2022版高考数学（新高考）总复习文档：第二章　第六节　对数与对数函数 WORD版含答案.docx

1、第六节对数与对数函数学习要求:1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax(a0,且a1)互为反函数.1.对数的概念(1)对数的定义一般地,如果 ax=N(a0,且a1) ,那么数x叫做以a为底N的对数,记作 x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做对数的真数.(2)几种常见的对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a1) logaN 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N

2、2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质(i)负数和0无对数.(ii)1的对数等于0,即loga1=0(a0且a1).(iii)logaa=1(a0且a1).提醒alogaN= N ;logaaN= N (a0且a1).(2)换底公式及其推论换底公式: logbN =logaNlogab(a,b均大于0且不等于1).推论:logab=1logba,logambn=nmlogab(a0且a1,b0且b1,m,nR,且m0),logablogbclogcd= logad (a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).(3)对数的运算法则如果a0且a1,M0,N0,那么loga(MN)= logaM+

3、logaN ,logaMN= logaM-logaN ,logaMn= nlogaM (nR).3.对数函数的图象与性质a10a1时,y0;当0x1时,y1时,y0;当0x0是(0,+)上的增函数是(0,+)上的减函数提醒当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a1和0a0,且a1)与对数函数 y=logax (a0,且a1)互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称.知识拓展1.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.2.对数函数y=logax(a0,且a1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),1a,-1,函数图象只在第一、四象限.1.判断正误(正确的打“”,错误的打

4、“”).(1)loga(MN)=logaM+logaN.()(2)函数y=logax2与函数y=2logax相等.()(3)对数函数y=logax(a0,且a1)在(0,+)上是增函数.()(4)函数y=ln1+x1-x与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教A版必修第一册P127T3改编)log29log34+2log510+log50.25=()A.0B.2C.4D.6答案D3.(新教材人教A版必修第一册P133例3改编)已知a=ln 3,b=log3e,c=loge,则下列关系正确的是()A.cbaB.abcC.bacD.bc0,

5、则实数a的取值范围是.答案12,1对数式的化简与求值1.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则() A.ab+bc=2ac B.ab+bc=acC.2c=2a+1bD.1c=2b-1a答案ADa,b,c都是正数,故可设4a=6b=9c=M,a=log4M,b=log6M,c=log9M,则1a=logM4,1b=logM6,1c=logM9.logM4+logM9=2logM6,1a+1c=2b,即1c=2b-1a,去分母整理得,ab+bc=2ac.故选AD.2.计算:2log23+2log31-3log77+3ln 1=.答案0解析原式=3+20-31+30=0.3.计算:l

6、g14-lg2510012=.答案-20解析原式=(lg 2-2-lg 52)10012=lg1225210=lg 10-210=-210=-20.4.计算:(1-log63)2+log62log618log64=.答案1解析原式=1-2log63+(log63)2+log663log6(63)log64=1-2log63+(log63)2+1-(log63)2log64=2(1-log63)2log62=log66-log63log62=log62log62=1.名师点评1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.2

7、.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数,然后逆用对数的运算法则,化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab=Nb=logaN(a0,且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.对数函数的图象及应用典例1(1)(2020安徽亳州二模)在同一个平面直角坐标系中,函数f(x)=1ax与g(x)=lgax的图象可能是()(2)(2020宁夏银川模拟)已知函数f(x)=|ln x|,若0a0且a1,所以函数g(x)=lgax单调递减,故排除B、D;对于A、C,由函数f(x)=1ax的图象可知0a1,对于函数g(x)=lgax,g(1)=lg a0,故A正确,C错误.(2)f(x)

8、=|ln x|的图象如下:因为0ab且f(a)=f(b),所以|ln a|=|ln b|且0a1,所以-ln a=ln b,即ab=1,易得2a+b22ab=22,当且仅当2a=b,即a=22,b=2时等号成立.故选B.名师点评1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.常把一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.(2020广东惠州模拟)当a1时,在同一坐标系中,函数g(x)=a-x与f(x)=-logax的图象大致是()答案D因为a1,所以g(x)=a-x=1ax为R上的减

9、函数,且过(0,1);f(x)=-logax为(0,+)上的减函数,且过(1,0),故只有D选项符合.2.(2020陕西榆林三模)设x1、x2、x3均为实数,且e-x1=ln x1,e-x2=ln(x2+1),e-x3=lg x3,则()A.x1x2x3B.x1x3x2C.x2x3x1D.x2x1x3答案D因为e-x1=ln x11ex1=ln x1,e-x2=ln(x2+1)1ex2=ln(x2+1),e-x3=lg x31ex3=lg x3,所以作出函数y=1ex,y1=ln x,y2=ln(x+1),y3=lg x的函数图象,如图所示:由图象可知函数y2,y1,y3与y的交点A,B,C的

10、横坐标依次为x2,x1,x3,即有x2x1x3.故选D.对数函数的性质及应用角度一比较对数值的大小典例2(2020课标理,12,5分)已知5584,13485.设a=log53,b=log85,c=log138,则()A.abcB.bacC.bcaD.cab答案Aa=log53(0,1),b=log85(0,1),则ab=log53log85=log53log58log53+log5822=log524221,ab.又13485,1351385,两边同取以13为底的对数得log1313545,c45.又5584,85585,两边同取以8为底的对数得log8(855)log885,即log854

11、5,bba,故选A.角度二解简单的对数不等式典例3若loga(a2+1)loga2a0且a1,故必有a2+12a,又loga(a2+1)loga2a0,所以0a1,a12.故a的取值范围是12,1.角度三与对数函数有关的复合函数问题典例4已知函数f(x)=loga(ax2-x).(1)若a=12,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在区间2,4上是增函数,求实数a的取值范围.解析(1)当a=12时,f(x)=log1212x2-x,由12x2-x0,得x2-2x0,解得x2,所以函数f(x)的定义域为(-,0)(2,+),利用复合函数单调性可得函数f(x)的增区间为(-,0),减区间为(2,

12、+).(2)令g(x)=ax2-x,则函数g(x)的图象开口向上,对称轴为x=12a的抛物线,当0a0,即12a4,g(4)=116a-140,此不等式组无解.当a1时,要使函数f(x)在区间2,4上是增函数,则g(x)=ax2-x在2,4上单调递增,且g(x)min=ax2-x0,即12a2,g(2)=4a-20,解得a12,又a1,a1.综上实数a的取值范围为(1,+).名师点评(1)确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调

13、性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响,并且真数必须为正.1.(2020课标文,10,5分)设a=log32,b=log53,c=23,则()A.acbB.abcC.bcaD.cab答案A因为a=log32=log338log5325=23=c,所以acb0,0c1,则()A.logaclogbcB.logcalogcbC.accb答案B0cb1时,logaclogbc,故A项错误;0cb0,logcalogcb,故B项正确;0cb0,acbc,故C项错误;0cb0,ca0,a1)在区间12,+上恒有f(x)0,则f(x)的单调递增区间为.答案(0,+)解析令M=x

14、2+32x,当x12,+时,M(1,+),因为f(x)0,所以a1,所以函数y=logaM为增函数,又M=x+342-916,因此M的单调递增区间为-34,+.又x2+32x0,所以x0或x-32,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+).A组基础达标1.(2020课标文,8,5分)设alog34=2,则4-a=()A.116B.19C.18D.16答案B2.(多选题)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.1a1b B.ab0C.a+b0D.abbcB.bacC.cbaD.cab答案D4.(多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),则下列论述中正确的是()A.当

15、a=0时, f(x)的定义域为(-,-1)(1,+)B.当a=0时,f(x)一定有最小值C.当a=0时, f(x)的值域为RD.若f(x)在区间2,+)上单调递增,则实数a的取值范围是-4,+)答案AC对于A,当a=0时,解x2-10,有x(-,-1)(1,+),故A正确;对于B,当a=0时,f(x)=lg(x2-1),x2-1(0,+),此时f(x)=lg(x2-1)的值域为R,故B错误,C正确;对于D,若f(x)在区间2,+)上单调递增,此时y=x2+ax-a-1的图象的对称轴的方程为直线x=-a2,则-a22,解得a-4.但当a=-4时,f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,

16、故D错误.故选AC.5.(2020陕西西安高三二模)函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间是.答案(1,+)解析由题意可知x2+2x-30,解得x1,即函数y=log5(x2+2x-3)的定义域为(-,-3)(1,+).令g(x)=x2+2x-3,则函数g(x)在(-,-3)上单调递减,在(1,+)上单调递增,根据复合函数的单调性,可得函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间为(1,+).6.函数f(x)=ex-e-x+ln1+x1-x+1,若f(a)+f(1+a)2,则a的取值范围是.答案-12,0解析由题意得, f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称设g(x)=f(

17、x)-1=ex-e-x+ln1+x1-x,则g(-x)=e-x-ex+ln1-x1+x,则g(-x)+g(x)=0,所以g(x)是(-1,1)上的奇函数,因为f(a)+f(1+a)2,所以f(1+a)-1-f(a)+1,所以f(1+a)-1-f(a)-1,即g(1+a)-g(a)=g(-a),因为y=ex-e-x单调递增,y=ln1+x1-x单调递增,所以g(x)单调递增,则-1a1,-11+a-a,即-12a0在-3,1上恒成立,故-a41,u(x)min=u(1)=5+a0,解得-50,且a1)的图象大致为()答案A由题意知,函数f(x)=2-ax(a0,且a1)为减函数,当0a2,且函数

18、g(x)=loga(x+2)在(-2,+)上为减函数,故C,D均不正确;当a1时,函数f(x)=2-ax的零点为x=2a0,且g(x)=loga(x+2)在(-2,+)上是增函数,故B不正确,故选A.9.(多选题)(2020山东济南模拟)已知函数f(x)=lg1|x-2|+1,则下列说法正确的是()A.f(x+2)是偶函数B.f(x+2)是奇函数C.f(x)在区间(-,2)上是减函数,在区间(2,+)上是增函数D.f(x)没有最小值答案AD因为f(x)=lg1|x-2|+1,所以f(x+2)=lg1|x|+1,定义域为x|x0,关于原点对称,又f(-x+2)=lg1|-x|+1=lg1|x|+

19、1=f(x+2),所以f(x+2)为偶函数,故A说法正确,B说法错误;f(x)=lg1|x-2|+1=lg1x-2+1,x2,lg12-x+1,x-5的解集为()A.(-,-1)B.(-1,+)C.(-,-2)D.(-2,+)答案D因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,解得a=1,所以当x0时,f(x)=log3(x+1)+x2.因为函数y=log3(x+1)和y=x2在x0,+)上都是增函数,所以f(x)在0,+)上单调递增.由奇函数的性质可知,y=f(x)在R上单调递增,因为f(2)=5,f(-2)=-5,所以f(3x+4)-5f(3x+4)f(-2),即3x+4-2,解得x

20、-2.11.(2020课标理,12,5分)若2a+log2a=4b+2log4b,则()A.a2bB.ab2D.ab2答案B2a+log2a=22b+log2b22b+log2(2b),令f(x)=2x+log2x,则f(a)f(2b),又易知f(x)在(0,+)上单调递增,所以a1,loga21,解得1kg(x)恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)易知h(x)=(4-2log2x)log2x=-2(log2x-1)2+2.因为x1,4,所以log2x0,2,故函数h(x)的值域为0,2.(2)由f(x2)f(x)kg(x)可得(3-4log2x)(3-log2x)klog2x.令t=log

21、2x,因为x1,4,所以t=log2x0,2,即(3-4t)(3-t)kt对任意t0,2恒成立.当t=0时,kR;当t(0,2时,k(3-4t)(3-t)t恒成立,即k4t+9t-15恒成立.因为4t+9t12,当且仅当4t=9t,即t=32时取等号,所以4t+9t-15的最小值为-3,即k-3.综上,k的取值范围是(-,-3).C组思维拓展14.(2020吉林长春高三模拟)若函数f(x)=log12(3-x)m,x0,则当x1时, f(x)=log12(3-x)m单调递增,当x1时, f(x)=x2-6x+m=(x-3)2+m-9在(3,+)上单调递增,在1,3)上单调递减,若函数f(x)的

22、值域为R,则需f(3)=m-9mlog12(3-1)=-m,解得0m92;若m0,则当x1时,f(x)=log12(3-x)m单调递减或为常数函数,当x1时,f(x)=x2-6x+m=(x-3)2+m-9在(3,+)上单调递增,在1,3)上单调递减,不满足函数f(x)的值域为R,舍去.综上,m的取值范围为0,92,故选B.15.(2020山西运城高三模拟)已知函数f(x)=ln2+x2-x,g(x)=m(x-4-x)+2,若x10,4,x20,1,使得f(x2)g(x1),则实数m的取值范围是()A.14ln3-12,1-12ln3B.14ln3-12,1-12ln3C.-12,1D.-12,1答案Cx10,4,x20,1,使得f(x2)g(x1)等价于f(x)ming(x)min.函数f(x)=ln2+x2-x=ln(2+x)-ln(2-x),-2x0时,-2m+2g(x)4m+2,因为f(x)ming(x)min,所以0-2m+2,解得0m0,满足f(x)ming(x)min;当m0时,4m+2g(x)-2m+2,因为f(x)ming(x)min,所以04m+2,解得-12m0.综上可知,-12m1.