角的正弦值11(2023贵州校联考模拟预测)如图，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，CD=CC1=AC1=2，DCB=3，且 co

19、sC1CD=cosC1CB=34.(1)试在平面 ABCD 内过点 C 作直线 l，使得直线 l 平面 C1BD，说明作图方法，并证明：直线 l B1D1；11(2)求平面 BC1D 与平面 A1B1D 所成锐二面角的余弦值.12(2023全国高三专题练习)如图，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，CD=CC1=AC1=2，DCB=3 且 cosC1CD=cosC1CB=34.(1)试在平面 ABCD 内过点 C 作直线 l，使得直线 l 平面 C1BD，说明作图方法，并证明：直线 l B1D1；(2)求点 C 到平面 A1BD 的距离.19.(2023全国高三

20、专题练习)如图多面体 ABCDEF 中，面 FAB 面 ABCD，FAB 为等边三角形，四边形 ABCD 为正方形，EF BC，且 EF=32 BC=3，H，G 分别为 CE，CD 的中点.(1)求二面角 C-FH-G 的余弦值；(2)作平面 FHG 与平面 ABCD 的交线，记该交线与直线 AB 交点为 P，写出 APAB 的值(不需要说明理由，保留作图痕迹).20.(2023全国高三专题练习)四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB=23.AC BD=O,且 PO 平面 ABCD，PO=3，点 F,G 分别是线段 PB.PD 上的中点，E 在 PA 上.且 P

21、A=3PE.()求证：BD 平面 EFG；()求直线 AB 与平面 EFG 的成角的正弦值；()请画出平面 EFG 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.1221.(2023安徽六安安徽省舒城中学校考模拟预测)如图，已知多面体 EABCDF 的底面 ABCD 是边长为2 的正方形，EA 底面 ABCD，FD EA，且 FD=12 EA=1.(1)记线段 BC 的中点为 K，在平面 ABCD 内过点 K 作一条直线与平面 ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；(2)求直线 EB 与平面 ECF 所成角的正弦值.22.(2023广西高三统考阶段练习)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，

22、侧面 BB1C1C 为菱形.(1)(如图 1)若点 P 为 ABC 内任一点，作出 C1P 与面 ACB1的交点 M(作出图象并写出简单的作图过程，不需证明)；(2)(如图 2)若面 ACB1 面 BB1C1C,AC AB1,AC=AB1,CBB1=60，求二面角 A-A1B1-C1的余弦值.23.(2023四川成都成都七中校考模拟预测)ABC 是边长为 2 的正三角形，P 在平面上满足 CP=CA，将 ACP 沿 AC 翻折，使点 P 到达 P 的位置，若平面 PBC 平面 ABC，且 BC PA13(1)作平面，使得 AP，且 BC ，说明作图方法并证明；(2)点 M 满足 MC=2PM，

23、求二面角 P-AB-M 的余弦值24.(2023四川绵阳高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，侧棱 PA 平面 ABCD，点 M 在棱 DP 上，且DM=2MP，点 N 是在棱 PC 上的动点(不为端点).(如图所示)(1)若 N 是棱 PC 中点，(i)画出 PBD 的重心 G(保留作图痕迹)，指出点 G 与线段 AN 的关系，并说明理由；(ii)求证：PB 平面 AMN；(2)若四边形 ABCD 是正方形，且 AP=AD=3，当点 N 在何处时，直线 PA 与平面 AMN 所成角的正弦值取最大值.题型五：立体几何建系繁琐问题13(2

24、023福建福州福建省福州格致中学校考模拟预测)如图，在四棱台 ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD 是菱形，ABC=3，B1BD=6，B1BA=B1BC,AB=2A1B1=2,B1B=3(1)求证：直线 AC 平面 BDB1；(2)求直线 A1B1与平面 ACC1所成角的正弦值.14(2023全国模拟预测)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 BCC1B1为正方形，M，N 分别为14BC,A1C1的中点，AC B1M(1)证明：MN 平面 ABB1A1；(2)若 BC=2，三棱锥 A-B1MN 的体积为 2，求二面角 A-B1M-N 的余弦值15(2023江西抚州高三校联考阶段

25、练习)如图，在几何体 ABCDE 中，AB=BC,AB BC，已知平面 ABC 平面 ACD，平面 ABC 平面 BCE，DE 平面 ABC，AD DE(1)证明：DE 平面 ACD；(2)若 AC=2CD=2，设 M 为棱 BE 上的点，且满足 2BM=ME，求当几何体 ABCDE 的体积取最大值时，AM 与 CD 所成角的余弦值25.(2023黑龙江佳木斯高一建三江分局第一中学校考期末)如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M,N 分别为 BC,B1C1的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1和 P 的平面交AB 于 E，交 AC 于 F(1

26、)证明：平面 A1AMN EB1C1F；15(2)设 O 为 A1B1C1的中心，若 AO 平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值26.(2023黑龙江哈尔滨哈九中校考三模)如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于F.(1)证明：AA1 MN，且平面 A1AMN 平面 EB1C1F；(2)设 O 为 A1B1C1的中心，若 AO=AB=12，AO 平面 EB1C1F，且 MPN=3，求四棱

27、锥 B-EB1C1F 的体积.27.(2023重庆沙坪坝高三重庆一中校考期中)如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，每一个面均为边长为 2 的菱形，平面 ABB1A1 底面 ABCD，DAB=60，M，N 分别是 AA1，BB1的中点，P 是 B1M的中点.(1)证明：DP 平面 ACN；(2)若侧棱 AA1与底面 ABCD 所成的角为 60，求平面 DPB1与平面 ADD1A1所成锐二面角的余弦值.28.(2023全国高三专题练习)已知四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD，AD BC，BC AB，AB=AD=12 BC，BD=2，PD=516(1)求直线 PC 与平面

28、PBD 所成角的正弦值；(2)线段 PB 上是否存在一点 M，使得 CM 平面 PBD？若存在，请指出点 M 的位置；若不存在，请说明理由29.(2023全国模拟预测)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1的底面为等边三角形，AA1=AC，点 D，E 分别为AC，CC1的中点，CED=30，A1B=2BD=6(1)求点 A1到平面 BDE 的距离；(2)求二面角 A1-BE-D 的余弦值30.(2023全国高三专题练习)已知两个四棱锥 P1-ABCD 与 P2-ABCD 的公共底面是边长为 4 的正方形，顶点 P1，P2在底面的同侧，棱锥的高 P1O1=P2O2=2，O1，O2分别为 AB，CD

29、的中点，P1D 与 P2A 交于点 E，P1C 与 P2B 交于点 F.(1)求证：点 E 为线段 P2A 的中点；(2)求这两个棱锥的公共部分的体积.31.(2023全国高一专题练习)九章算术是中国古代的一部数学专著，是算经十书中最重要的一部，17成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.九章算术中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥 P-ABC 中，PA 平面 ABC.(1)从三棱锥 P-ABC 中选择合适的两条棱填空：，则三棱锥 P-ABC 为“鳖臑”；(2)如图，已知 AD PB，垂足

30、为 D，AE PC，垂足为 E，ABC=90.(i)证明：平面 ADE 平面 PAC；(ii)设平面 ADE 与平面 ABC 交线为 l，若 PA=2 3，AC=2，求二面角 E-l-C 的大小.32.(2023浙江金华高一浙江金华第一中学校考期末)如图，四面体 ABCD 中，ABC 等边三角形，AB AD，且 AB=AD=2.(1)记 AC 中点为 M，若面 ABC 面 ABD，求证：BM 面 ADC；(2)当二面角 D-AB-C 的大小为 56 时，求直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值.33.(2023河北衡水高二校考开学考试)已知四面体 ABCD，AD=CD，ADB=CDB=12

31、0，且平面ABD 平面 BCD(1)求证：BD AC；(2)求直线 CA 与平面 ABD 所成角的大小18题型六：两角相等(构造全等)的立体几何问题16(2023全国高三专题练习)如图，在三棱锥 A-BCD 中，ABC 是等边三角形，BAD=BCD=90，点 P 是 AC 的中点，连接 BP，DP1证明：平面 ACD 平面 BDP；2若 BD=6，cosBPD=-33，求三棱锥 A-BCD 的体积17(2023高二校考单元测试)如图,在三棱锥 A-BCD 中,ABC 是等边三角形,BAD=BCD=90,点 P 是 AC 的中点,连接 BP,DP(1)证明:平面 ACD 平面 BDP;(2)若

32、BD=6,且二面角 A-BD-C 为 120,求直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值18(2023全国高三专题练习)如图，四棱锥 F-ABCD 中，底面 ABCD 为边长是 2 的正方形，E，G分别是 CD，AF 的中点，AF=4，FAE=BAE，且二面角 F-AE-B 的大小为 90.19(1)求证：AE BG；(2)求二面角 B-AF-E 的余弦值.34.(2023全国高三专题练习)如图，四棱锥 E-ABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAE=BAE=45，DAB=60.(1)证明：平面 ADE 平面 ABE；(2)当直线 DE 与平面 ABE 所成的角为 30 时

33、，求平面 DCE 与平面 ABE 所成锐二面角的余弦值.35.(2023广东阳江高二统考期中)如图，在四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD(1)求证：平面 ACD 平面 ABC；(2)若 DE=mDB，二面角 D-AE-C 的余弦值为 17，求 m36.(2023全国高三专题练习)如图，在四面体 ABCD 中，已知 ABD=CBD=60，AB=BC=2，20(1)求证：AC BD；(2)若平面 ABD 平面 CBD，且 BD=52，求二面角 C-AD-B 的余弦值.题型七：利用传统方法找几何关系建系19(2023河北高三河北衡水中学校考阶段

34、练习)如图，在长方体 ABCD-FGHE，平面 ABCD 与平面 BCEF 所成角为 0 2.(1)若 AB=BC，求直线 AH 与平面 BCEF 所成角的余弦值(用 cos 表示)；(2)将矩形 BCEF 沿 BF 旋转 度角得到矩形 BFPQ，设平面 ABCD 与平面 BFPQ 所成角为 0 2，请证明：cos=cos2.20(2023全国唐山市第十一中学校考模拟预测)在四棱锥 S-ABCD 中，BC CD，AB CD，SA=SD=1，AB=2BC=2CD=2，平面 SAD 平面 ABCD.(1)证明：SA BD；21(2)若 E 是棱 SB 上一点，且二面角 S-AD-E 的余弦值为 1

35、2，求 SESB 的大小.21(2023安徽高三校联考期末)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB CD,AP PD,AB BC,PA=PD=DC=BC=1,AB=2，E 是 PB 的中点(1)求 CE 的长；(2)设二面角 P-AD-B 平面角的补角大小为，若 0,2，求平面 PAD 和平面 PBC 夹角余弦值的最小值37.(2023全国高三专题练习)如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD 底面 ABCD，M 是线段PD 的中点，设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l.(1)证明 l 平面 BCM(2)已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，若 PB 与平面 QCD 所成角

36、的正弦值为是63，求线段 QC 的长.(3)在(2)的条件下，求二面角 D-CQ-M 的正弦值.38.(2023江西抚州高二临川一中校考期中)如图，直线 AQ 平面，直线 AQ 平行四边形 ABCD，四棱锥 P-ABCD 的顶点 P 在平面 上，AB=7，AD=3，AD DB，AC BD=O,OP AQ,AQ=2，M,N 分别是 AQ 与 CD 的中点.22(1)求证：MN 平面 QBC；(2)求二面角 M-CB-Q 的余弦值.39.(2023陕西安康陕西省安康中学校考模拟预测)如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧面 SAD 为等边三角形，AB=2，SC=2 2 (1

37、)证明：平面 SAD 平面 ABCD；(2)侧棱 SC 上是否存在一点 P(P 不在端点处)，使得直线 BP 与平面 SAC 所成角的正弦值等于217？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，请说明理由40.(2023吉林长春高二校考期末)如图，四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，SD 底面ABCD，AD=2，DC=SD=2.点 M 在侧棱 SC 上，ABM=60.(1)证明：M 是侧棱 SC 的中点；(2)求二面角 S-AM-B 的余弦值.41.(2023四川绵阳高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)三棱柱 ABC-A1B1C1的底面 ABC 是等23边三角形，BC 的中点为 O

38、，A1O 底面 ABC，AA1与底面 ABC 所成的角为 3，点 D 在棱 AA1上，且AD=32,AB=2.(1)求证：OD 平面 BB1C1C；(2)求二面角 B-B1C-A1的平面角的余弦值.42.(2023黑龙江齐齐哈尔高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习)如图，三棱锥 P-ABC 所有棱长都等，PO 平面 ABC，垂足为 O点 B1，C1分别在平面 PAC，平面 PAB 内，线段 BB1，CC1都经过线段PO 的中点 D(1)证明：B1C1 平面 ABC；(2)求直线 AP 与平面 AB1C1所成角的正弦值43.(2023全国高三专题练习)如图，已知四棱锥 P-ABCE 中，PA 平

39、面 ABCE，平面 PAB 平面PBC，且 AB=1，BC=2，BE=2 2，点 A 在平面 PCE 内的射影恰为 PCE 的重心 G.24(1)证明：BC AB；(2)求直线 CG 与平面 PBC 所成角的正弦值.44.(2023全国高三专题练习)如图，平面 平面，菱形 ABCD 平面，AC=2，E 为平面 内一动点.(1)若平面，间的距离为 3，设直线 AE，CE 与平面 所成的角分别为，1tan+1tan=2，求动点E 在平面 内的射影 F 的一个轨迹方程；(2)若点 E 在平面 内的射影为 A，证明：直线 CE 与平面 BDE 所成的角与 BAD 的大小无关.题型八：空间中的点不好求2

40、2(2023全国校联考模拟预测)已知三棱锥 ABCD，D 在面 ABC 上的投影为 O，O 恰好为 ABC的外心 AC=AB=4，BC=2.(1)证明：BC AD；(2)E 为 AD 上靠近 A 的四等分点，若三棱锥 A-BCD 的体积为 1，求二面角 E-CO-B 的余弦值23(2023河南校联考模拟预测)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB=BC=212，AD=CD=AC25=2 3，E，F 分别为 AC，CD 的中点，点 G 在 PF 上，且 G 为三角形 PCD 的重心.(1)证明：GE 平面 PBC；(2)若 PA=PC，PA CD，四棱锥 P-ABCD 的体积为 3 3，求直线

41、GE 与平面 PCD 所成角的正弦值.24(2023湖北武汉华中师大一附中校考模拟预测)如图，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 在对角线 BD1上，AC BD=O，平面 ACP 平面 A1C1D(1)求证：O，P，B1三点共线；(2)若四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD=BAA1=DAA1=3，AA1=3，求二面角 P-AB-C 大小的余弦值45.(2023江西校联考二模)正四棱锥 P-ABCD 中，PA=AB=2，E 为 PB 中点，AF=AP,CG=CP，平面 EFG 平面 ABCD=l，平面 EFG AD=K.(1)证明：当平面 EFG 平面 PBD 时，l

42、平面 PBD(2)当 =13 时，T 为 P-ABCD 表面上一动点(包括顶点)，是否存在正数 m，使得有且仅有 5 个点 T26满足 2 2 TP2+TA2+TB2+TC2+TK2=m，若存在，求 m 的值，若不存在，请说明理由.46.(2023全国高三专题练习)如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-EFGH 中，点 M 是正方体的中心，将四棱锥 M-BCGF 绕直线 CG 逆时针旋转(0 )后，得到四棱锥 M-BCGF(1)若 =2，求证：平面 MCG 平面 MBF；(2)是否存在，使得直线 MF 平面 MBC？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由47.(2023全国模拟预测)已知菱

43、形 ABCD 中，AB=BD=1，四边形 BDEF 为正方形，满足 ABF=23，连接 AE，AF，CE，CF(1)证明：CF AE；(2)求直线 AE 与平面 BDEF 所成角的正弦值题型九：创新定义25(2023重庆沙坪坝高三重庆一中校考阶段练习)魏晋时期数学家刘徽(图 a)为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上如图，将两个底面半径为 1 的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为 2 的正方体时(如图 b)，两圆柱公共部分形成的几何体(如图 c)即得一个“牟合方盖”，图 d 是该“牟合方盖”的直观图(图中标出的各点

44、 A，B，C，D，P，Q 均在原正方体的表面上)(1)由“牟合方盖”产生的过程可知，图 d 中的曲线 PBQD 为一个椭圆，求此椭圆的离心率；27(2)如图 c，点 M 在椭圆弧 PB 上，且三棱锥 A-DMC 的体积为 13，求二面角 P-AM-C 的正弦值26(2023辽宁沈阳东北育才学校校考一模)蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图 1 所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥 H-ABC，J-CDE，K-EFA，再分别以 AC，CE，EA 为轴将ACH，CEJ，EAK 分别向上翻转 180，使 H，J，K 三点重合为点 S 所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图 2 所示.蜂房

45、曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 2 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示).例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角是 3，所以正四面体在各顶点的曲率为 2-3 3=.(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；(2)若正六棱柱底面边长为 1，侧棱长为 2，设 BH=x(i)用 x 表示蜂房(图 2 右侧多面体)的表面积 S(x)；(ii)当蜂房表面积最小时，求其顶点 S 的曲率的余弦值.27(2023全国高三专题练习)北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间

46、的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 2 与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角是 3，所以正四面体在各顶点的曲率为 2-3 3=，故其总曲率为 4 28(1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数48.(2023河北高三校联考阶段练习)已知 a=x1,y1,z1，b=x2,y2,z2，c=x3,y3,z3，定义一种运算：a b c=x1y2

47、z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=1,1,0，AD=0,2,2，AA1=1,-1,1.(1)证明：平行六面体 ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱；(2)计算AB AD AA1，并求该平行六面体的体积，说明AB AD AA1的值与平行六面体ABCD-A1B1C1D1体积的关系.49.(2023全国高三专题练习)(1)如图，对于任一给定的四面体 A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面 1，2，3，4，使得 Ai i i=1,2,3,4，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；(2)给定依次排列的四

48、个相互平行的平面 1，2，3，4，其中每相邻两个平面间的距离为 1，若一个正四面体 A1A2A3A4的四个顶点满足：Ai i i=1,2,3,4，求该正四面体 A1A2A3A4的体积50.(2023全国高三专题练习)已知顶点为 S 的圆锥面(以下简称圆锥 S)与不经过顶点 S 的平面 相交，记交线为 C，圆锥 S 的轴线 l 与平面 所成角 是圆锥 S 顶角(圆 S 轴截面上两条母线所成角 的一半，为探究曲线 C 的形状，我们构建球 T，使球 T 与圆锥 S 和平面 都相切，记球 T 与平面 的切点为 F，直线 l与平面 交点为 A，直线 AF 与圆锥 S 交点为 O，圆锥 S 的母线 OS

49、与球 T 的切点为 M，OM=a，MS=b(1)求证：平面 SOA 平面，并指出 a，b，关系式；(2)求证：曲线 C 是抛物线2951.(2023湖南校联考模拟预测)类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线 PA，PB，PC 构成的三面角 P-ABC，APC=，BPC=，APB=，二面角 A-PC-B 的大小为，则 cos=coscos+sinsincos(1)当、0,2时，证明以上三面角余弦定理；(2)如图 2，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，平面 AA1C1C 平面 ABCD，A1AC=60，BAC=45，求 A1AB 的余弦值；在直线 CC1上是否存在点 P，使 BP 平面 DA1C1？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，说明理由30